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文档简介
排列组合中“重复”的产生及纠正有些类型的排列、组合应用题是较容易出现错误解法的,其中产生的错误原因之一是由于重复造成的。现举几例对排列组合问题中“重复”现象产生的原因加以剖析、纠正,以期望对于提高解排列、组合应用题及分析解决问题的能力能有较大益处。一、 “至少”问题易重复例1:在100件产品中有3件次品,从这些产品中取出4件,至少有1件次品的抽法有多少种? 解法1:先在3件次品中抽出1件,抽法有种;然后在其余的99件产品(含未被抽出的2件次品)中任意抽出3件,抽法有种,这样抽出的4件产品至少含1件次品。根据分步计数原理,符合题意的抽法有(种)。点评:解法1 是错的,假设A、B、C分别为三件次品,D为某一合格品,“先抽出A(的一种可能),再抽B、C、D(的一种可能)”与先抽出B,再抽A、C、D是相同的抽法,所以解法1含3件次品的抽法重复而导致错误。又,假设E是另一合格品,“先抽出A,再抽出B、D、E”与“先抽出B,再抽出A、D、E”是相同的抽法,所以解法1中多出的种数还有含2件次品的抽法重复在内。正确方法:直接法或间接法种。2、均分组问题易重复例2:将8个不同的小球分成四堆,每堆2个,共有多少种不同的分堆方法? 解法1 :分四步完成。首先,从8个不同的小球中任意取出2个作为一堆 ,有种取法;然后,从其余的6个小球中任取2个作为一堆,有种取法;再者,从剩下的4个小球中任取2个作为一堆,有种取法;最后,留下的2个作为一堆,有种取法;根据分步计数原理,共有不同的分堆方法种数为种。点评:解法1是错误的,比如将8个不同的小球编号,对应号码分别为1,2,3,8。第一种取法:第一次取出1,2号球,第二次取出3,4号球,第三次取出5,6号球,第四次取出7,8号球,分成了四组。第二种取法:第一次取出7,8号球,第二次取出1,2号球,第三次取出3,4号球,第四次取出5,6号球,分成了四组,不难看出这两种取法是同一种分组方法,因此解法1出现重复,导致错误。正确解法:根据分步计数原理,共有种取法,再除以均分堆的重复次,所以共有不同的分堆方法有种。3、多个位置要求兼顾的排列问题易重复例3:6人任意排成一排照相,甲不排在左端,乙不排在右端,共有多少种不同的排法? 解法1 :6个人任意排成一排排法总数为种,其中不合题意的排法分两类。第一类:甲排在左端,其余5个人排在剩下的5个位置上,有种排法;第二类:乙排在右端,其余5人排在剩下的5个位置上,有种排法。所以适合题意的排法有种。点评:解法1是错误的。解法1中在去掉“不符合题意的”排列时产生了重复减。原因:解法1第一类,甲在左端为中有左 中 右 左 中 右 甲 含乙 无乙 与 甲 无乙 乙 两种情况,左 中 右 左 中 右 甲 含乙 无乙 与 甲 无乙 乙 两种情况,故在“全部减去不符”中,甲在左端乙在右端的情况重复被减去,因而导致错误。正确解法:在的基础上应再补上多减去的甲在左且乙在右的一类排法有种,所以适合题意的排法有种。4、环排问题易重复例46个人围圆桌而坐,一共有多少种不同的排法?解法1:6个人围坐,又无其他限制,则总共种。点评:6个人围桌坐和6个人坐成一排是不同的,原因在于坐成一个圆形没有首尾之分。不妨设6个人为,坐法与其实是相同的。为此,可把某人固定一个位,其余5人尽量变换次序,其余5人此时可全排为。故正确的解法应为种。5、顺序固定问题易重复例5、某人的电子邮箱的密码由5位数字组成,为了提高保密程度,他决定再插入两个英文字母,原来的数字及顺序不变,求可构成的新密码的个数。解法1:新密码由5个数字和两个字母这7个不同元素组成,则可构成的新密码应为种。点评:虽然新密码由5个数字和两个字母这7个不同元素组成,但题中规定原来的数字及顺序不变,也即在7个元素的排列过程中,原来5个元素的相对位置是不能改变的。故正确的方法是先把7个不同的元素全排列,则应是种方法,对其中的一类排列分析:不妨设在第一、二两位,另5位上全排,共有种方法,
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