运算当分析,理性为根本——从一道高三解析几何题的解答.pdf

2 0 1 4 年第2 期 中学数学研究 适当的题组训练 可以有效帮助学生理清概念 明辨差异 通过适当的变式训练 把众多的类似问题 放在一起 对问题进行类比 延伸和拓展 加深对数 学知识的理解 把握数学问题的本质和规律 提高学 生学习数学的兴趣 就像玩游戏一样地学习 有一种 玩数学的感觉 同时可以把学生学过的知识串联在 一起 形成有效的知识网络 并不断提升学生运用向 量的 本质 的意识 提高学生运用 向量法 解题 的能力 题5 已知点D 为A A B C 的外心 且lA C I 4 A BI 2 则A D B C 题6 在 A B C 中 A B 2 A C 2 A B A C 一1 若4 D 茗lA B X 2 A C 0 是厶A 丑C 的外心 则 茹1 菇2 的值为 题7已知0 为A A B C 的外心 IA BI 1 6 IA C l l O f f 若A D x A B y A C 且3 2 x I 2 5 y 2 5 则IA D I 一 题5 简解 A O B C A O a c A B A O 一一一 一 告碚一寻一2 6AC A O A BA B6 一 A C 2 一 2 二 题6 简解 A O A B 菇lA B A B 茹2 A C A B A D A c 髫1A 日 A c 茗2A C A e A 萨 4 x 一而 2 砬 鲍 如 1 0 解得毛 等 题7 简解 A O A O 善A B A O y A C A O 告詹 知碚 4 3 2 戈 2 5 y 1 0 0 I A O I 1 0 题6 题7 在题5 的基础上再结合题目本身条件 来解决的 因此A D 与三角形边向量A B A C 作数量积 l A D A C A c 2 A O A B A 铲是关键 题6 题 二二 7 有明显昀辨析之处 运用这样的题组训练 使学生 很清晰的理解和掌握向量本质 为学生应用向量法 解题打下扎实基础 总之 数学教学就是要引导学生探究处理问题 的方法 过程 结果 对于同一问题处理方法不同 会 产生不同影响和结局 通过对题t 题2 题3 解答对 比明显可以看出 向量法 简洁明了 在考试中为学 生赢得时问 提高成绩 由此可见在向量复习中强调 注重 向量本质 的渗透 在解题中体会 向量本 质 淡化向量问题的 解析法 让学生从解题苦海 中解脱 从而提高学生处理向量问题的能力 运算当分析 理性为根本 从一道高三解析几何题的解答谈起 江苏省兴化周庄高级中学 2 2 5 7 1 1 彭光宇 江苏省苏州实验中学 2 1 5 0 1 1 丁益民 前不久 江苏南通高三 三模测试有这样一道解析几 何解答题 如图1 在平面直角坐标 系石o x 椭圆 事 1 血 b O 的右焦点为F 1 声然 长 生Z z 一 图1 n 0 离心率为等分别过D F 的两条弦A B C D 相交 于点E 异于A C 两点 且O E E F 1 求椭圆的方程 2 求证 直线A C B D 的斜率之和为定值 本题的第 2 问着实难住了一部分同学 经了 万方数据 1 2 中学数学研究 2 0 1 4 年第2 期 解学生的回答基本一致 难算 两个字击中了当前解 析几何解题教学的一大症结 老师讲思路讲方法 而 对运算实际操作的可行性缺乏分析和预判 对运算 中细节的分解与指导不够 导致学生普遍反映解析 几何问题的解答中 方法思路一般比较清楚 有时候 还会有几条不同的途径 显得较为 丰满 但遇到 具体运算却往往又觉得既繁又难 大多表现为有思 路无结果 造成半途而弃 没有一个完整的结果 显 得太 骨感 了 本文试以上题为例谈谈一些浅薄的 想法 敬请指正 1 学生考试解题时的 卡壳 与老师教学指导 时的 定位 现将一部分做不下去的学生解答整理如下 解法1 由O E E F 知直线A B C D 的斜率互为 相反数 设直线A B 的方程为y 如 直线C D 的 方程为y 一 i 茗一1 分别将方程 与椭圆 J 方程等 广 1 联立解得点A B 的横坐标为 历舭舢横坐标为坐尝半 丝丛 堕边 下面出现 2 忑一 2 再 一 t 卜向出现 分子分母都有根式的繁分式 最终算不出而胡乱地 写了一下或直接放弃 解法2 设点A 儿 则曰 一 一 直线 C D 的方程为 一丛 菇一1 将方程 与椭圆方 程联立消去Y 得 1 2 丝 2 茹2 4 塑 2 茁 2 丛 2 2 0 之后也用求根公式求出戈c 茗 但 接下去就不敢写了 这让笔者想起了在2 0 1 3 年苏州高三数学二轮 复习研讨活动中有位教师开了一节题为 解析几何 的解题策略选择 的公开课 课后与会老师们曾谈 论该课的定位问题 人为地将所谓的 设点 和 设 斜率 两种策略区分开来 矫揉地将两种解决解析 几何问题的基本手段隔裂出来 由上可见 学生的解答完全纠结于类似上述教 师所讲的策略选择上 换句话讲 学生可能对解析几 