矩阵理论试卷集锦.pdf

上上上海海海交交交通通通大大大学学学2015 2016学学学年年年第第第一一一学学学期期期 矩矩矩阵阵阵理理理论论论 试试试卷卷卷 A 姓姓姓名名名学学学号号号教教教师师师姓姓姓名名名成成成绩绩绩 一一一 单单单项项项选选选择择择题题题 每每每题题题3分分分 共共共15分分分 1 设设设 V R x 2016是是是次次次数数数小小小于于于2016的的的实实实多多多项项项式式式构构构成成成的的的实实实线线线性性性空空空间间间 设设设 n 0 f n x 表表表 示示示 f x V 的的的n阶阶阶导导导数数数 f 0 x f x 给给给定定定V 的的的两两两个个个子子子空空空间间间U W 如如如下下下 U f x V f n 0 0 n 1949 W g x V g x x1896 x 1 60h x h x V 则则则V 的的的子子子空空空间间间U W 的的的维维维数数数dim U W A 120 B 119 C 118 D 117 2 设设设A是是是m n阶阶阶非非非零零零复复复矩矩矩阵阵阵 R A N A 分分分别别别表表表示示示A的的的列列列空空空间间间与与与零零零空空空间间间 设设设A LR是是是A的的的一一一个个个满满满秩秩秩分分分解解解 考考考虑虑虑下下下述述述8个个个等等等式式式 R A R L R A R L R A R R R A R R N A N L N A N L N A N R N A N R 则则则上上上述述述等等等式式式恒恒恒成成成立立立的的的个个个数数数为为为 A 0 B 2 C 4 D 6 3 设设设两两两个个个5阶阶阶复复复矩矩矩阵阵阵A与与与B 的的的最最最小小小多多多项项项式式式分分分别别别为为为x3 x 1 与与与x2 x 1 2 则则则矩矩矩阵阵阵 2A BB A 2A B2B A 的的的 Jordan 标标标准准准形形形所所所含含含 Jordan 块块块的的的个个个数数数为为为 A 5 B 6 C 7 D 8 4 设设设A为为为n阶阶阶正正正规规规矩矩矩阵阵阵 F是是是矩矩矩阵阵阵的的的F 范范范数数数 则则则 A A2 F A 2 F B A2 F A A F C A F sup x6 0 x Ax x x D A 2 F sup x6 0 x A Ax x x 5 设设设A是是是m n阶阶阶复复复矩矩矩阵阵阵 A 是是是A的的的Moore Penrose广广广义义义逆逆逆 A 表表表示示示矩矩矩阵阵阵A的的的共共共轭轭轭 转转转置置置 考考考虑虑虑下下下述述述4个个个等等等式式式 A AA A A AA A A A A A A A A A 则则则上上上述述述等等等式式式恒恒恒成成成立立立的的的个个个数数数为为为 A 1 B 2 C 3 D 4 二二二 填填填空空空题题题 每每每题题题3分分分 共共共15分分分 6 设设设 是是是R2上上上的的的线线线性性性变变变换换换 e1 1 0 T e2 0 1 T e1 e1 e1 e2 2e1 则则则 关关关于于于基基基 e1 e2 e1 e2的的的矩矩矩阵阵阵为为为 7 设设设e1 1 0 0 T e2 0 1 0 T A e1 e1 则则则Ax e2的的的最最最优优优解解解为为为 8 设设设A 011 001 000 则 则则 cos 2 At sin2 At 9 设设设A是是是秩秩秩为为为2的的的3阶阶阶投投投影影影矩矩矩阵阵阵 3B I A C n 1 Bn 则则则eCt的的的 Jordan 标标标准准准形形形 为为为 10 设设设 Cn n 2 2是是是向向向量量量的的的2 范范范数数数 即即即欧欧欧几几几里里里德德德范范范数数数 2 1 2 10 3 则 则则矩矩矩阵阵阵 的的的Moore Penrose广广广义义义逆逆逆为为为 1 三三三 计计计算算算题题题与与与证证证明明明题题题 11 14题题题每每每题题题15分分分 15 题题题10分分分 共共共70分分分 11 设设设 U x y z w T R4 x y z w 0 W x y z w T R4 x y z w 0 是是是通通通常常常欧欧欧氏氏氏空空空间间间R4的的的两两两个个个子子子空空空间间间 设设设I 是是是R4上上上的的的恒恒恒等等等变变变换换换 