重力异常离散平稳小波分析初探.doc

海洋与综合地球物理研究进展重力异常离散平稳小波分析初探刁博1, 王家林1, 程顺有2 1.同济大学海洋地质教育部重点实验室，海洋与地球科学学院，上海 2000922.西北大学大陆动力学国家重点实验室，地质学系，西安 710069摘 要：介绍了离散平稳小波变换及平移不变性的基本原理，以塔里木地区布格重力异常数据为例，通过重力异常离散平稳小波变换与普通离散小波变换结果的对比分析，对离散平稳小波变换在重力资料处理中的应用进行了探索。结果表明，离散平稳小波变换可以有效压制平移敏感性和波形的伪吉布斯震荡效应，在应用方面优于普通离散小波变换，在资料处理中拥有更好的前景。关键词：离散平稳小波变换，平移不变性，离散小波变换，伪吉布斯效应，重力异常，塔里木中图分类号：P631.1 收稿日期 收修定稿 基金项目：国家重点基础研究发展计划（973）项目（2007CB411706-02）、国家高技术研究发展计划（863）计划项目（2006AA09Z359）资助. 作者简介：刁博（1978），男，博士，主要从事重磁小波分析及综合地质地球物理研究。1引 言重力场资料是研究地质构造和岩石圈结构的重要基础资料，小波分析方法已成为对其处理的重要手段之一，对小波理论、方法和应用的探索将对地球物理资料的处理和解释起到重要作用。对于离散小波变换在重力场中的应用，杨文采1，侯遵泽2，高德章3等详细地阐述了利用离散小波分析方法进行重力异常分解的理论方法，与传统的方法相比，没有向上延拓的模糊化，异常特征更清晰，信息更丰富4。李健5在分析小波分析技术的本质和小波母函数性质的基础上，考虑重力场数据的特性，给出一种小波母函数的选取方法。刁博6等通过讨论信号长度、小波母函数的支撑长度与分解阶次的关系，提出了离散小波分解阶次的确定方法。Ludk7将小波分析用于同样反映重力场变化的大地水准面异常，研究了全球范围内主要构造的特征。Audet8对布格重力异常与地形的相关性进行了小波分析，并应用于加拿大地盾弹性厚度的研究。Fedi9结合了离散小波变换和连续小波变换两种方法对位场进行分析，避免了深部场源和浅部场源的相互干扰，对于利用小波分析分解重力异常提供了一种新的思路。然而，在影响重力异常小波分析结果的基本问题中，除了母函数和分解阶次的选择问题，仍然存在很多有待解决的问题。离散小波的平移敏感性就是其中之一，它会在处理结果中产生伪吉布斯效应、频率混叠，造成信号的失真，这对于构造特征分析及断裂的定位、识别和解释都十分不利。本文从离散小波变换在信号处理时的实现过程入手，揭示平移敏感性产生的原因，通过两种离散小波分析结果的比较，对离散平稳小波分析在重力资料处理中的应用进行探索。2概念与方法2.1离散小波变换与平移敏感性离散小波变换的基本概念10在此将不再赘述，在这里主要说明其实现过程和其产生平移敏感性的原因。普通的离散小波变换（Discrete Wavelet Transform, DWT）具有平移敏感性。在小波分解的每一层，对小波系数进行下采样，即每两个小波系数就丢弃一个系数，这样做是为了减少需要分析的数据量。但是，这种下采样的精确性极大地依赖于系数在下采样栅格中的位置。数字信号在时域（或空域）的微小移动会造成不同尺度下小波变换系数能量分布的极大变化，而这种能量的波动又主要与特征点相对于小波下采样网格的位置有关。确切地说，与离散小波变换中精确下采样（抽取）所造成的输入信号特征（如不连续点）和小波基元素特征之间不能精确对准有关，对起始点的位置非常敏感。这种起始点位置的变化，以及对原始数据的截断或截取原始数据中的一部分，相对于原始数据的小波变换都可看做是一种平移。这种平移会导致在不同尺度下能量分布很大的改变，还可能引起重构波形很大的改变11，造成信号的失真。2.2离散小波变换与伪吉布斯效应在信号的不连续邻域，普通的离散小波变换可能表现出视觉上的非自然信号，如伪吉布斯现象，即不连续点附近的信号会在一个特定的目标水平上下跳变。虽然这种伪吉布斯现象比用快速傅立叶（FFT）方法去噪时所产生的真正的吉布斯现象要好得多（因为FFT方法产生的真正的吉布斯现象是全局的，而不是局部的，且它会产生很大的幅值）。通常这种伪吉布斯现象产生的原因是和信号不连续点的位置有关，确切地说，同样是信号的特征（如不连续点）和小波基元素的特征之间的精确对准有关12。从另一个方面来看，考虑小波母函数的频率响应。因为可实现的小波滤波器都没有理想的“砖墙(brick-wall)”频率响应，如在截断频带的衰减一般都是有限的，这就引起了混迭效应。也就是说，当小波变换子带用2因子下采样时，Nyquist采样准则就可能得不到满足。2.3离散平稳小波变换与平移不变性为了解决以上的这类问题，许多学者提出了很多处理方法。1995年，Nason和Silverman13在正交小波变换基础上提出了离散平稳小波变换（Stationary Wavelet Transform , SWT）的方法，并成功用于数理统计领域。在变换中不进行下采样，使其具有冗余性和平移不变性。根据其应用的场合与目的不同，其叫法各异，如：平移不变小波变换、静态小波变换等。