级数 微分方程.doc

第七章 微分方程一、填空题（每空4分）（1）微分方程满足的特解为.【分析】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解.【解1】原方程变形为 ,先求齐次方程 的通解: 积分得 设为非齐次方程的通解,代入方程得 从而 , 积分得 ,于是非齐次方程的通解为 ,故所求通解为 .【解2】原方程变形为 ,由一阶线性方程通解公式得 ,从而所求的解为 .（2） 微分方程满足的解为.【分析】直接套用一阶线性微分方程的通解公式： ，再由初始条件确定任意常数即可.【解】 原方程等价为，于是通解为 =，由得C=0，故所求解为【评注】 本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外，本题也可如下求解：原方程可化为 ，即 ，两边积分得 ，再代入初始条件即可得所求解为（3） 微分方程满足初始条件的特解为 .【分析】 直接积分即可.【解】 原方程可化为 ，积分得 ，代入初始条件得C=2，故所求特解为 xy=2.【评注】 本题虽属基本题型， 也可先变形 ，再积分求解.（4） 微分方程的通解是【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可【解】 原方程等价为，两边积分得，整理得.（）（5）微分方程满足的特解为.【分析】本题为齐次方程的求解，可令.【解】令，则原方程变为. 两边积分得 ， 即，将代入左式得 ， 故满足条件的方程的特解为 ，即，.（6）微分方程满足条件的解是. 【解】： 由所以，又，所以（7）微分方程通解是.【解 】，（8）若二阶常系数线性齐次微分方程的通解为，则非齐次方程满足条件的通解为。【解】 由，得二阶常系数线性齐次微分方程的特征值，故a=-2,b=1，要求解的微分方程为。设特解代入微分方程为，得出-2A+Ax+B=x,A=1,B=2,故微分方程为的特解，通解为 代入初始条件，得，要求的解为二选择题（每小题4分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）已知是微分方程的解，则的表达式为 （A） (B) (C) (D) A 【分析】 将代入微分方程，再令的中间变量为u，求出的表达式，进而可计算出.【解】将代入微分方程，得 ，即 .令 lnx=u，有 ，故 = 应选(A). 【评注】 本题巧妙地将微分方程的解与求函数关系结合起来，具有一定的综合性，但问题本身并不复杂，只要仔细计算应该可以找到正确选项.三、简答题1、（本题满分12分）设函数y=y(x)在内具有二阶导数，且是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件的解.【分析】 将转化为比较简单，=，关键是应注意：= =.然后再代入原方程化简即可.【解】 (1) 由反函数的求导公式知 ，于是有=.代入原微分方程得 ( * )(2) 方程( * )所对应的齐次方程的通解为 设方程( * )的特解为 ，代入方程( * )，求得，故，从而的通解是 由，得. 故所求初值问题的解为 【评注】 本题的核心是第一步方程变换：利用直接函数与反函数的关系。2、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m. 根据设计要求，当以的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以的速率均匀扩大（假设注入液体前， 容器内无液体）.(1) 根据t时刻液面的面积，写出t与之间的关系式；(2) 求曲线的方程.(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.)【分析】 液面的面积将以的速率均匀扩大，因此t时刻液面面积应为：，而液面为圆，其面积可直接计算出来，由此可导出t与之间的关系式；又液体的体积可根据旋转体的体积公式用定积分计算，已知t时刻的液体体积为3t，它们之间也可建立积分关系式，求导后转化为微分方程求解即可.【解】 (1) 设在t时刻，液面的高度为y，则由题设知此时液面的面积为, 从而 (2) 液面的高度为y时，液体的体积为上式两边对y求导，得 ，即 解此微分方程，得 ，其中C为任意常数，由知C=2,故所求曲线方程为 【评注】 作为应用题，本题比较好地综合考查了定积分在几何上的应用与微分方程的求解。3、（本题满分9分）设y=f(x) 是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线，M(x,y)为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点. 若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为，求f(x)的表达式.【分析】 梯形OCMA的面积可直接用梯形面积公式计算得到，曲边三角形CBM的面积可用定积分计算，再由题设，可得一含有变限积分的等式，两边求导后可转化为一阶线性微分方程，然后用通解公式计算即可.【解】 根据题意，有 .