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文档简介

周期数列一、周期数列的定义: 类比周期函数的概念,我们可定义:对于数列,如果存在一个常数,使得对任意的正整数恒有成立,则称数列是从第项起的周期为的周期数列。若,则称数列为纯周期数列,若,则称数列为混周期数列,的最小值称为最小正周期,简称周期。设An是整数,m是某个取定的大于1的正整数,若Bn是An除以m后的余数,即Bn=An(mod m),且Bn在0,1,2,.,m-1,则称数列Bn是An关于m的模数列,记作An(mod m)。若模数列An(mod m)是周期的,则称An是关于模m的周期数列。二、 周期数列的性质1、周期数列是无穷数列,其值域是有限集;2、如果是数列的周期,则对于任意的,也是数列的周期。3、若数列满足(,且),则6是数列的一个周期。4、已知数列满足(,且为常数),分别为的前项的和,若(,),则,。特别地:数列的周期为6,(即:)则5、若数列满足,则数列是周期数列;若数列满足,则数列是周期数列。若数列满足,则数列是周期数列。特别地:数列满足,则数列周期T=2;数列满足,则数列周期T=3数列满足,则数列周期T=2;数列满足,则数列周期T=36、若数列满足a+d=0,则数列是周期T=2;例:数列满足则数列是周期T=2;三、周期数列性质的简单应用1、求数列的通项公式(1)数列 1,2,1,2,1,2, 的通项公式解析:原数列可构造成:, ,它的通项公式可以写成: (n N),或者写成: ( n N),又或者写成: (n N),总结:一般的数列 a,b,a,b,a,b, 它的通项公式可以写成: ( n N)(2),0,1,0,1,的通项公式解析:该数列周期为3,我们把它与周期为的函数 进行改造,使它们能发生联系。事实上,当 x分别为,0,时,的值分别为,0,0,这样,0,1,0,1,的通项公式可以写成:所以,原数列的通项公式为 (n N)(3)数列 :1,2,3,4,1,2,3,4, 的通项公式解析:将原数列扩大2倍:2, 4, 6, 8, 2, 4, 6, 8,再减去平均数5得到:, 1, 3, 1, 3,分解成两个数列:(1) , 1, , 1, , 1, , 1, (2) , 2, 2, , , 2, 2, (1)的通项公式为 易得,(2)的通项只要求出,的通项便可以了,它与(2)相差一个系数。以上数列的符号与正弦函数在四个象限的符号完全一致,它通项: (nN), ,2,2,2,2,的通项为: (nN), ,1,3,1,3,的通项为: (nN),则原数列的通项为: (nN)。(4):1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,的通项公式乘以(4)得:, 加上(n+4)得:1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,它的通项公式为: 又 化简整理得: (nN)。2、求数列中的项例3(由第十四届希望杯改编)、已知数列中,且对于大于的正整数,总有,则等于( ) A-5 B-2 C2 D3解析:由性质(2)知,数列是以6为周期的周期数列,而,再由性质(3)可得,故选A例4(上海中学数学杂志2000年的第1期)、已知实数列满足(为实数),(),求解:()可变形为我们发现与三角式十分相似,因此可把此三角式认为是原递推关系的原型通过运算,发现本题中可取=,显然此数列的周期是6而,再由性质(3),得3、求周期数列的前项和例5、设数列中,且对,有= ()成立,试求该数列前100项和解:由已知条件,对任何自然数,有= ,把式中的换成,得= 两式相减得,因为,所以所以是以4为周期的周期数列,而,再由性质(3),得例6(上海08质检题)、若数列满足,为的前项和,且,求解析:由及性质(2),可知所以数列是以6为周期的周期数列由,知,再结合,可求得,;由递推关系式可进一步求得,因为,由性质(3),得4、求周期数列的极限例7、(06北京)在数列中,是正整数,且,则称为“绝对差数列”若“绝对差数列”中,数列满足,分别判断当时,数列和的极限是否

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