高中数学第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案含解析.docx

1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理一名游客从沈阳出发去长沙游玩，已知从沈阳到长沙每天有7个航班、6列火车问题1：该游客从沈阳到长沙的方案可分几类？提示：两类，即乘飞机、坐火车问题2：这几类方案中各有几种方法？提示：第1类方案(乘飞机)有7种方法，第2类方案(坐火车)有6种方法问题3：该游客从沈阳到长沙共有多少种不同的方法？提示：共有7613种不同的方法1完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法2完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法1分类加法计数原理中各类办法相互独立，各类办法中的各种方法也相互独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事2要清楚“完成一件事”的含义，即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中具体所指的是什么3分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类标准，然后在这个标准下进行分类.分步乘法计数原理一名游客从沈阳出发去长沙游玩，但需在北京停留，已知从沈阳到北京每天有7个航班，从北京到长沙每天有6列火车问题1：该游客从沈阳到长沙需要经历几个步骤？提示：两个，即先乘飞机到北京，再坐火车到长沙问题2：完成每一步各有几种方法？提示：第1个步骤有7种方法，第2个步骤有6种方法问题3：该游客从沈阳到长沙共有多少种不同的方法？提示：共有7642种不同的方法1完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法2完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法1分步乘法计数原理是完成一件事要分成若干步，各个步骤相互依存，完不成其中任何的一步都不能完成这件事，只有当各个步骤都完成之后，才能完成该事件2要清楚“完成一件事”的含义，即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中具体所指的是什么3分步时，首先要根据问题特点确定一个可行的分步标准，标准不同，分的步骤数也会不同分类加法计数原理某校高三共有三个班，各班人数如下表.男生数女生数总数高三(1)班302050高三(2)班303060高三(3)班352055(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，共有三类不同的方案：第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有506055165种不同的选法从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有三类不同的方案：(2)第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30302080种不同的选法利用分类加法计数原理计数时的解题流程若x，yN*，且xy6，试求有序自然数对(x，y)的个数解：按x的取值进行分类：x1时，y1,2,3,4,5，共构成5个有序自然数对；x2时，y1,2,3,4，共构成4个有序自然数对；x5时，y1，共构成1个有序自然数对根据分类加法计数原理，共有N5432115个有序自然数对.分步乘法计数原理从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则满足下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位偶数(1)三位数有三个数位：百位十位个位故可分三个步骤完成：第1步，排个位，从1,2,3,4中选1个数字，有4种方法；第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法根据分步乘法计数原理，共有43224个满足要求的三位数(2)分三个步骤完成：第1步，排个位，从2,4中选1个，有2种方法；第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法根据分步乘法计数原理，共有23212个满足要求的三位偶数利用分步乘法计数原理计数时的解题流程一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同(1)从两个口袋里各取1封信，有多少种不同的取法？(2)把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？解：(1)各取1封信，不论从哪个口袋里取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成，由分步乘法计数原理知，共有5420种不同的取法(2)若从每封信投入邮筒的可能性考虑，第1封信投入邮筒有4种可能，第2封信仍有4种可能第9封信还有4种可能，所以共有49种不同的投法.两个计数原理的综合应用王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读(1)若他从这些参考书中带1本去图书馆，则有多少种不同的带法？(2)若带外语、数学、物理参考书各1本，则有多少种不同的带法？(3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，则有多少种不同的带法？(1)完成的事情是带一本书，无论带外语书，还是数学书、物理书，事情都已完成，从而确定应用分类加法计数原理，结果为54312(种)(2)完成的事情是带3本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选1本后，才能完成这件事，因此应用分步乘法计数原理，结果为54360(种)(3)选1本外语书和选1本数学书应用分步乘法计数原理，有5420种选法；同样，选外语书、物理书各1本，有5315种选法；选数学书、物理书各1本，有4312种选法即有三类情况，应用分类加法计数原理，结果为20151247(种)在用两个计数原理处理问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重”“不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意“步”与“步”之间的连续性有一项活动，需在3名老师、8名男同学和5名女同学中选部分人员参加(1)若只需一人参加，有多少种不同的选法？(2)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同的选法？