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第16卷 第2期 2008年2月 光学 精密工程 Optics and Precision Engineering Vol 16 No 2 Feb 2008 收稿日期 2007209220 修订日期 2007211222 基金项目 国家自然科学基金资助项目 No 60478034 中国科学院 优秀博士学位论文 院长奖获得者科研启动专 项资金 资助项目 十一五 国家科技支撑计划重大项目 No 2006BAK03A02 吉林省科技发展计划资 助项目 No 20070523 文章编号 10042924X 2008 0220229206 凹球面基底离心式涂胶的数学模型及实验验证 巴音贺希格1 张浩泰1 2 李文昊1 2 1 中国科学院 长春光学精密机械与物理研究所 吉林 长春130033 2 中国科学院 研究生院 北京100049 摘要 建立了凹球面基底离心式涂胶的数学模型 基于流体力学理论对旋转凹球面上的光刻胶做了受力分析 根据凹球 面的面形给出了流体方程的边界条件 并引入和建立了光刻胶蒸发速率对涂胶基底面形的响应关系式 最终得到了一个 描述光刻胶厚度随转速 基底面形及光刻胶参数变化的多项式方程 从此方程又简化得到平面上离心式涂胶的数学模 型 涂胶实验结果表明 在凹球面上和平面上的光刻胶厚度理论计算值与测量值吻合 精度达到了纳米级 所建立的模 型有较好的预见性和实用性 关 键 词 数学模型 离心式涂胶 凹球面 光刻胶 中图分类号 TN305 7 文献标识码 A Mathematic model and experiment verification of spin2coating on concave spherical substrate Bayanheshig1 ZHANG Hao2tai1 2 LI Wen2hao1 2 1 Changchun Institute of Optics Fine Mechanics and Physics Chinese Academy of Sciences Changchun130033 China 2 Graduate School of the Chinese Academy of Sciences Beijing100049 China Abstract In order to guide the spin2coating technology on concave spherical substrate a mathematic model was established On the basis of the hydrodynamics the acting force of spin2coated photo2resist on concave spherical substrate was analyzed Then the boundary condition of the hydrodynamic equa2 tion was present according to substrate topography Furthermore the evaporation rate was considered when spin2coating on different substrates A polynomial equation of the film thickness related to spin2 ning speed substrate topography and the parameters of the photo2resist was brought forward to give the film thickness in different conditions The mathematical model expression of spin2coating on plane was obtained after simplifying the equation The spin2coating experiment indicates that the calculation value of the photo2resist thickness coincides with the measured value in the nanometer precision both on the concave spherical and planar substrate which shows the model has a well predictability and a practicality Key words mathematic model spin2coating concave spherical surface photo2resist 1 引 言 光致刻蚀法作为一种重要的微细加工技术 在光存储 微电子 微光机电和全息光栅等许多领 域有广泛应用 1 实施光致刻蚀的第一道工序就 是光致刻蚀剂 简称光刻胶 的涂敷 它关系到整 个工艺流程的成败 2 因此倍受相关领域工程技 术人员的重视 光刻胶的涂敷工艺主要有提拉 法 喷涂法和离心式涂敷法 简称旋涂法 三种 但是 制作凹面全息光栅等需要在凹球面上涂敷 光刻胶时 使用旋涂法更具有普遍意义 为了提 高涂胶的重复性 减少盲目性 对涂敷工艺给予理 论指导十分重要 而建立实用可靠的数学模型是 前提 旋转凹球面上的流体力学特性很复杂 对其 做数学描述较为困难 迄今 关于光刻胶在旋转 凹球面上的厚度分布规律的数学模型报道极少 而且仅有的模型尚不够成熟 1958年 Emslie 等 3 最早给出了旋转平面上流体膜层厚度的数学 模型 同时由流体力学原理出发还给出了流体在 