何问题解决的学习认知定格成 设斜率 或 设坐 标 而不能预估到每种设法下的运算长度以及可 能会碰到的阻障 导致了上述现象的出现 这不得不 引起我们的反思 2 学生运算遇阻的 节点 与老师分析引导的 策略 上述解法导致卡壳做不下去的原因是过早地出 现了坐标 而本题中的坐标又含有学生比较害怕的 根式 加之对目标把控不当出现分子分母均含有根 式 导致运算受阻和停滞 实际上 教师可在讲课时对学生运算中的若干 节点 进行指导与分析 以解法1 为例 不难看出 解法1 中存在两个运算节点 一是将 直线方程与椭圆方程联立后 是否有必要求出交点 坐标 二是出现含多字母的分式相加应如何面对 节点1 分析 不求根 先化筒再代入求值策略 解法1 中能不能不求根而直接用韦达定理 此 时 设出坐标是必要之举 下面通过坐标间的关系进 行化简是优化运算的重要处理 n Y c 如A I k x c 一1 2i 瓦2 i 丁2 七 再A 耳c 一1 一Y D如日 彪 茹D 一1 i 丁一肋5 i2 i 了 I 戈B 茗D 一1 省皿一菇D 再细细分析 至此可引导学生思考求k s v 时 是 否可以仿b 的形式将其中的坐标换成类似的坐标 显然这样的代换更快 这是一种操作性思维活动 在 已有思维成果的基础上通过合情推理得到新的思维 结果 无疑更有利于学生的思维训练 接下来 便是对上述两式进行关联性分析 变量 间有什么关系 变量含数能否减少 学生在引导下 会自觉地发现A 与B C 与D 之间是相关联的 而这 些发现却又是计算得以进一步优化的举措 具体为 蠡肋 蠡 兰 二 j 裂 后弓垒i 二兰等生 生二孚 经过优化处理后变量间作 弋了 T 理卫L 仉扎处崔斥必要l 刈 L 石 一并c L X A 一石D 的关系变得更清晰 为进一步使用韦达定理提供了 心理暗示 节点2 分析 先分后合 局部处理策略 出现分式结构如何避免形式的繁杂呢 很多情 形下 学生面对根式往往手足无措 原因就是在平时 对此指导不多 实际上 在对待分式化简问题时 往 往可先分解成若干部分采用局部处理 再将各部分 的结果合成为整体 这样可减少运算的压力以及多 余运算的干扰 经验告诉我们 对分式处理时通常比 较容易把握住分子的运算 可先从分子入手计算 即 万方数据 2 0 1 4 年第2 期中学数学研究 1 3 一2 x i 一2 Z c X 口 菇c 并D 一2 了南一2 2 一24 五2 丽 而划 出现上述结果便是很顺利的 倘若不为0 可引 导学生再进一步的分析 还要计算分母 也照此 运算 最后再合成为最终答案 3 算理与算法的完美融合当成为解析运算教 学的理想与目标 由上述可知 对节点的分析实际上是在一定的 算理和算法指导下进行的 比如节点1 中以分式求 和时先化简再代入为算法 这在初中 先化简再求 值 早已渗透过 这样做的好处就是适当减少一些 数据的干扰和过早出现繁分式的困难境况 这是一 种算理的体现 应让学生体会到这一点 节点2 中以 繁分式化简的基本操作为算法展开的 而对于繁分 式的化筒 新课改之下课标对此类化简的要求降低 了不少 但题日还是必须做下去的 现在采用从局部 再到整体这样做的道理在于将复杂f I 题转化成相对 易操作的问题去研究 便于问题的解决 这同样是一 种算理 当学生充分体会到各种算法下的算理 便自 觉地产生同化与顺应 自觉地转化为自身理性运算 的能力 实际的解析几何运算教学中存在两种倾向 一 是教师往往总是把运算的操作过程留给学生 二是 部分教师重视了算法却忽视算理的渗透 这两种倾 向下的结果便是 学生算不出来时总是把问题归结 为他的运算能力有问题 小学初中的运算基础薄弱 却忽略了教师自身因素的影响 或者学生就形成了 一看就会 一算就错甚至一算就怕的现象 我们认 为 运算教学应该是教师引导下学生主体参与的思 维活动 在此过程中必须以一定的算法与算理相融 合为主线展开 算理是隐性的 算法是显性的 只有 通过算法的具体实施才能让学生真切地体会到算理 的存在和指导功能 充分暴露学生在运算过程中算 理的欠缺 并以此分析和不断加以优化算法的过程 真正实现算理与算法的和谐统一 让 骨感 也逐渐 变得 丰满 起来 对抛物线过焦点弦的一类性质的探究 浙江省余姚中学 3 1 5 4 0 0 李建标 高考浙江卷对圆锥曲线的要求一直比较高 尤 其以直线与椭圆 直线与抛物线的位置关系等问题 的考察作为重点 2 0 1 3 年5 月本人作为市名师上了 一堂关于过抛物线焦点弦性质探究的高三习题讲评 课 力求对解析几何问题求解的常见方法与思想进 行梳理 让学生体会到 直线与圆锥曲线位置关系 有关综合问题常用的数学思想与方法 解题的基本 规律与技巧等 从而提高综合分析问题和解决问题 的能力 1 课例实录 1 1 问题呈现 教师 前面我们在名校重组卷中有这样一道填 空题 过抛物线的焦点F 作不垂直于对称轴的直线交 抛物线于A B 两点 线段A B