它是一种冗余小波变换，具有平移不变性，能够更好地在空间上与原始信号相对应，减少在奇异点附近造成的吉布斯振荡现象，更有利于处理分析信号的特征规律。离散平稳小波变换分解过程中没有下采样（抽取）操作，每一阶次平稳小波变换的逼近信号和细节信号长度同原信号长度相同，系数间是非正交的，具有冗余性，而滤波器每次都通过隔点补零插值得到。其冗余性有利于找到尺度内与尺度间小波系数之间的依赖关系，使建立在小波系数邻域上的系数方差估计精度有了很大的提高，从而取得比普通离散小波变换更好的效果。图1以实例说明平移不变性对小波变换的影响，输入为一组起点不同而波形相同的阶跃信号。图中左边为具有平移不变性的小波变换结果，右边是普通离散小波变换的结果。图1 平移不变性对小波分析的影响可以看出，普通离散小波变换的曲线形状随机改变，波形产生伪吉布斯振荡现象，随着变换阶次增大越来越明显。相反的，具有平移不变性的小波变换，其系数随着输入信号的平移曲线形状保持不变，信号也没有产生振荡现象，较为平滑。另外，当变换具有平移不变性时，从每一阶次的变换系数重构的信号也是平移不变的。3离散平稳小波变换与离散小波变换的对比分析为了说明离散平稳小波变换具有的优势，分别对实际的一维和二维信号使用DWT与SWT处理并对其效果进行对比分析。3.1一维信号处理效果对比对于一维信号的试验，选用张剑14的研究成果。一维方波信号，如图2(a)所示，此信号中有两个突变点。然后，如图2 (b)加入噪声，分别使用DWT与SWT处理。小波母函数选取db4，通过5阶分解进行小波去噪，结果如图3所示。运用DWT分解后在突变点处产生振荡，出现了明显的伪吉布斯现象，而运用SWT处理效果则优于DWT的效果。 图2 方波信号(a)与加噪方波信号(b) 图3 DWT效果(a)与SWT处理效果(b)3.2二维信号处理效果对比对于二维信号，选用了塔里木地区的重力异常数据15，选用bior3.5小波基，进行6阶小波分析16。为了检验SWT在消除信号起始点影响方面的效果，笔者对原数据进行了坐标原点的变换，选用不同起始点进行处理，以进行对比分析。图4和5分别展示了DWT和SWT分解的5阶细节与6阶逼近，其中两图中(a)和(c)的数据起始点在左上角，图(b)和(d)的数据起始点在左下角。 (a) DWT（起始点左上角） (b) DWT（起始点左下角） (c) SWT（起始点左上角） (d) SWT（起始点左下角）图4 塔里木及天山地区重力异常DWT和SWT 5阶细节图 (a) DWT（起始点左上角） (b) DWT（起始点左下角） (c) SWT（起始点左上角） (d) SWT（起始点左下角） 图5 塔里木及天山地区重力异常DWT和SWT 6阶逼近图可以看到普通的离散小波变换由于平移的敏感性，不同起始点的结果存在较大差异，而对于具有平移不变性的离散平稳小波变换，不同起始点的结果几乎相同。4 结论分析实际资料处理的结果可以得出，离散平稳小波变换在处理重力异常时具有以下优点：不受起始点的影响。这一点对处理实际资料非常重要，其原因有两方面：首先，在小波变换的开始，原始数据特征点位置是否与小波基元素的特征之间能够精确对准是难以预料的，不受人为控制；其次，如果起始点对小波变换结果的影响很大，那么从大范围数据中截取需要着重研究的小范围数据时，小范围数据小波变换的结果和从大范围数据小波变换结果中截取的结果可能会有很大的差异。也就是说，在研究某一固定地点地质特征进行小波变换时，会因所取数据范围的不同造成不同的结果，这在实际应用中是很难接受的。离散平稳小波变换可以很好地解决这一问题。异常特征更加明显和准确。从上面的图中可以看出，普通离散小波变换结果中的串珠状异常和其它异常的几何特征，由于平移敏感性和伪吉布斯效应的影响，其特征随起始点的变化而变化。而在离散平稳小波变换结果中，断续的串珠状异常变得连续和易于识别，同时使得盆地内构造所引起异常的几何学特征也更加准确和清晰，几乎不受起点的影响，这些对于构造特征的分析将是十分有利的。综上所述，离散平稳小波变换在应用方面明显优于普通的离散小波变换，在重力异常处理中拥有更好的前景。参考文献1 杨文采，施志群，候遵泽，等. 离散小波变换与重力异常多重分解. 地球物理学报，2001, 44(4): 5345412 候遵泽，杨文采. 中国重力异常的小波变换与多尺度分析. 地球物理学报，1997, 40(1): 85953 高德章，候遵泽，唐健. 东海及邻区重力异常多尺度分解. 地球物理学报，2000, 43(6): 8428494 杨宇山，李媛媛，刘天佑. 小波细节的微分特征及其在重力场断裂分析中的应用. 地质与勘探，2003, 39(1): 41445 李健，周云轩，许惠平. 重力场数据处理中小波母函数的选择. 物探与化探，2001, 25(6): 4104176 刁博，王家林，程顺有. 重力异常小波多分辨分析分解阶次的确定. 地球科学，2007, 32(4): 5645687 Ludk Vecsey. 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