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第二节 逆矩阵一、逆矩阵的定义前面讨论了矩阵的加、减、数乘云乘法运算，自然会提出矩阵是否有类似于数的除法那样的运算呢？本节讨论这个问题，若无特别说明，本节讨论的矩阵均为方阵。定义： 设A是一个n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称B是A的逆矩阵。 如果矩阵A是可逆的，那么A的逆矩阵是唯一的。设B、C都是A的逆矩阵，则有B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C所以A的逆矩阵是唯一的。A的逆矩阵记作，即若AB=BA=E,则 二、可逆矩阵的性质（1）证 因为 ，所以为的逆矩阵，即 （2）若A、B都是可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，且.证 因为 且（3）可逆矩阵A的转置矩阵 是可逆矩阵，且 证 因为 且 （4）若A可逆，数 则 也可逆，且 。证 因为，且 所以三、逆矩阵的求法定义了逆矩阵，并研究了逆矩阵的性质，下面要解决两个问题：一是什么样的矩阵有逆矩阵？二是如果一个矩阵有逆矩阵，如何求出逆矩阵？定义：若n阶 方阵A的行列式 ，则称A 为非奇异矩阵，若 ，则称A为奇异矩阵。定义3 行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的如下矩阵称为矩阵A的伴随矩阵。 仍是一个方阵，其中第i行第j列的元素为由行列式按一行（列）展开的公式可知所以 同理 ， 即定理1 方阵可逆的充分必要条件是 且 证 必要性： 因为A可逆，即有 使得 所以 故例1 判断矩阵是否可逆？若可逆，求.解 因为故A可逆。， ， 所以逆矩阵的应用十分广泛，例如，对线性方程组 令则方程组可成AX=B，叫矩阵方程。其中A叫方程组的系数矩阵，X叫未知矩阵，B叫常数项矩阵，于是求方程组的解，就转化为求矩阵方程AX=B中的未知矩阵X。如果A可逆，则用 左乘AX=B的两边，得， 即例2 解线性方程组解： 原方程组可写为AX=B。因为故存在，且 所以线性方程组的解为 配套巩固联系：
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