高中数学 1.2.1.2 排列与排列数公式课件 新人教A版选修23 .ppt

第2课时排列与排列数公式 排列数及排列数公式 不同 排列 n n 1 n 2 n m 1 n 1 1 判一判 正确的打 错误的打 1 对于式子中的x可以取小于或等于3的任意整数 2 排列数是有n个因式的乘积 3 0 规定等于1 但它不能按阶乘的含义来解释 4 55 n 56 n 69 n n n 且n 55 解析 1 错误 x 3且x n 2 错误 从n m 1到n共有m个因式相乘 3 正确 0 1只是一种规定 4 错误 55 n 56 n 69 n 共有15个因式相乘 故它等于 n n 且n 54 答案 1 2 3 4 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 89 90 91 100可表示为 2 若 17 16 15 5 4 则n m 3 由1 2 3可组成 个无重复数字的三位数 4 解析 1 由排列数公式可知 89 90 91 100 答案 2 由排列数公式可知n 17 m 17 4 1 14 答案 1714 3 由1 2 3可组成的无重复数字的三位数是 3 2 1 6 答案 6 4 4 3 2 24 答案 24 要点探究 知识点排列数与排列数公式1 对排列数公式的两点说明 1 公式中的n m应该满足n m n m n 当m n时不成立 2 排列数的两个公式 第一个公式右边是若干数的连乘积 其特点是 第一个因数是n 下标 后面的每一个因数都比它前面的因数少1 最后一个因数为n m 1 下标 上标 1 共有m 上标 个连续自然数相乘 排列数的第二个公式是阶乘的形式 所以又叫排列数的阶乘式 它是一个分式的形式 分子是下标n的阶乘 分母是下标减上标即 n m 的阶乘 2 排列数两个公式的选取技巧 1 排列数的第一个公式 n n 1 n 2 n m 1 n m n m n 适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式 在运用该公式时要注意它的特点是 从n起连续写出m个自然数的乘积即可 2 排列数的第二个公式适用于与排列数有关的证明 解方程 解不等式等 在具体运用时 则应注意先提取公因式再计算 同时还要注意隐含条件 m n且n m n 的运用 知识拓展 排列数公式拓展可用排列数公式的阶乘式及定义得排列数性质 微思考 1 解决有关排列数问题的关键是什么 提示 解决此类问题的关键是对排列数公式形式特点的把握 2 排列与排列数有什么区别 提示 排列 是指从n个不同的元素中任取m m n 个元素 按照一定的顺序排成一列 不是数 排列数 是指从n个不同的元素中取出m m n 个元素的所有排列的个数 是一个数 即时练 已知 30 则x等于 解析 x x 1 30 解得x1 6 x2 5 舍去 答案 6 题型示范 类型一排列数的计算问题 典例1 1 4 5 6 n 1 n等于 2 计算 解题探究 1 排列数是几个因式的乘积 最大 最小数分别是什么 2 题 2 中之间有怎样的关系 探究提示 1 排列数中共有m个因式 其中最大数是n 最小数是n m 1 自主解答 1 选d 4 5 6 n 1 n中共有n 4 1 n 3个因式 最大数为n 最小数为4 故4 5 6 n 1 n 方法技巧 排列数的计算方法 1 排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行 应用时注意 连续正整数的积可以写成某个排列数 其中最大的是排列元素的总个数 而正整数 因式 的个数是选取元素的个数 这是排列数公式的逆用 2 应用排列数公式的阶乘形式时 一般写出它们的式子后 再提取公因式 然后计算 这样往往会减少运算量 变式训练 计算 解析 方法一 方法二 补偿训练 乘积m m 1 m 2 m 3 m 20 可表示为 解析 选d 因为m m 1 m 2 m 3 m 20中最大的数为m 20 且共有m 20 m 1 21个 所以m m 1 m 2 m 3 m 20 故选d 类型二与排列数有关的方程 不等式及证明问题 典例2 1 已知 则logn25的值为 a 1b 2c 4d 不确定 2 解下列方程或不等式 解题探究 1 题 1 中的与用排列数公式可表示为什么 2 解形如题 2 的方程或不等式时 