高中数学必修5第一章解三角形教案、学案 正弦和余弦定理设计.doc

金太阳新课标资源网 第一章 解三角形本章概览三维目标1掌握正、余弦定理，能初步利用这两个定理解斜三角形。能利用计算器解决有关解斜三角形的计算问题，能够利用正、余弦定理等知识、方法解决一些与测量以及与几何计算的有关的实际问题。2通过对三角形的边角关系的探究学习，体验数学探究活动的过程，培养探索精神和创新意识；在运用正、余弦定理解决一些实际问题的过程中，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学会用数学的思维方式解决问题、认识世界；通过实习作业，体会“解三角形在测量中的应用”，提高应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作能力；通过学习和应用，进一步体会数学的科学价值、应用价值，进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化素养，并且由正、余弦定理的形式能感受到数学的美。3通过对正、余弦定理的学习，要求对于三角形的的相关问题的解决能灵活地根据具体问题去恰当处理。总之，有了正、余弦定理之后，又给解决三角形的问题提供了一种新的思路，对于具体问题的解决都要具体分析，灵活地运用所学知识去应对实际生活中的各种可能的问题。4本章中的有关三角形的一些实际问题，往往动笔计算比较复杂，象这样的问题的计算就要求大家能用计算器或电脑来帮助计算，能根据精确度的需要保留相应的位数。尽管科学技术发展很快，但必要的计算能力对于一个现代人还是有必要的，所以平时大家还要注意训练自己的运算速度与准确性，时刻注意锻炼自己的意志力。5本章学习了正、余弦定理后，对于以后遇到相关三角形的问题时，应当时时注意考虑运用这两个定理去解决相关问题，但与此同时也不能忽视其它方面的知识的应用，否则可能问题不能顺利解决，时时注意前后知识的关联。本章知识网络解三角形正弦定理余弦定理正弦定理的变形形式余弦定理的变形形式解三角形应用举例测量实习1.1 正弦定理和余弦定理第一版块三点剖析一、正弦定理及其证明正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即正弦定理揭示的是一般三角形中的重要边角关系，它们是解三角形的两个重要定理之一。对于正弦定理，课本首先引导学生回忆任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，引导学生思考是否能得到这个边、角关系准确量化表示的问题。由于涉及边角之间的数量关系，就比较自然地引导到三角函数。在直角三角形中，边之间的比就是锐角的三角函数。研究特殊的直角三角形中的正弦，就很快证明了直角三角形中的正弦定理。分析直角三角形中的正弦定理，考察结论是否适用于锐角三角形，可以发现asinB和bsinA实际上表示了锐角三角形边AB上的高。这样，利用高的两个不同表示，就容易证明锐角三角形中的正弦定理。钝角三角形中定理的证明要应用正弦函数的诱导钝角三角形中定理的证明要应用正弦函数的诱导公式，教科书要求学生自己通过探究来加以证明。可以考虑采用向量的知识来证明。 二、余弦定理及其证明余弦定理在一个三角形中，任一边的平方都等于其它两边的平方和减去这两边与其夹角的余弦的积的倍，即；余弦定理同样揭示的是一般三角形中的重要边角关系，它们是解三角形的两个重要定理之一。由直角三角形三边间的关系，归纳猜想任意三角形的边角间的关系。自己学会探索、并试着去从理论上去解决。通过这个定理的探索并去从理论上证明，作为一个现代中学生，要掌握一些研究事物的方法、要学会学习，善于提出问题，并且试着去解决问题。同样这个定理的证明也是采用了向量的相关知识很容易得到解决，向量知识在数学上的一个具体应用，这也体现了数学科学的特点之一：前后知识间联系紧密。这也要求大家能够将前后知识联系起来，而不应该是孤立地来学习某部分知识，而不善于将所学恰当地应用，这也要求大家能够活学活用。