周期数列详解.doc

周期数列一、周期数列的定义： 类比周期函数的概念，我们可定义：对于数列，如果存在一个常数，使得对任意的正整数恒有成立，则称数列是从第项起的周期为的周期数列。若，则称数列为纯周期数列，若，则称数列为混周期数列，的最小值称为最小正周期，简称周期。设An是整数,m是某个取定的大于1的正整数,若Bn是An除以m后的余数,即Bn=An(mod m),且Bn在0,1,2,.,m-1,则称数列Bn是An关于m的模数列,记作An(mod m)。若模数列An(mod m)是周期的,则称An是关于模m的周期数列。二、 周期数列的性质1、周期数列是无穷数列，其值域是有限集；2、如果是数列的周期，则对于任意的，也是数列的周期。3、若数列满足（，且），则6是数列的一个周期。4、已知数列满足（，且为常数），分别为的前项的和，若（，），则，。特别地：数列的周期为6，（即：）则5、若数列满足，则数列是周期数列；若数列满足，则数列是周期数列。若数列满足，则数列是周期数列。特别地：数列满足，则数列周期T=2；数列满足，则数列周期T=3数列满足，则数列周期T=2；数列满足，则数列周期T=36、若数列满足a+d=0,则数列是周期T=2；例：数列满足则数列是周期T=2；三、周期数列性质的简单应用1、求数列的通项公式（1）数列 1，2，1，2，1，2， 的通项公式解析：原数列可构造成：， ，它的通项公式可以写成： (n N)，或者写成： ( n N)，又或者写成： (n N)，总结：一般的数列 a，b，a，b，a，b， 它的通项公式可以写成： ( n N)（2），0，1，0，1，的通项公式解析：该数列周期为3，我们把它与周期为的函数 进行改造，使它们能发生联系。事实上，当 x分别为，0，时，的值分别为，0，0，这样，0，1，0，1，的通项公式可以写成：所以，原数列的通项公式为 (n N)（3）数列 ：1，2，3，4，1，2，3，4， 的通项公式解析：将原数列扩大2倍：2， 4， 6， 8， 2， 4， 6， 8，再减去平均数5得到：， 1， 3， 1， 3，分解成两个数列：(1) ， 1， ， 1， ， 1， ， 1， (2) ， 2， 2， ， ， 2， 2， (1)的通项公式为 易得，(2)的通项只要求出，的通项便可以了，它与(2)相差一个系数。以上数列的符号与正弦函数在四个象限的符号完全一致，它通项： (nN)， ，2，2，2，2，的通项为： (nN)， ，1，3，1，3，的通项为： (nN)，则原数列的通项为： (nN)。（4）：1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，的通项公式乘以(4)得：， 加上(n+4)得：1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4，它的通项公式为： 又 化简整理得： (nN)。2、求数列中的项例3（由第十四届希望杯改编）、已知数列中，且对于大于的正整数，总有，则等于（ ） A-5 B-2 C2 D3解析：由性质（2）知，数列是以6为周期的周期数列，而，再由性质（3）可得，故选A例4（上海中学数学杂志2000年的第1期）、已知实数列满足（为实数），()，求解：()可变形为我们发现与三角式十分相似，因此可把此三角式认为是原递推关系的原型通过运算，发现本题中可取=，显然此数列的周期是6而，再由性质（3），得3、求周期数列的前项和例5、设数列中，且对，有= （）成立，试求该数列前100项和解：由已知条件，对任何自然数，有= ，把式中的换成，得= 两式相减得，因为，所以所以是以4为周期的周期数列，而，再由性质（3），得例6（上海08质检题）、若数列满足，为的前项和，且，求解析：由及性质（2），可知所以数列是以6为周期的周期数列由，知，再结合，可求得，；由递推关系式可进一步求得，因为，由性质（3），得4、求周期数列的极限例7、（06北京）在数列中，是正整数，且，则称为“绝对差数列”若“绝对差数列”中，数列满足，分别判断当时，数列和的极限是否