1 求求求U 与与与U W 的的的正正正交交交补补补 U W 的的的各各各一一一组组组标标标准准准正正正交交交基基基 2 试试试求求求出出出R4上上上的的的所所所有有有正正正交交交变变变换换换 使使使得得得线线线性性性变变变换换换I 的的的核核核Ker I U 2 12 设设设n 2 x x1 x2 xn T Cn 定定定义义义线线线性性性变变变换换换 Cn Cn如如如下下下 x x2 x3 xn x1 T 设设设 在在在标标标准准准基基基e1 e2 en下下下的的的矩矩矩阵阵阵为为为A 其其其中中中ei 1 i n 为为为n阶阶阶单单单位位位矩矩矩阵阵阵的的的第第第i列列列 1 求求求A 2 求求求 的的的特特特征征征值值值与与与特特特征征征向向向量量量 3 求求求A的的的谱谱谱分分分解解解 请请请写写写出出出乘乘乘法法法形形形式式式与与与加加加法法法形形形式式式 3 13 设设设A 22 1 1 11 1 22 1 求求求A的的的Jordan标标标准准准形形形J 2 计计计算算算eAt 3 设设设x 0 1 0 0 T 求求求定定定解解解问问问题题题x0 t Ax t 的的的解解解 4 14 已已已知知知 n阶阶阶 Hermite 矩矩矩阵阵阵A的的的秩秩秩为为为r 其其其谱谱谱分分分解解解为为为A UDU 其其其中中中U 为为为酉酉酉矩矩矩阵阵阵 D diag a1 ar 0 0 是是是对对对角角角矩矩矩阵阵阵 记记记I 为为为n阶阶阶单单单位位位矩矩矩阵阵阵 1 判判判断断断矩矩矩阵阵阵C eA是是是否否否存存存在在在正正正交交交三三三角角角分分分解解解 即即即UR分分分解解解 如如如果果果判判判断断断是是是 请请请求求求出出出C 的的的 一一一个个个正正正交交交三三三角角角分分分解解解 如如如果果果判判判断断断不不不是是是 请请请说说说明明明理理理由由由 2 求求求分分分块块块矩矩矩阵阵阵M AsinA 的的的奇奇奇异异异值值值分分分解解解 5 15 设设设A为为为n阶阶阶复复复矩矩矩阵阵阵 1 证证证明明明 存存存在在在酉酉酉矩矩矩阵阵阵U 和和和半半半正正正定定定矩矩矩阵阵阵P 使使使得得得 A UP 此此此分分分解解解称称称为为为A的的的极极极分分分解解解 2 给给给出出出U 与与与P 唯唯唯一一一的的的充充充分分分必必必要要要条条条件件件 6 2014 2015 学年度上学期 矩阵理论 期末试题 一 选择题 1 n 2 阶实奇异矩阵A的特征多项式与最小多项式相等 则A的伴 随矩阵列空间的维数为 A 0 B 1 C n D 不能确定 2 设 是n维线性空间上的线性变换 适合下列条件的与其它三个不 同的是 A 是单映射 B dim Im n C 是一一对应 D 适合条件 0 3 设A是实的反对称矩阵 则下列命题正确的是 A e 是实的反对称矩阵 B e 是正交矩阵 C cos A是实的反对称矩阵 D sin A是实的对称矩阵 4 设方阵A幂收敛到方阵B 则下列说法 B 0 B是幂等矩阵 AB BA B r A r B 正确的有 个 A 1 B 2 C 3 D 4 5 设n维向量x 1 1 1 n 2 B I xx 其中I为单位 矩阵 则下列选项正确的是 A B 1 B B 1 C B 1 D B 1 二 填空题 1 设e e e e 0e 则A 2 设n阶方阵A的最小多项式为 其中n k 2 全不为 0 则 dimR A 3 设A 110 001 001 矩阵 sinA的 Jordan 标准形J 4 矩阵A 111 122 123 A的 Cholesky 分解A LL 下三角矩阵 L 5 设给定矩阵A 2 0 12 B 10 2 1 矩阵空间R 上线性变 换T为 T X kX AXB X R T是可逆变换当且仅当参数k 满足条件 三 设V是有限维欧氏空间 u V是一个单位向量 V上线性变换 定 义为 对任意x V x x a x u u 1 试求非 0 实数 a 使得 是V上正交变换 2 多项式空间R x 中的内积定义如下 对任意f x g x R x f x g x f x g x dx 试求R x 中向量 1和 x的长度 并求正实数k和单位向量u R x 使得上述正交变换 将向量 变成 k 四 设A 0010 1 1 