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第4章平行四边形 4 5三角形的中位线 三角形的中位线 例1 1 在 abc中 d e分别是边ab ac的中点 若bc 5 则de的长为 a 2 5b 5c 10d 15 2 如图 abc中 d是ab上一点 且ad ac ae cd于点e f是bc的中点 求证 bd 2ef 分析 1 由d e分别是边ab ac的中点可知 de是 abc的中位线 根据中位线定理即可求得de的长 2 要证bd 2ef 由于f是bc的中点 则只需证e是cd的中点即可 解 1 a 2 ad ac ae cd ce de 又 f是bc的中点 则ef是 cbd的中位线 bd 2ef 注意点 中位线定理是说明线段倍分关系的重要定理 也是证明直线平行的一种特殊方法 三角形中位线的应用 例2如图 ad是 bac的外角平分线 cd ad于点d e是bc的中点 求证 de ab ac 分析 直接证明de ab ac 比较困难 注意到e是bc的中点 联想到三角形的中位线定理 于是延长cd与ba交于f点 只需证d是cf的中点及af ac即可 证明 如图 分别延长cd ba交于f点 ad是 bac的外角平分线 cad fad cd ad adc adf 90 acd f ac af cd df 即d是cf的中点 e是bc的中点 de ab af ab ac 注意点 应用三角形的中位线定理解决倍分问题时 常将线段加倍或折半 例3如图 已知在四边形abcd中 ab cd e f分别为ad与bc的中点 连结ef与ba的延长线相交于点n 与cd的延长线相交于点m 求证 bnf cmf 分析 bnf和 cmf并不处于同一个三角形中 也难找到一对全等的三角形 故需要考虑将这两个角转移 证明 如图 连结ac 取ac的中点k 再连结ke kf e k分别为ad与ac的中点 ek dc 且ek dc 同理fk ab 且fk ab bnf mfk fek cmf 又 ab cd ek fk mfk fek bnf cmf 注意点 从添辅助线的角度来看 遇到中点或中线时 可考虑是否将中线延长一倍 当出现两个中点时 可以连结它们构造中位线来解题 如本例中通过中位线把两个角平移到同一个三角形中去 使它们处于同一个三角形或一对能够全等的三角形之中 例如图 在 abc中 acb 52 点d e分别是ab ac的中点 若点f在线段de上 且 afc 90 则
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