2012年上海市初三数学压轴题分类.doc

2012年上海市初三数学压轴题分类一、三等角模型结合动点问题： 利用三等角构成的相似三角形，构建边与边之间的函数关系三等角结合等腰梯形，常见辅助线的添加，比如高，平移腰等（杨浦崇明合卷）1、梯形ABCD中，AD/BC，ABC=（），AB=DC=3，BC=5。点P为射线BC上动点（不与点B、C重合），点E在直线DC上，且APE=。记PAB=1，EPC=2，BP=x，CE=y。（1）当点P在线段BC上时，写出并证明1与2的数量关系；（2）随着点P的运动，（1）中得到的关于1与2的数量关系，是否改变？若认为不改变，请证明；若认为会改变，请求出不同于（1）的数量关系，并指出相应的x的取值范围； （备用图）DCBAABCDPE（3）若，试用x的代数式表示y。 1）1=2 证明：APC=ABC+1，又APC=APE+2， ABC+1=APE+2， ABC=APE，1=2 （2）会改变，当点P在BC延长线上时，即时， 1与2的数量关系不同于（1）的数量关系。解：APE=ABC，APB=2， ABC+BAP+APB=1800，+1+2=1800， 12=18002。（3）情况1：当点P在线段BC上时，1=2，B=C，ABPPCE， PCEBMD12GK， 即，。情况2：当点P在线段BC的延长线上时，可得EPCEGP， 作AM/CD，可得作EKBP，由得，于是即亦即三等角结合矩形（矩形性质运用，以及直角三角形相关定理）（2012黄浦、卢湾一模25题）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E是AB边上一点，EFCE交AD于点F，过点E作AEH=BEC，交射线FD于点H，交射线CD于点N.(1) 如图a，当点H与点F重合时，求BE的长；(2) 如图b，当点H在线段FD上时，设BE=x，DN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；(3) 联结AC，当FHE与AEC相似时，求线段DN的长.25（1），.（2）过点作，垂足为点.，.（3）， ，.当与相似时，）若， ，（2分）图1)若，如所示，记与交于点.， ，,，设，则， ，综上所述，线段的长为或1.（2012长宁一模24题）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P是射线DA上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P，三角板两直角边中的一边始终经过点C，另一直角边交射线BA于点E.(1) 判断EAP与PDC一定相似吗？请证明你的结论；(2) 设PD=x，AE=y，求y与x的函数关系式，并写出它的定义域；(3) 是否存在这样的点P，使EAP周长等于PDC的周长的2倍？若存在，请求出PD的长；若不存在，请简要说明理由。解：（1） 当在边上时，如图(1) 矩形，据题意 当在边上时，如图(2) 同理可得 解：（2）若点在边上，据题意： 又 若点在边延长线上时，据题意，则， 解：（3）假如存在这样的点，使周长等于的2倍 若点在边上 ，不合题意舍去 若点在边延长线上，同理得 综上所述：存在这样的点满足题意，此时三等角结合等边三角形，等边三角形中特殊角的性质运用（2012普陀一模25题）把两块边长为4的等边三角板ABC和DEF先如图a放置，使三角板DEF的顶点D与三角板ABC的AC边的中点重合，DF经过点B，射线DE与射线AB相交于点M，接着把三角形版ABC固定不动，将三角形板DEF由图11-1所示的位置绕点D按逆时针方向旋转，设旋转角为.其中090，射线DF与线段BC相交于点N（如图b所示）.(1) 当060时，求AMCN的值.(2) 当060时，设AM=x，两块三角形板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式并求定义域.(3) 当BM=2时，求两块三角形板重叠部分的面积.解: （1） ABC和DEF是等边三角形 3 = C = A = 60 1 + 3 = 2 + C 1 = 2 AMDCDM AM*CN = AD*CD AD = CD = 2 AM*CN = 4 （2）过点D作DPAB，DQBC，垂足分别是点P、Q 在RtAPD中，得PD = 同理：DQ = AM = x，CN = SMBNC = SABC - SAMD - SCDN （3） 如图，当BM = 1时，AM = 2，即x = 2所以 y = ，即两块三角板重叠部分为 如图，过点D作DGBC，交AB于点G，DG = 2设DE与BC的交点为R 由DGBC，得： ，BR = 1 AM = 6 CN = RN = ,SDRN = （2012嘉定一模25题）如图1，已知等边ABC的边长为6，点D是边BC上的一个动点，折叠ABC，使得点A恰好与边BC上的点D重合，折痕为EF（点E、F分别在边AB、AC上）.