1011 111 1 2 1 1110 1 求矩阵A的一个满秩分解LR 使得L的第一列为矩阵A的最后一 列 并给出A的列空间R A 的一组基 2 求A的左零化空间N A 的一组基 3 设b 1 1 1 1 求向量 b 在线性空间R A 上的最佳近似 4 设 是线性空间R 上的正交投影变换 且满足 的像空间 Im R A 试求 在标准基e e e e 下的矩阵 五 设矩阵A 1 22 12 1 1 12 1 求矩阵A的 Jordan 标准形J 2 试求一个可对角化矩阵D和一个幂零矩阵N 且DN ND 使得 A D N 3 计算e 4 设x 0 12 3 求定解问题x t Ax t 的解 六 设 是由线性空间R 到线性空间R 上的线性变换 其中m n 1 试证 存在R 到R 上的幂等变换 及R 到R 上的单变换 使 得 2 令m 2 n 4 线性变换 为 x y x y 2x y 试求 R 上一组标准正交基 及R 上一组标准正交基 使得线性变换 在这 两组基下的矩阵为对角线元素均非负的4 2矩阵 七 证明变换tr X tr X 是线性空间M R 到R的满足性质 XY YX 及 I n的唯一的线性变换 2013 2014 ccc111 555 nnn 666 666 666 111 JJJKKK zzzKKK3 15 1 V NNN3 555 mmm U A aij V a12 a23 a31 a32 0 W A V AT A 0 KKKdim U T W A 3 B 4 C 5 D 6 2 U W X 555 mmmV nnn fff mmm eee U W T X U X T W X U W T X U T X W T X ZZZ X U T W X U T X W X U T W X T U X T W KKK ooo A 0 B 1 C 2 D 3 3 n n 2 A eee KKK A 333nnn A 333 ZZZ A 333QR A 333 KKK ooo KKK A 1 B 2 C 3 D 4 4 A n 555 F F KKK A A2 F A 2 F B A2 F A A F C A F sup x6 0 x Ax x x D A 2 F sup x6 0 x A Ax x x 5 n A vvv A2 I KKKeA A eI B eA C 1 2 e e 1 I e e 1 A D 1 2 e e 1 I e e 1 A WWW KKK zzzKKK3 15 6 x y z T x 2y z y z x 3z T mmmR3 555CCC KKK CCC mmmIm IIIOOO 7 3 A B vvv A 6 0 A2 0 B2 I XXXJJJI B mmm 2 KKK A BA B A BA B 444 8 x x1 x2 xn T y y1 y2 yn T n x1 y1 1 XXX JJJxyT LU xyT nnn KKKUL 9 A 011 001 000 K KKcos At 10 n n 2 4 KKK Moore Penrose 1 nnn OOO KKK yyy KKK 11 14KKKzzzKKK15 15KKK10 70 11 U x y z w x y z w 0 W x y z w x y z w 0 mmmR4 fff mmm 1 U W U W ggg IIIOOO 2 U 2 fff mmmU0 mmmU 0 W 3 R4 KKKCCC Ker U 333IIIOOO eee 2 12 kkkn n 2 A 1 a2 n a10 00an a11 a2 1 a2 000 0a21 a2 2 000 000 an 21 a2 n 2 an 1 an00 0an 11 a2 n 1 ai 1 i n PPPx x1 x2 xn T f x f x1 x2 xn xTAx 1 888 U x Rn f x 0 Rn fff mmm XXXJJJ XXXJJJ fff mmm 2 333Rn SSS x Rnkkk x x f x ai 1 i n 1 0 0 T 1 1 1 T333TTTSSS eee YYY 3 13 A 22 1 1 11 1 22 1 A JordanIIIOOO J