2015届高考理科数学一轮练习题-第七章　立体几何7.6空间直角坐标系及空间向量.doc

第6课时空间直角坐标系及空间向量1了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置2会推导空间两点间的距离公式3了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示4掌握空间向量的线性运算及其坐标表示5掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直【梳理自测】一、空间直角坐标系及空间向量的概念1在空间直角坐标系Oxyz中，点P(3,2，1)关于x轴的对称点的坐标为()A(3,2,1)B(3,2,1)C(3，2,1) D(3，2,1)2已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，则与的值可以是()A2， B，C3,2 D2,23如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()Aabc B.abcCabc D.abc答案：1.C2.A3.A以上题目主要考查了以下内容：(一)(1)空间直角坐标系：名称内容空间直角坐标系以空间一点O为原点，具有相同的单位长度，给定正方向，建立三条两两垂直的数轴：x轴、y轴、z轴，这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz坐标原点点O坐标轴x轴、y轴、z轴坐标平面通过每两个坐标轴的平面(2)空间中点M的坐标：空间中点M的坐标常用有序实数组(x，y，z)来表示，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标建立了空间直角坐标系后，空间中的点M和有序实数组(x，y，z)可建立一一对应的关系(二)空间两点间的距离(1)设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|.特别地，点P(x，y，z)与坐标原点O的距离为|.(2)设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)是空间中两点，则线段AB的中点坐标为.(三)空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量ab相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量ab共面向量平行于同一个平面的向量(四)空间向量的线性运算及运算律(1)定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如下：ab；ab；a(R)(2)运算律：加法交换律：abba；加法结合律：(ab)ca(bc)；数乘分配律：(ab)ab.(五)空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使得ab.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在实数x，y的有序实数对(x，y)，使pxayb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc.其中，a，b，c叫做空间的一个基底二、空间向量的数量积及运算律1已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k的值为()A1 B.C. D.2已知向量a(4，2，4)，b(6，3,2)，则(ab)(ab)的值为_答案：1.D2.13以上题目主要考查了以下内容：(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a，b，其范围是0，若a，b，则称a与b垂直，记作ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做向量a，b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cosa，b(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.【指点迷津】1一种方法用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是：(1)适当的选取基底a，b，c；(2)用a，b，c表示相关向量；(3)通过运算完成证明或计算问题2二个原则建立空间直角坐标系的原则(1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直；(2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上3二个推论共线向量定理推论若，不共线，则P，A，B三点共线的充要条件是且1.共面向量定理推论若、不共面，则P、M、A、B四点共面的充要条件是xyz且xyz1.考向一空间向量的线性运算如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3).【审题视点】逐步用三角形法则及向量运算法则【典例精讲】(1)P是C1D1的中点，aacacb.(2)N是BC的中点，abababc.(3)M是AA1的中点，aabc，又ca，abc.【类题通法】用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立1(2014舟山月考)如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且2，若xyz，则x，y，z的值分别为_解析：连结ON，()()x，y，z.答案：，考向二共线、共面向量定理及应用(2014上饶调研)已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：BD平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有()【审题视点】(1)利用向量共面与点共面的关系证明(2)根据向量共线的关系证(3)根据向量运算求证【典例精讲】(1)连接BG，则()，由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面(2)因为()，所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.(3)找一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.由(2)知，同理，所以，即EH綊FG，所以四边形EFGH是平行四边形所以EG，FH交于一点M且被M平分故()()【类题通法】空间共线向量定理、共面向量定理的应用三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面xy对空间任一点O，t对空间任一点O，xy对空间任一点O，x(1x)对空间任一点O，xy(1xy)2如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，D为BC边上的中点，求证：A1B平面AC1D.证明：设a，c，b，则ac，ab，bac，2，A1B平面AC1D，A1B平面AC1D.考向三空间向量数量积的应用已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)(1)求以，为边的平行四边形的面积；(2)若|a|，且a分别与，垂直，求向量a的坐标【审题视点】利用向量夹角公式求sin，代入面积公式向量垂直，数量积为0.【典例精讲】(1)由题意可得：(2，1,3)，(1，3,2)，cos，.sin，以，为边的平行四边形的面积为S2|sin，147.(2)设a(x，y，z)，由题意得解得或向量a的坐标为(1,1,1)或(1，1，1)【类题通法】(1)当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；(2)当异面直线所成的角为时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角来进行计算；(3)通过数量积可以求向量的模3已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若ABOC，求证：PMQN.证明：连结PB、PC()()()()|2()2|2|20PMQN.对应学生用书P131 已知向量a(1,2,3)，b(x，x2y2，y)，并且a、b同向，则x，y的值分别为_【正解】由题意知ab，所以.即把代入得x2x20，(x2)(x1)0，解得x2，或x1.当x2时，y6；当x1时，y3.当时，b(2，4，6)2a，两向量a，b反向，不符合题意，所以舍去当时，b(1,2,3)a，a与b同向，所以【答案】1,3【易错点】两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件错解就忽略了这一点【警示】a与b同向是ab的充分而不必要条件ab是a与b同向的必要而不充分条件1(2013高考全国新课标卷)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()解析：选A.结合已知条件画出图形，然后按照要求作出正视图根据已知条件作出图形：四面体C1A1DB，标出各个点的坐标如图(1)所示，可以看出正视图是正方形，如图(2)所示故选A.2(2014辽宁大连一模)长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A.B.C. D.解析：选B.建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.3(2012高考陕西卷)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A. B.C. D.解析：选A.不妨令CB1，则CACC12.可得O(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，(0,2，1)，