当然这两个定理的证明证明方法，自己还可以考虑采用比如平面几何知识等其它的方法，以锻炼自己的能力。 三、正弦定理和余弦定理的应用正弦定理的应用：1用正弦定理解三角形是正弦定理的一个直接应用，正弦定理可以用于两类解三角形的问题：（）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。（）已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角.三角形解的个数一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形（已知a, b和A），用正弦定理求B时的各种情况：若A为锐角时:，如下图所示：若A为直角或钝角时:余弦定理的应用：利用余弦定理可以解决两类解斜三角形问题：（1） 已知三边，求各角；（2） 已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角。问题与探究【问题1】正、余弦定理都揭示的是同一个三角形的边角间的关系，有了这两个重要定理后，对于三角形的问题好似有了两把“宝剑”，那么这两把“宝剑”如何恰当地使用呢？【探究】就这个问题，通常须具体问题而定、视题中所给的条件而定。一般说来，正弦定理常宜解决下列问题：（1）已知两角及一边，求其它元素；（2）已知两边及其中一边的对角，求其它元素。而余弦定理常宜解决下列问题：（3）已知三边，求各角；（4）已知两边及其夹角，求其它元素。由于三角形全等的判定定理有“角角边”、“角边角”、“边边边”、“边角边”，所以以上的（1）、（3）、（4）情形都只有一解，而（2）这样的情形可能有一解、两解或无解。当然这也不是绝对的，有关解三角形的问题，在具体的问题中如何恰当地使用这两个定理，这的确必须视具体问题而定，有时在同一个问题中可能这两个定理要同时使用才能达到目的或者使用其中的任何一个定理都可以达到目的。另外还应当注意使用方式，是利用定理的原始形式还是使用相应的某种变形形式，这都是要在具体问题中去具体地分析才行。【问题2】除了正、余弦定理所给出的同一个三角形的边角间的关系外，是否还有其它的一些边角关系呢？通过进一步地思考，由这两个定理还可以得到在三角形中的怎样一些结论？【探究】其实这两个定理本身仅揭示的是同一个三角形的基本的边角关系，还有很多其它的边角关系。比如，由正弦定理及其它相关知识还可以有这样的一些边角关系：，等。同样由余弦定理也可得到另外一些边角关系，以及把正、余弦定理结合在一起还可以得到一些新的结论，如：，等。（注：注意这些结论在解决相关问题时可以考虑恰当地选用。）精题精讲【例1】 在中，若，求的周长。思路解析：本题是是已知两边及其一边所对的角，要求其周长，自然要考虑去寻求第三边，容易想到由正弦定理去考虑，先找出其中某个内角的大小或其正弦的大小，通过分析发现可以先将角给找出，进而把问题解决。解：由正弦定理得 。，。（1） 当时，的周长为；（2） 当时，的周长为。综上，的周长是或。黑色陷阱：此类问题容易漏解。在以上的解题目过程中，由容易简单地得到 ，从而造成问题解答不全面， 产生这样的错误的原因是对于相关三角函数的知识模糊。【例2】在中，分别是的对边长,且。（1）求；（2）若，且，求的面积。思路解析：本题所给已知条件中，即有边又有角，第一个问题是求其中一内角的正弦，由此容易想到把已知条件中的边转化为相应的角，利用正弦定理、余弦定理可知，把已知条件中的边角之间的关系全部转化为角之间的关系，从而将问题解决。第二个问题容易想到利用三角形相应的面积公式，从而围绕着公式去考虑需要些什么条件，决定去寻找相应的条件，把问题解决。解：（1）由正弦定理得 ，又，即，。又，。又，；（2）在中，由余弦定理得 ，又，。绿色通道：对于此类三角形中的问题解决，通常已知条件中既涉及到边又涉及到角，通常考虑问题有两个方向：一是将所有的边之间的关系转化为角之间的关系；二是将所有的角之间的转化为边之间的关系从而将问题解决。