常微分方程_1.1微分方程组数学模型 Differential equations and mathematical model

Nicetoseeyouagain 王晓静理学院数学系 xjwangThegreatbookofnatureiswritteninMathematics Galileo 数学 数学 而且是一种思维模式 不仅是一种知识 而且是一种素养 不仅是一种科学 而且是一种文化 能否运用数学观念定量思维是衡量民族科学文化素质的一个重要标志 不仅是一种工具 数学 TothestudentReadingacalculustextbookisdifferentfromreadinganewspaperoranovel orevenaphysicalbook Don tbediscouragedifyouhavetoreadapassagemorethanonceinordertounderstandit Youshouldhavepencilandpaperandcalculatorathandtosketchadiagramormakeacalculation Partoftheaimofthiscourseistotrainyoutothinklogically Learntowritethesolutionsoftheexercisesinaconnected step by stepfashionwithexplanatorysentences notjustastringofdisconnectedequationsorformulas Calculusisanexcitingsubject justlyconsideredtobeoneofthegreatestachievementsofthehumanintellect 微积分 Calculus 詹姆斯 斯图尔特 JamesStewart 常微分方程是一门专业必修课 它应用微积分的思想 结合线性代数 解析几何和普通物理学的知识 解决数学理论本身和其他学科中出现的一些最重要也是最基本的微分方程问题 通过该课程的学习 使学生了解微分方程在科学 工程等实际应用中所起到的特殊作用 系统地获得常微分方程的基本知识 基本理论 能熟练掌握各类微分方程的基本解法 逐步培养学生具有熟练的计算推导能力 逻辑推理能力 空间想象能力 学会运用常微分方程建模和分析解决实际问题 同时为后继课程的学习奠定基础 常微分方程 教学目的与任务Theaimandtaskofordinarydifferentialequations Thestudyofdifferentialequationshasthreeprincipalgoals 1 Todiscoverthedifferentialequationthatdescribesaspecifiedphysicalsituation 2 Tofind eitherexactlyorapproximately theappropriatesolutionofthatequation 3 Tointerpretthesolutionthatisfound OrdinaryDifferentialEquations Textbook ElementaryDifferentialEquations FifthEdition byC HenryEdwardsandDavidE Penney ChinaMachinePress 2013 1印刷 课时 48学时时间 周一5 7节 1 16周 地点 基A 516考核 平时成绩 考勤 作业 期中 测验 占30 期末考试成绩占70 教师 王晓静xjwang 基础C 586 Chapter1 First OrderDifferentialEquations 1 1DifferentialEquationsandMathematicalModels微分方程和数学模型1 2IntegralsasGeneralandParticular通解和特解积分1 3SlopeFieldsandSolutionCurves斜率场与解曲线1 4SeparableEquationsandApplications可分离变量方程及应用1 5LinearFirst OrderEquations一阶线性微分方程1 6SubstitutionMethodsandExactEquations代换法和恰当方程1 7PopulationModels人口模型1 8Acceleration VelocityModels速度和加速度 Section1 1 DifferentialEquationsandMathematicalModels Conceptsofdifferentialequations ordinarydifferentialequations partialdifferentialequations order 微分方程 常微分方程 偏微分方程 阶数Solutionandparticularsolution initialvalueproblem 解及特解的概念 初值问题 themostgeneralformofannth orderdifferentialequationwithindependentvariablexandunknownfunctionordependentvariabley n阶常微分方程的一般形式Thecrucialprocessofmathematicalmodelingandsomeexamples 数学建模的三个步骤和一些实例 代数 algebra 方程函数 function 方程 方程 含有未知量 unknownvariable 的等式 积分 integral 方程微分 differential 方程 未知量是数 未知量是函数 未知函数的积分运算 未知函数的微分运算 Classificationofequations Anequationrelatinganunknownfunctionandoneormoreofitsderivativesiscalledadifferentialequation ordinarydifferentialequations ODEmeaningthattheunknownfunction dependentvariable dependsononlyasingleindependentvariable Ifthedependentvariableisafunctionoftwoormoreindependentvariables thenpartialderivativesarelikelytobeinvolved iftheyare theequationiscalledapartialdifferentialequation PDE Classificationofequations 微分方程 常微分方程偏微分方程 方程的阶 未知函数只与一个自变量有关 未知函数是两个或两个以上自变量的函数 且在方程中出现偏导数 未知函数最高导数的阶数 联系自变量 未知函数及未知函数某些导数的等式 Theorderofadifferentialequationistheorderofthehighestderivativethatappearsinit Themostgeneralform orimplicit ofannth orderdifferentialequationwithindependentvariablexandunknownfunctionordependentvariabley y x is Theso callednormalform orexplicit ofannth orderdifferentialequationcanbewrittenasfollows 一阶 first order 隐式方程 一阶显式方程 一阶方程的微分形式 线性 linear 常微分方程 n阶 nth order 隐式方程 n阶显式方程 否则 称为非线性 nonlinear 常微分方程 thecontinuousfunctiony u x isasolutionofthedifferentialequationin 13 ontheintervalIprovidedthatthederivativesexistonIand forallxinI Forthesakeofbrevity wemaysaythaty u x satisfies 13 onI seeexample8 P5 通解与特解 generalandparticularsolution 通解与特解 generalandparticularsolution 通解 特解 通积分 特积分 隐式表示的通解 隐式表示的特解 不含任意常数 含n个独立的任意常数 初值问题 initialvalueproblem IVP 求微分方程满足初值条件 initialcondition 的解的问题 先求通解 微分方程初值问题的求解 初值问题也常称为柯西 Cauchy 问题 n阶方程的初值问题记为 代入初值条件确定任意常数 回代所得常数得特解 对n阶方程 初值条件的一般提法为 初值问题 initialvalueproblem IVP 求微分方程满足初值条件 initialcondition 的解的问题 初值问题也常称为柯西 Cauchy 问题 Atypicalmathematicalmodelofanappliedsituationwillbeaninitialvalueproblem consistingofadifferentialequationoftheformin 17 togetherwithaninitialcondition 18 Notethatwecall 18 aninitialconditionwhetherornotxo 0 Tosolvetheinitialvalueproblemmeanstofindadifferentiablefunctiony y x thatsatisfiesbothconditionsinEq 17 and 18 onsomeintervalcontainingxo Seeexample10 P7 MathematicalModels thecrucialprocessofmathematicalmodeling Fig 1 1 4 whichinvolvesthefollowing 1 Theformulationofareal worldprobleminmathematicalterms thatis theconstructionofamathematicalmodel 2 Theanalysisorsolutionoftheresultingmathematicalproblem 3 Theinterpretationofthemathematicalresultsinthecontextoftheoriginalreal worldsituation forexample answeringthequestionoriginallyposed MathematicalModels TemperatureA TemperatureT FIGURE1 1 1 Newton slawofcooling Eq 3 describesthecoolingofahotrockinwater MathematicalModels FIGURE1 1 2 Torricelli slawofdraining Eq 4 describesthedrainingofawatertank MathematicalModels ThetimerateofchangeofapopulationP t withconstantbirthanddeathratesis inmanysimplecases proportionaltothesizeofthepopulation Thatis Wherekistheconstantofproportionality ExamplesandTerminology Section1 1 DifferentialEquationsandMathematicalModels Conceptsofdifferentialequations ordinarydifferentialequations partialdifferentialequations order