(1) 当AE：AF=5:4时，求BD的长；(2) 当EDBC时，求的值；(3) 当以B、E、D为顶点的三角形与DEF相似时，求BE的长.25解：（1）ABC是等边三角形， ，. 由题意可知 AEFDEF，. 1分， ，ABCDEF图13-1.又， . ， BDECFD. 1分方法BDECFD， .设,则由知，,，. 设，则.ABCDEF图13-2MN . 即 整理，得 解得，即. 方法 BDECFD， （相似三角形的周长的比等于相似比）.1分又,， .解得：. 1分方法 过点A作，过点D作（如图132）1分设,，依题意易得，,，.在RtBEM中， , , 在RtFDN中， , ,易证DEMFDN，. 1分进而可得 ,整理，得 （1）1分在RtFDN中，依据勾股定理可得 （2）整理（2），并将（1）代入（2），可得 . 解得（不合题意，舍去），. 即 . 1分ABCDEF图13-3H（2）当时，如图133.，. 1分 过点作，垂足为.，. 1分 在中，1分 在中，1分 在中，. . 1分（3）分两种情况讨论：当以、为顶点的三角形与DEF相似，顶点、分别与、对应时，可得. .，.易得AEF、DEF、DFC、DEB是四个边长相等的等边三角形. 1分. 1分当以、为顶点的三角形与DEF相似，顶点、分别与、对应时，可得.ABCDEF图13-1又 ，. 1分易得AEF、DEF、DFC、DEB四个边长相等的等边三角形. 1分综上所述，当以、为顶点的三角形与DEF相似时，.1分若没有充分运用已知条件，而是依据直觉发现“当四个小三角形是边长相等的等边三角形时，可满足已知条件”，从而得到，可得3分.二、直角旋转型 此类问题往往旋转中心通过向直角两边作垂线段构建全等或相似（普陀二模）2、已知，是的平分线，点P在上，将三角板的直角顶点放置在点P处，绕着点P旋转，三角板的一条直角边与射线CB交于点E，另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G（1）如图9，当点F在射线CA上时，求证： PF = PE设CF= x，EG=y，求y与x的函数解析式并写出函数的定义域 （2）联结EF，当CEF与EGP相似时，求EG的长图9备用图 （1）证明：过点P作PMAC，PNBC，垂足分别为M、N 是的平分线，PMPN由，得，PMFPNE PF = PE 解：， PMFPNE， CFPN， （0x1）（2）当CEF与EGP相似时，点F的位置有两种情况：当点F在射线CA上时，在RtEGP中， 当点F在AC延长线上时，易证，可得易证PMFPNE，可得CFPN， （09上海中考）25（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）已知为线段上的动点，点在射线上，且满足（如图8所示）（1）当，且点与点重合时（如图9所示），求线段的长；（2）在图8中，联结当，且点在线段上时，设点之间的距离为，其中表示的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出函数定义域；ADPCBQ图8DAPCB（Q）图9图10CADPBQ（3）当，且点在线段的延长线上时（如图10所示），求的大小 解：（1）AD=2，且Q点与B点重合，根据题意，PBC=PDA，因为A=90。 PQ/PC=AD/AB=1,所以：PQC为等腰直角三角形，BC=3，所以：PC=3 /2,（2）如图：添加辅助线，根据题意，两个三角形的面积可以分别表示成S1，S2， 高分别是H，h，则：S1=（2-x）H/2=（2*3/2）/2-(x*H/2)-(3/2)*(2-h)/2S2=3*h/2 因为两S1/S2=y，消去H,h,得：Y=-(1/4)*x+(1/2), 定义域：当点P运动到与D点重合时，X的取值就是最大值，当PC垂直BD时，这时X=0，连接DC,作QD垂直DC，由已知条件得：B、Q、D、C四点共圆，则由圆周角定理可以推知：三角形QDC相似于三角形ABDQD/DC=AD/AB=3/4，令QD=3t,DC=4t,则：QC=5t，由勾股定理得：直角三角形AQD中：(3/2)2+(2-x)2=(3t)2直角三角形QBC中：32+x2=(5t)2整理得：64x2-400x+301=0 (8x-7)(8x-43)=0 得 x1=7/8 x2=(43/8)2(舍去) 所以函数:Y=-(1/4)*x+1/2的定义域为0，7/8(3)因为：PQ/PC=AD/AB,假设PQ不垂直PC，则可以作一条直线PQ垂直于PC，与AB交于Q点，则：B，Q，P，C四点共圆，由圆周角定理，以及相似三角形的性质得：PQ/PC=AD/AB,又由于PQ/PC=AD/AB 所以，点Q与点Q重合，所以角QPC=90。 