当然这样的问题究竟是将边全部转化为角好还是将角全部转化为边好，这要视具体问题而定，只有对于此类问题作了一定的练习之后，逐渐就会对于此类问题有所办法。【例3】在中，分别是的对边长，若，试判断的形状。思路解析：本题是根据已知条件判断三角形的形状问题，而已知条件中既涉及到边又涉及角，所以容易想到借助于正、余弦定理将边、角互化，从而将问题解决。解：由得，即，故为等腰直角三角形。绿色通道：类似本题这样的的问题，判断三角形的形状，常常有两种方式去考虑，一是从边的角度去加以判断，从而可以考虑将已知条件转化为边间的关系；二是从角的角度去判断，从而可以考虑将已知条件转化为角间的关系。【例4】已知有两个小岛相距21海里，岛在岛的正南方。现在甲船从岛出发，以9海里/时的速度向岛行驶，而乙船同时以6海里/时的速度离开岛向南偏东方向行驶。问行驶多少时间后，两船相距最近？并求出两船的距离。思路解析：本题是实际生活中的数学问题，如何恰当地应用所学数学知识去解决相关的实际问题，这也是学数学的真正目的。对于绝大多数同学来说，往往不能很好地去解决这样的实际问题，这就说明同学的应用意识不强，只会学那些抽象的知识，并不能真正将其应用到生活中去解决问题，这样的问题同学常常觉得难，这易入手。另外，这个问题中涉及到方位角，对于方位角的含义要求同学真正清楚，否则也容易出错。本题在解决时同学自己应该能根据题意所述，画出相应的示意图来，从而帮助恰当地解决问题。显然随着时间的推移，两船之间的距离要随之而变化，故可以试着去建立以时间为变量的函数关系，从而把问题解决。解：设行驶小时后，甲船到达处，乙船到达处。则，由余弦定理得： 当时，有最小值，最小值为海里。绿色通道：本题主要是要能够根据题意所述，正确地画出示意图，并能根据题意所述正确列出函数关系式，从而把问题转化为二次函数的最值问题。第二版块基础达标1 在中，已知，则其外接圆的半径（ ）A .不确定 1思路解析：由于在中，有，故选A。答案：选A。2在中，是的（ ）A充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 D既不充分也不必要条件2思路解析：由 （其中是的外接圆半径） 得知，是的充要条件，从而得到正确答案。答案：选。（注：此题的结论最好记住，这对于求解三角形中的有关三角函数值的计算很有帮助。）3在中，分别是的对边长，下列等式恒成立的是（ ）。 3思路解析：根据正弦定理可知有：， 。 答案：选 。4在中，分别是的对边长，且，则（ ）。 4思路解析：根据正弦定理有：， 答案：选。5在中，已知三边，试判断的形状。5思路解析：本题主要涉及到三角形的形状问题，在此可以借助于余弦定理判断好象每个内角是锐角、钝角还是直角，事实上在此只要判断其中的最大内角是怎样的角就可以了（因为这个三角形显然不是等腰三角形），而要判断它是怎样的角，只要判断其符号如何，即判断与的大小即可。解：由题意知 ，所以 最大，而，故内角是锐角，故为锐角三角形。6在中，分别是的对边长。已知成等比数列，且，求的大小及的值。6思路解析：本题已知条件中所出现的边之间的关系及其形式，容易联想到余弦定理，从而借助于余弦定理把相应角给找出，进而看后者，然而结合已知条件，看似不可求，但仔细结合正弦定理分析，从整体来看容易发现问题能够解决。解：成等比数列，。又，。在中，由余弦定理得 ，。在中，由正弦定理得 ，又，。7 在中，分别是的对边长。求证：。7 思路解析：本题要证的等式中既有边又有角，同样容易考虑到要么将边化为角要么将角化为边，从而借助于正、余弦定理把问题解决。证明：根据正弦定理知，要证明的等式等价于，又注意到 ，即要证：，即证：，即证：，亦即证：，而上式显然成立，故成立。8 某观测站在目标的南偏西方向，从出发有一条南偏东走向的公路，在处测得公路上与相距31千米的处有一人正沿此公路向走去，走20千米后到达处，此时测得、间的距离为21千米，求此人所在处距还有多少千米？