两边关于x求导，得 当时，得 此为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为 y A= M= O C B x=当x=0时，f(0)=1.由于x=1时，f(1)=0 ,故有2+C=0，从而C=-2. 所以 4、(本题满分8分)设f (u , v)具有连续偏导数，且满足.求所满足的一阶微分方程，并求其通解.【分析】先求，利用已知关系，可得到关于y的一阶微分方程.【解】，因此，所求的一阶微分方程为.解得 (C为任意常数).【评注】 本题综合了复合函数求偏导数与微分方程，但是，求偏导数与解微分方程都是基本题型.5、（本题满分12分） 用变量代换化简微分方程，并求其满足的特解.【分析】 先将转化为，再用二阶常系数线性微分方程的方法求解即可.【解】 ， ，代入原方程，得 .解此微分方程，得 ，将初始条件代入，有. 故满足条件的特解为【评注】 本题的关键是将转化为，而这主要是考查复合函数求一、二阶导数.6、（本题满分8分）在坐标平面上，连续曲线过点，其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于（常数）.() 求的方程；() 当与直线所围成平面图形的面积为时，确定的值. 【分析】()利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；()利用定积分计算平面图形的面积，确定参数. 【解】() 设曲线的方程为，则由题设可得 ，这是一阶线性微分方程，其中，代入通解公式得 ，又，所以. 故曲线的方程为 . () 与直线（）所围成平面图形如右图所示. 所以 ， 故. 【评注】本题涉及了导数和定积分的几何意义，一阶线性微分方程的求解，属基本题型.7、 (本题满分10分)设函数具有连续的一阶导数，且满足，求的表达式.【分析】对含变上限积分的函数方程，一般先对x求导，再积分即可.【解】由方程可得 . 方程两边对求导得 ，此为一阶线性方程，解之得 ，将代入上式得 ，故.【评注】利用变限积分的可导性是解函数方程的方法之一.8、（本题满分10分）设非负函数y=y(x)(x0)，满足微分方程，当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成平面区域的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。【解】解微分方程得其通解，其中为任意常数，又因为通过原点时其与直线x=1及y=0围成平面区域的面积为2，于是可得，从而于是，所求非负函数又由可得，在第一象限曲线表示为于是D围绕y轴旋转所得旋转体的体积为，其中9、（本题满分12分）设y=y(x)是区间内过点的光滑曲线，当时，曲线上任一点处的发现都过原点，当时，函数y(x)满足。求y(x)的表达式。【解】由题意，当时，即，得，又代入得，从而有当时，得的通解为令解为，则由0+Ax+b+x=0，得A=-1,b=0，故，得的通解为由于y=y(x)是内的光滑曲线，故y在x=0处连续于是由y(0-)=,y(0+)=，故=时，y=y(x)在x=0处连续又当时，有，得，当时，有，得由=得=0，即故y=y(x)的表达式为或，又过点，所以。10、（本题满分10分）曲线L过点（1，1），L上任一点M（x，y）(x0)处发现斜率，求L的方程。【解】法线斜率为，所以又由已知条件，所以，所以11、（本题满分10分）曲线满足对于任意的曲线是严格递增，在轴上，该曲线与直线及围成一曲边梯形.该曲边梯形绕轴旋转一周得一旋转体，其体积为,侧面积为.如果二阶可导,且，求曲线.【解】：旋转体体积 旋转体的侧面积 由两边求导，得 从而 ，得.所以特征方程为 ， 特征根为.则通解为 .由 ，得 .所以 .故该曲线方程为第十二章 无穷级数一、填空题（每空4分）（1）.设，则= 1 .【分析】 将展开为余弦级数，其系数计算公式为.【解】 根据余弦级数的定义，有 = = =1.（2）已知幂级数在处收敛，在处发散，则幂级数的收敛域为.【解】 由题意知的收敛域为，则的收敛域为.所以的收敛域为.（3）幂级数的收敛半径为_。【解】由题意知，所以，该幂级数的收敛半径为二选择题（每小题4分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设，则下列命题正确的是(A) 若条件收敛，则与都收敛.(B) 若绝对收敛，则与都收敛.(C) 若条件收敛，则与敛散性都不定.(D) 若绝对收敛，则与敛散性都不定. B 【分析】 根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案.【解】 若绝对收敛，即收敛，当然也有级数收敛，再根据，及收敛级数的运算性质知，与都收敛，故应选(B).（2）设为正项级数，下列结论中正确的是 (A) 若=0，则级数收敛.（B） 若存在非零常数，使得，则级数发散.(C) 若级数收敛，则. (D) 若级数发散, 则存在非零常数，使得. B 【分析】 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项.【解】 取，则=0，但发散，排除(A)，(D)；又取，则级数收敛，但，排除(C), 故应选(B).