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文档简介

在这里,没有考不上的研究生。高数中的重要定理与公式及其证明(二)考研数学中最让考生头疼的当属证明题,而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度,一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试,很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂,硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力,最后还弄得自己一头雾水。因此,在这方面可以有所取舍。现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。这些证明过程,或是直接的考点,或是蕴含了重要的解题思想方法,在复习的初期,先掌握这些证明过程是必要的。6)定积分比较定理如果在区间上恒有,则有推论:如果在区间上恒有,则有; 设是函数在区间上的最大值与最小值,则有:【点评】:定积分比较定理在解题时应用比较广,定积分中值定理也是它的推论。掌握其证明过程,对理解及应用该定理很有帮助。具体的证明过程教材上有。7)定积分中值定理设函数在区间上连续,则在积分区间上至少存在一点使得下式成立:【点评】:微积分的两大中值定理之一,定积分比较定理和闭区间上连续函数的推论,在证明题中有重要的作用。考研真题中更是有直接用到该定理证明方法的题目,重要性不严而喻。具体证明过程见教材。8)变上限积分求导定理如果函数在区间上连续,则积分上限的函数在上可导,并且它的导数是设函数,则有。【点评】:不说了,考试直接就考过该定理的证明。具体证明过程见教材。9)牛顿-莱布尼兹公式如果函数在区间上连续,则有,其中是的原函数。【点评】:微积分中最核心的定理,计算定积分的基础,变上限积分求导定理的推论。具体证明过程见教材。10)费马引理:设函数在点的某领域内有定义,并且在处可导,如果对任意的,有,那么【点评】:费马引理是罗尔定理的基础,其证明过程中用到了极限的保号性,是很重要的思想方法。具体证明过程见教材。11)罗尔定理:如果函数满足(1)在闭区间上连续;(2)在开区间上可导(3)在区间端点处的函数值相等,即 那么在内至少存在一点,使得。【点评】:罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理是一脉相承的三大定理;它们从形式上看是由特殊到一般,后面的定理包含前面的定理,但实际上却是相互蕴含,可以相互推导的。这几个定理的证明方法也就是与中值有关的证明题主要的证明方法。中值定理的证明是高数中的难点,一定要多加注意。具体证明过程见教材。12)拉格朗日中值定理:如果函数满足(1)在闭区间上连续;(2)在开区间上可导那么在内至少存在一点,使得。【点评】:同上。13)柯西中值定理:如果函

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