(3)若需一名老师、一名同学参加，有多少种不同的选法？解：(1)有三类：3名老师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法由分类加法计数原理知，有38516种选法(2)分三步：第1步选老师，有3种方法；第2步选男同学，有8种方法；第3步选女同学，有5种方法由分步乘法计数原理知，共有385120种选法(3)可分两类，每一类又分两步第1类，选一名老师再选一名男同学，有3824种选法；第2类，选一名老师再选一名女同学，共有3515种选法由分类加法计数原理知，共有241539种选法.有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面或3面旗纵向排列在某一旗杆上，表示不同的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成339种不同的信号；每次升3面旗可组成33327种不同的信号根据分类加法计数原理，共可组成392739种不同的信号1求解时，易忽略信号可分为每次升1面、每次升2面、每次升3面这三类2解决此类问题一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏，分步时要注意步与步之间的连续性某外语小组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人组成一个二人活动小组，有多少种不同的选法？解：共分三类：第1类，当既会英语又会日语的人被当作会英语的人时，选出只会日语的一人即可，有2种选法；第2类，既会英语又会日语的人被当作会日语的人时，选出只会英语的一人即可，有6种选法；第3类，既会英语又会日语的人都不参加该二人组时，则需从只会日语和只会英语的人中各选一人，有2612种方法，故共有261220种选法1现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为()A7B12C64 D81解析：选B要完成长裤与上衣配成一套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法故共有4312种不同的配法2已知集合M2,1,3，N4,5,6,7，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是()A18 B17C16 D10解析：选B分两类：第1类，M中的元素作横坐标，N中的元素作纵坐标，则有339个在第一、二象限内的点；第2类，N中的元素作横坐标，M中的元素作纵坐标，则有428个在第一、二象限内的点由分类加法计数原理，共有9817个点在第一、二象限内3从集合0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a，b组成复数abi，其中虚数有_个解析：第1步取b的数，有6种方法；第2步取a的数，也有6种方法根据分步乘法计数原理，共有6636个虚数答案：364一学习小组有4名男生、3名女生，任选一名学生当数学课代表，共有_种不同选法；若选男、女生各一名当组长，共有_种不同选法解析：任选一名当数学课代表可分两类，一类是从男生中选，有4种选法；另一类是从女生中选，有3种选法根据分类加法计数原理，共有437种不同选法若选男、女生各一名当组长，需分两步：第1步，从男生中选一名，有4种选法；第2步，从女生中选一名，有3种选法根据分步乘法计数原理，共有4312种不同选法答案：7125有不同的红球8个，不同的白球7个(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？解：(1)由分类加法计数原理得，从中任取一个球共有8715种取法(2)由分步乘法计数原理得，从中任取两个不同颜色的球共有8756种取法一、选择题1若x1,2,3，y5,7,9，则xy的不同值个数是()A2B6C9 D8解析：选C求积xy需分两步取值：第1步，x的取值有3种；第2步，y的取值有3种，故有339个不同的值2已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A40 B16C13 D10解析：选C分两类：第1类，直线a与直线b上8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b与直线a上5个点可以确定5个不同的平面故可以确定8513个不同的平面3从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有()A24种 B18种C12种 D6种解析：选B法一(直接法)：若黄瓜种在第一块土地上，则有3216种不同的种植方法同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3216种不同的种植方法故共有6318种不同的种植方法法二(间接法)：从4种蔬菜中选出3种种在三块地上，有43224种方法，其中不种黄瓜有3216种方法，故共有24618种不同的种植方法4设集合A1,0,1，集合B0,1,2,3，定义A*B(x，y)|xAB，yAB，则A*B 中元素个数是()A7 B10C25 D52解析：选BAB0,1，AB1,0,1,2,3，x有2种取法，y有5种取法由分步乘法计数原理得2510.5用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A36个 B18个C9个 D6个解析：选B分三步完成，1,2,3这三个数中必有某一个数字被重复使用2次第1步，确定哪一个数字被重复使用2次，有3种方法；第2步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上有3种方法；第3步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上，有2种方法故有33218个不同的四位数二、填空题6加工某个零件分三道工序第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法有_种解析：从第一、第二、第三道工序中各选一人的方法数依次为5,6,4，由分步乘法计数原理知，选法总数为N564120.答案：1207如图，从AC有_种不同的走法解析：分为两类，不过B点有2种走法，过B点有224种走法，共有426种走法答案：68.如图所示，由电键组A，B组成的串联电路中，合上两个电键使电灯发光的方法有_种解析：只有在合上A组两个电键中的任意一个之后，再合上B组三个电键中的任意一个，才能使电灯发光根据分步乘法计数原理共有236种不同的方法接通电源，使电灯发光答案：6三、解答题9若直线方程AxBy0中的A，B可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？解：分两类完成：第1类，当A或B中有一个为0时，表示的直线为x0或