【评注】 本题也可用比较判别法的极限形式， ，而级数发散，因此级数也发散，故应选(B).(3) 设有下列命题：(1) 若收敛，则收敛.(2) 若收敛，则收敛.(3) 若，则发散.(4) 若收敛，则，都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2).(B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4). B 【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.【解】(1)是错误的，如令，显然，分散，而收敛.(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由可得到不趋向于零(n )，所以发散.(4)是错误的，如令，显然，都发散，而收敛. 故选(B).【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型.（4）若级数收敛，则级数(A) 收敛 . （B）收敛.(C) 收敛. (D) 收敛. D 【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定.【解】 由收敛知收敛，所以级数收敛，故应选().或利用排除法：取，则可排除选项（），（）；取，则可排除选项（）.故（）项正确.（5）设有两个数列，若，则（A）当收敛时，收敛（B）发散时，发散（C）当收敛时，收敛（D）发散时，发散 C 【解1】收敛，则，又，必存在N，使当nN时且（极限的有界性!），立即由正项级数的直接比较法得到：当收敛时，收敛。应选(C)。【解2】举反例：对A取，对B取，对D取三、解答题1、（本题满分9分）将函数展开成x的幂级数，并求级数的和.【分析】 幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形。本题可先求导，再利用函数的幂级数展开即可，然后取x为某特殊值，得所求级数的和.【解】 因为又f(0)=, 所以 =因为级数收敛，函数f(x)在处连续，所以 令，得 ,再由，得 2、（本题满分9分）求幂级数的和函数f(x)及其极值.【分析】 先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当x=0时和为1. 求出和函数后，再按通常方法求极值.【解】 上式两边从0到x积分，得 由f(0)=1, 得 令，求得唯一驻点x=0. 由于 ，可见f(x)在x=0处取得极大值，且极大值为f(0)=1.3.（本题满分11分）设有方程，其中n为正整数. 证明此方程存在惟一正实根，并证明当时，级数收敛.【分析】 利用介值定理证明存在性，利用单调性证明惟一性。而正项级数的敛散性可用比较法判定。【证】 记 由，及连续函数的介值定理知，方程存在正实数根当x0时，可见在上单调增加, 故方程存在惟一正实数根由与知 ，故当时，.而正项级数收敛，所以当时，级数收敛. 【评注】 本题综合考查了介值定理和无穷级数的敛散性，题型设计比较新颖，但难度并不大，只要基本概念清楚，应该可以轻松求证。4、（本题满分12分）求幂级数的收敛区间与和函数f(x). 【分析】 先求收敛半径，进而可确定收敛区间. 而和函数可利用逐项求导得到.【详解】 因为，所以当时，原级数绝对收敛，当时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为（1,1）记则由于所以又从而【评注】 本题求收敛区间是基本题型，应注意收敛区间一般只开区间. 而幂级数求和尽量将其转化为形如或幂级数，再通过逐项求导或逐项积分求出其和函数.5、（本题满分9分）求幂级数在区间(-1,1)内的和函数S(x).【分析】幂级数求和函数一般采用逐项求导或逐项积分，转化为几何级数或已知函数的幂级数展开式，从而达到求和的目的.【解】 设 ， ，则 ，由于 =， ,因此 ，又由于 ，故 所以 【评注】 而幂级数求和尽量将其转化为形如或幂级数，再通过逐项求导或逐项积分求出其和函数. 本题应特别注意x=0的情形.6、（本题满分12分） 将函数展成的幂级数. 【分析】 利用常见函数的幂级数展开式.【解】 ，比较两边系数可得，即.而，故.【评注】 分式函数的幂级数展开一般采用间接法.要熟记常用函数的幂级数展开公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）7、（本题满分10分）求幂级数的收敛域及和函数. 【分析】因为幂级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数. 【详解】记，则. 所以当时，所给幂级数收敛；当时，所给幂级数发散；当时，所给幂级数为，均收敛，故所给幂级数的收敛域为在内，而 ，所以 ，又，于是 .同理 ，又 ，所以 .故 . 由于所给幂级数在处都收敛，且在 处都连续，所以在成立，即 ，. 【评注】本题幂级数是缺项幂级数，则应采用函数项级数求收敛域的方法。8、 (本题满分10分)设幂级数在内收敛，其和函数满足.（）证明：；（II）求的表达式.【分析】可将幂级数代入微分方程通过比较同次项系数，从而证