首先应对式子作如何处理 探究提示 2 应先利用排列数公式进行展开 再进行其他处理 自主解答 1 选b 因为 所以2n 2n 1 2n 2 2 n 1 n n 1 n 2 由题意知n 3 整理方程 解得n 5 所以logn25 2 2 因为所以x 3 x n 由得 2x 1 2x 2x 1 2x 2 140 x x 1 x 2 化简得 4x2 35x 69 0 解得 x1 3 x2 舍 所以方程的解为x 3 由得3 x 8 x n 化简得 x2 19x 84 0 解得 7 x 12 所以x 8 延伸探究 若将题 2 中的 变成 求x的值 解题指南 先求出x的范围 然后将变为关于x的一元二次不等式 求出x的值 解析 因为 所以x 3 x n 由排列数公式 原不等式可化为 2x 1 2x 2x 1 2x 2 140 x x 1 x 2 化简得 4x2 35x 69 0 解得 3 x 因为x n 所以x 4或x 5 方法技巧 排列数的化简与证明技巧应用排列数公式可以对含有排列数的式子进行化简和证明 化简的过程中要对排列数进行变形 并要熟悉排列数之间的内在联系 解题时要灵活地运用如下变式 n n n 1 n n n 1 n 变式训练 求证 证明 补偿训练 解方程 解析 由排列数公式可知 方程可化为 3x x 1 x 2 2 x 1 x 6x x 1 因为x 3且x n 所以3 x 1 x 2 2 x 1 6 x 1 即3x2 17x 10 0 解得x 5或x 舍去 所以x 5 类型三利用排列与排列数解简单计数应用题 典例3 1 从1 2 3 4四个数中任取两个数字可组成 个无重复数字的两位数 2 2014 兰州高二检测 一条铁路原有n个车站 为了适应客运需要 新增加了m m 1 个车站 客运车票增加了62种 问原有多少个车站 现有多少个车站 解题探究 1 题 1 中每一个两位数对应怎样的一个排列 所求两位数的个数是怎样的一个排列数 2 题 2 中每一种车票对应怎样的一个排列 探究提示 1 每一个两位数对应从4个不同元素中选取2个元素的一个排列 故所求两位数的个数为 2 每一种车票对应从n个或n m个不同元素中任取2个元素的一个排列 自主解答 1 两位数有十位和个位两个位置 按顺序从4个数字中任取2个数字依次排列 共有 12个 答案 12 2 因为原有车站n个 所以原有客运车票种 又现有 n m 个车站 现有客运车票种 所以所以 n m n m 1 n n 1 62 所以所以 即62 m2 m 所以m2 m 621 从而得出1 m 所以1 m 8 即m 2时 当m 3 4 5 6 7 8时 n均不为整数 故只有n 15 m 2符合题意 即原有15个车站 现有17个车站 方法技巧 1 利用排列与排列数解排列应用题的基本思想 2 解简单排列应用题的思路 1 认真分析题意 看能否把问题归结为排列问题 即是否有顺序 2 如果是的话 再进一步分析 这里n个不同的元素指的是什么 以及从n个不同的元素中任取m m n 个元素的每一种排列对应的是什么事件 3 运用排列数公式求解 变式训练 沪宁铁路线上有六个大站 上海 苏州 无锡 常州 镇江 南京 铁路部门应为沪宁线上的这六个大站 这六个大站间 准备多少种不同的车票 解析 对于两个大站a和b 从a到b的火车票与从b到a的火车票不同 因为每张车票对应一个起点站和一个终点站 因此每张火车票对应从6个不同元素 大站 中任取2个元素 起点站和终点站 的一种排列 所以问题归结为求从6个不同元素中任取2个元素的排列数 故有 6 5 30种 补偿训练 有5个不同的科研小课题 从中选3个由高二 4 班的3个学习兴趣小组进行研究 每组一个课题 共有多少种不同的安排方法 解析 从5个不同的课题中选3个 由3个兴趣小组进行研究 每种选法对应于从5个不同元素中选出3个元素的一个排列 因此不同的安排方法有 5 4 3 60 种 易错误区 忽视排列数中的隐含条件致误 典例 不等式的解集为 a n 1 n 5 b 1 2 3 4 c 3 4 d 4 解析 选c 由不等式得 n 1 n 2 n 7 整理得n2 4n 5 0 解得 1 n 5 又因为n 1 2且n n 即n 3且n n 所以n 3或n 4 故不等式的解集为 3 4 常见误区 防范措施 隐含条件的挖掘及公式的灵活选用对题目中的条件要认真分析 找出隐含条件 如本例中的n 1 2