8 思路解析：本题是与实际生活有关的问题，对于这样的问题也是学数学、用数学的一个方面的体现，数学从实际生活中来，又反过来为实际生活服务。此题主要涉及到方位角，对于方位角不要要分清东南西北四个基本方向，然后对于一些方位术语要有清楚的认识才行，否则就容易出错。解：由题意知，。在中，。由余弦定理得 即，或（舍）。故（千米），此人所在处距还有15千米。9. 在中，分别是的对边长，已知，且，求内角的大小。9. 思路解析：本题由第一个条件容易想到应用余弦定理从而可以将角求出,再由第二个条件容易想到从正弦定理出发，利用相关的边角关系将问题解决。解：由得 ，。由得，即，。综合发展10 我缉私巡逻艇在一小岛南西，距小岛12海里的处，发现隐藏在小岛边上的一走私船正向岛北西方向行驶，测得其速度为10海里/时，试问我巡逻艇必须用多大的速度朝什么方向航行才能恰好在两小时后截获走私船？（参考数据：）10思路解析：本题来源于实际生活，涉及到方位角，所以象这样的题目最好先根据题意画出相应的示意图，以帮助问题正确解决。对于题中所涉及的方位角，这就要求学生对于基本的方位一定要清楚，否则就会在解决问题的过程中出现问题，从而导致出错。解；设我巡逻艇恰在处截获走私船，我巡逻艇的航行速度为海里/时，则。依题意，由余弦定理得 ，。又由正弦定理得 ，从而易知，我巡逻艇必须用14海里/时的速度向北东的方向航行。11在一很大的湖岸边（可视湖岸为一直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮起跑，其方向与湖岸成，速度为千米/时，同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为千米/时。试问此人能否追上小船？若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？11思路解析：本题是从实际生活中抽象出来的数学问题，要求学生根据已知条件画出其示意图来，以帮助思考、解决问题。另外还要求学生能将生活语言恰当地转化为数学语言，要求人能追上小船这样的生活语言，这样的要求反映在数学上又是什么意思，这些都要求同学能正确地转化。解：设小船的速度为千米/时，显然当时，人不可能追上小船；当时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑的情况，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船。设人追上小船所用时间为小时，其中人在岸上跑的时间为，则人在水中游的时间为小时，人要追上小船，则人船的运动路线必构成一个三角形。，由余弦定理得 ，即，整理得 ，要使这个关于的一元二次方程在内有实数解，则必须有：且，由此解得 ，即。故当船速在时，人船运动路线可构成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为千米/时，由此可见当船速为千米/时时，人能追上小船。探究创新12 已知有两座城市，根据你所学过的知识，试给出城市，使三点恰好构成以为斜边的直角三角形的多种条件。12思路解析：这个问题是从实际生活中所抽象出来的，只要能恰当地将其数学化，充分地利用所学数学知识，不难发现要给出使为以为斜边的直角三角形的条件很多。可以从以前所学的勾股定理的逆定理来考虑，也可以从这里学过的正、余弦定理来考虑，使得它为以为斜边的直角三角形的条件是多种多样的。解：下面仅列出一部分可以使为以为斜边的直角三角形的条件：（注：记分别是的对边长） （1）； （2）； （3）或； （4）或；（5）或； （6）；（7）； （8）；（9）。请同学们自己继续思考是否还有其它的一些不同条件，也能够保证为以为斜边的直角三角形。并思考为什么以上的条件都能够使得为以为斜边的直角三角形。第三版块合作共赢现在我们将全班同学分成个研究小组，阅读下面的材料，并思考材料后的问题。古希腊几何学家海伦在他的著作度量一书中提出并证明了已知三角形