ADPCBQ图8DAPCB（Q）图9图10CADPBQ（12浦东）5、已知：正方形ABCD的边长为1，射线AE与射线BC交于点E，射线AF与射线CD交于点F，EAF=45.（1）如图1，当点E在线段BC上时，试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系？并证明你的猜想.（2）设BE=x，DF=y，当点E在线段BC上运动时（不包括点B、C），如图1，求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围.（3）当点E在射线BC上运动时（不含端点B），点F在射线CD上运动.试判断以E为圆心以BE为半径的E和以F为圆心以FD为半径的F之间的位置关系. （4）当点E在BC延长线上时，设AE与CD交于点G，如图2.问EGF与EFA能否相似，若能相似，求出BE的值，若不可能相似，请说明理由.（1）猜想：EF=BE+DF. 证明：将ADF绕着点A按顺时针方向旋转90，得ABF，易知点F、B、E在一直线上.图1. （1分） AF=AF， FAE=1+3=2+3=90-45=45=EAF， 又 AE=AE，AFEAFE.EF=FE=BE+DF. （2）由（1）得 EF=x+y又 CF=1-y，EC=1-x， .化简可得 .（3）当点E在点B、C之间时，由（1）知 EF=BE+DF，故此时E与F外切；当点E在点C时，DF=0，F不存在.当点E在BC延长线上时，将ADF绕着点A按顺时针方向旋转90，得ABF，图2.有 AF=AF，1=2，FAF=90. FAE=EAF=45. 又 AE=AE，AFEAFE. .此时E与F内切. 综上所述，当点E在线段BC上时，E与F外切；当点E在BC延长线上时，E与F内切.（4）EGF与EFA能够相似，只要当EFG=EAF=45即可.这时有 CF=CE. 设BE=x，DF=y，由（3）有EF=x- y.由 ，得 . 化简可得 . 又由 EC=FC，得 ，即，化简得 ，解之得 （不符题意，舍去）. 所求BE的长为.三、等腰三角形相关类型等腰三角形相关性质的运用，尤其是三线合一，在此类问题中有重要作用。特别是涉及到平行线或特殊角，可以连续构造等腰三角形或特殊角的直角三角形（12黄浦二模）3、如图，已知中，是边上的中点，是边上的点（不与端点重合），是边上的点，且，延长与直线相交于点，点是延长线上的点，且，联结，设，.（1）求关于的函数关系式及其定义域；（2）联结，当以为半径的和以为半径的外切时，求的正切值；（3）当与相似时，求的长.备用图b备用图a解：（1）， ，是边上的中点， ，.（2）以为半径的和以为半径的外切，又， ， 又，又， ， ， ，是边上的中点， ， （3），当与相似时，若时，过点作，垂足为点.， 又，.若时，过点作，垂足为点.， 又，.综上所述，当与相似时，的长为2或.（12金山二模）7、如图，中，过点作，点、分别是射线、线段上的动点，且，过点作交线段于点，联接，设面积为，（1）用的代数式表示；（2）求与的函数关系式，并写出定义域； BPDQCAOE（3）联接，若与相似，求的长解：（1） ADBC，PEAC四边形APEC是平行四边形AC=PE=6 ，AP=EC= ,可得（2）AB=BC=5，BAC=BCA又APE=BCA，AOP=BCA，APE=AOP，AP=AO=来源:学*科*网当时，； 作BFAC，QHPE，垂足分别为点F、H， 则易得AF=CF=3，AB=5，BF=4由OHQ=AFB=90，QOH=BAF得OHQAFB， 所以与的函数关系式是 （3）解法一：BPDQCAOEFH当时由AP=BQ=x，AQ=BE=5-x，PAQ=QBE可得PAQQBE，于是PQ=QE 由于QPO=EPQ，所以若PQE与POQ相似，只有PQEPOQ可得OP=OQ 于是得，解得同理当，可得（不合题意，舍去）所以，若PQE与POQ相似， AP的长为。 解法二：当时，可得，于是得, 由于QPO=EPQ，所以若PQE与POQ相似，只有PQEPOQ 解得，（不合题意，舍去）所以，若PQE与POQ相似， AP的长为。 （12松江）如图，在ABC中，AB = AC = 10，cosB = ，点D在AB边上（点D与点A、B不重合），DEBC交AC边于点E，点F在线段EC上，且EF = AE，以DE、EF为邻边作平行四边形DEFG，连接BG（1）当EF = FC时，求ADE的面积；（2）设AE = x，DBG的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果DBG是以DB为腰的等腰三角形，求AD的值四、与圆相关的问题注意圆中三大定理，三大关系的运用三大定理：同圆半径相等 一等推三等 垂径定理三大关系：点与圆 直线与圆 圆与圆 抓住问题本质，例如d与r的关系解题（12静安二模）4、如图，的半径为 6，线段与相交于点、，与相交于点，设，（1） 求长；（2） 求 关于 的函数解析式，并写出定义域；（3） 当 时，求 的长解：（1）OC=OD，OCD=ODC，OAC=ODBBOD=A，OBDAOC ，OC=OD=6，AC=4，BD=9（2）OBDAOC，AOC=B又A=A，ACOAOB ，关于的函数解析式为 定义域为（3）OC=OE，CEODCOD=BOD=AAOD=180AODC=180CODOCD=ADOAD=AO， ， （负值不符合题意，舍去）AO=（12奉贤二模）10、已知：半圆的半径，是延长线上一点，过线段的中点作垂线交于点，射线交于点，联结（1）若，求弦的长（2）若点在上时，设，求与的函数关系式及自变量的取值范围；（3）设的中点为，射线与射线交于点，当时，请直接写出的值解：（1）连接OC，若当AC=CD时，有DOC=POCBC垂直平分OP, PC=OC=4, P=POC=DOC DOCDPO， 设CD=y， 则16=(y+4)y 解得即CD的长为（2）作OECD，垂足为E， 可得 P=P, PBC=PEO=90PBCPEO ， () （3）若点D在AC外时， 若点D在AC上时， 已知：如图，ABBC，AD / BC， AB = 3，AD = 2点P在线段AB上，联结PD，过点D作PD的垂线，与BC相交于点C设线段AP的长为x（1）当AP = AD时，求线段PC的长；（2）设PDC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当APDDPC时，求线段BC的长ABCDPABCD（备用图）解：（1）过点C作CEAD，交AD的延长线于点E ABBC，CEAD，PDCD，AD / BC， ABC =AEC =PDC = 90，CE = AB = 3 AD / BC， A +ABC = 180即得 A = 90又 ADC =DCE +DEC， ADC =ADP +PDC， ADP =DCE又由 A =DEC = 90，得 APDDCE 于是，由AP = AD = 2，得 DE = CE = 3 在RtAPD和RtDCE中，得 ， 于是，在RtPDC中，得 （2）在RtAPD中，由 AD = 2，AP = x，得 APDDCE， 在RtPCD中， 所求函数解析式为 函数的定义域为 0 x 3 （3）当APDDPC时，即得 APDDPCDCE 根据题意，当APDDPC时，有下列两种情况：（）当点P与点B不重合时，可知 APD =DPC 由 APDDCE，得 即得 由 APDDPC，得 即得 DE = AD = 2 AE = 4易证得四边形ABCE是矩形， BC = AE = 4 （）当点P与点B重合时，可知 ABD =DBC在RtABD中，由 AD = 2，AB = 3，得 由 ABDDBC，得 即得 解得 APDDPC时，线段BC的长分别为4或五、参数求解法 8、已知ABC中，（如图），点到两边的距离相等，且PA=PB（1）先用尺规作出符合要求的点P（保留作图痕迹，不需要写作法），然后判断ABP的形状，并说明理由；（2）设，试用、的代数式表示的周长和面积；（3）设CP与AB交于点D，试探索当边AC、BC的长度变化时，的值是否发生变化，若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由ABC（备用图）ABC解：（1）依题意，点P既在的平分线上，又在线段AB的垂直平分线上. 如图1，作的平分线CP，作线段的垂直平分线PM，CP与PM的 交点即为所求的P点。【有作图痕迹，且作图基本正确】. 是等腰直角三角形. 1分（只写出等腰三角形，不得分）.理由如下：过点P分别作、，垂足为E、F（如图2）. 平分，、，垂足为E、F，.又 ， . . ， 从而. 又 是等腰直角三角形.M图8-1图8-2（2）如图8-2，在中，. 由，可得，.在中， . . 所以的周长为：. 因为的面积=的面积的面积的面积 = =（）. 【或 .】（3）【法1】过点分别作、，垂足为、（图3）. 易得 . 由得 ；由得 +，得