凹球面上的力平衡方程 1960年 Acrivos等 4 考虑了非牛顿流体在转盘上的运动 认为即使初 始厚度均匀的膜层 经过旋涂得到的膜层厚度也 是不均匀的 1978年 Meyerhofer 5 在Emslie等 给出的模型中进一步考虑了溶剂挥发对流体膜层 厚度的影响 通过实验给出了流体在旋转平面上 的蒸发速率的经验表达式 1979年和1982年 Daughton和Givens 627 通过大量的实验考察了平 面涂胶过程中对最后胶层影响强烈的因素 发现 初始滴胶量 初始匀胶速度 加速度 总的旋涂时 间对胶层的最后厚度都影响不大 但是 流体粘 度以及最终的稳定转速 简称转速 对胶层的厚度 影响强烈 并且用平面上静态 基底静止 滴胶旋 涂比动态 基底旋转 滴胶旋涂可得到更均匀的胶 层 2005年 Feng等 8 则尝试建立光刻胶在旋 转凹球面上膜层厚度的数学模型 他直接利用 Emslie等给出的流体在凹球面上的力平衡方程 和Meyerhofer给出的平面情况下的蒸发速率经 验表达式 并基于流体在平面上流动的边界条件 得到了一个较为初步的模型 鉴于此 本文基于流体力学理论对旋转凹球 面上的光刻胶做了受力分析 从严格的流体流动 在凹球面上时的边界条件出发 推导出光刻胶厚 度随时间变化的表达式 并引入和建立光刻胶蒸 发速率对涂胶基底面形的响应关系式 最终得到 了一个描述光刻胶厚度随转速 基底面形及光刻 胶参数变化的多项式方程 由此方程可方便地求 解出不同条件下的光刻胶厚度 通过与实验结果 对比可以看到 本文给出的数学模型具有较高的 近似程度和较强的实用性 2 数学模型的建立 在建立胶层的模型时 本文进行了一些简 化 1 把光刻胶近似为牛顿流体 2 忽略科氏力的影响 9 3 因为本文膜层厚度远小于基底表面的特 征长度 故忽略表面张力 4 由于风引起的剪切力也被忽略 根据Emslie等的模型 通过分析光刻胶在球 面上的受力情况 得到光刻胶在凹球面的旋涂运 动方程 3 5 2 u 5n2 2 rcos gsin 1 式中 为流体的粘度 u为流体沿基底曲面的速 度 n为沿曲面法线方向的距离 为流体密度 为旋涂角速度 简称转速 r 为径向位置 g为重 力加速度 为径向位置r处球面切线的倾斜角 图1 凹球面上光刻胶剖面示意图 Fig 1 Photo2resist profile on concave spherical substrate 图1为光刻胶在凹球面上流动时的剖面示 意图 其中 r 是光刻胶自由表面随径向位置 r变化的函数 r 是基底随径向位置r变化的 面形函数 h为光刻胶溶液的厚度 根据图1可 知 032 光学 精密工程 第16卷 sin r R 2 r R R 2 r2 1 2 3 r R R 2 r2 1 2 h 4 由于胶层的厚度远小于基底的表面特征尺 寸 符合润滑近似条件 即认为流体和基底的表面 没有滑移 此时的光刻胶流动在凹球面上 其边 界条件与光刻胶流动在平面上的边界条件 10 不 一样 根据分析得到边界条件为 u 0 n r 时 5u 5n 0 n r 时 即在自由表面上 根据边界条件 由式 1 2 求得u值为 u r 2 R n2 2 2 n 2 2 R 2 r2 1 2 g 5 而且单位长度上的径向流量可以通过以下的表达 式求得 q udn 6 通过对上式积分可以得到 q r 3 R 3 2 R 2 r2 1 2 g 7 而不可压缩流体的质量连续方程为 r 5 5t 5 rq 5r 8 膜层上任意点的厚度则可以用以下的微分方程表 示 d dt 5 5t 5 5r dr dt 9 通过比较方程 8 和 9 可得到 d dt h23r2 2 h 2 2 R2h 2 R 2 r2 1 2 gh 3r2 2 R 2 r2 1 2 3r2g 3 R 2 r2 1 2 R 10 可以发现以上推导过程中光刻胶没有蒸发的 物理过程 但在涂胶的过程中 要得到固态的胶 层 蒸发的过程必不可少 旋涂的开始阶段 溶质 的浓度均匀 随着溶剂的蒸发导致溶液浓度 c t 的变化 为了简化问题 假设溶质和溶剂都有相 同的密度单位 溶剂的体积L加上溶质的体积S 等于溶液的体积 S L 其中 S和L是单位面 积上定义的 c t 独立于r 而且忽略 c t 随z的 变化 这样 得到 c t S S L 11 h S L 12 由式 10 11 和 12 求得 dS dt c h2 3r2 2 h 2 2 R2h 2 R 2 r2 1 2 gh 3r2 2 R 2 r2 1 2 3r2g 3 R 2 r2 1 2 R 13 dL dt 1 c h2 3r2 2 h 2 2 R2h 2 R 2 r2 1 2 gh 3r2 2 R 2 r2 1 2 3r2g 3 R 2 r2 1 2 R e 14 式 13 描述的是流体中的溶质随时间的变 化 式 14 描述的是流体中的溶剂随时间的变化 其中等式右侧第一项为溶剂由于流动而减少的部 分 同时在这一过程中还要考虑溶剂蒸发的影 响 于是 等式右侧增添了蒸发速率e项 给出凹 球面上光刻胶蒸发速率e的具体表达式是本文的 主要工作之一 在涂胶时 光刻胶的变薄是由光刻胶的径向 外流和蒸发两个物理过程共同作用的结果 研究 表明 在旋涂的开始阶段径向外流对光刻胶的变 薄起主要作用 在旋涂的后期光刻胶的变薄则主 要决定于蒸发作用 可以假设 5 在旋涂的开始 阶段只存在光刻胶的径向外流 忽略蒸发作用 光 刻胶的浓度 粘度不变 直到某一临界点 光刻胶 溶液的厚度变为hz 这时候的径向外流和蒸发引 起的光刻胶的变薄效应相等 在此临界点后 光 刻胶溶液的变薄主要由蒸发引起 忽略其径向外 流作用 因此 光刻胶最终的胶层厚度 即最终的 光刻胶溶质厚度 可以表示为 hf Sf c0hz 15 而在临界点时光刻胶的径向外流和蒸发的关系可 以表示为 132第2期 巴音贺希格 等 凹球面基底离心式涂胶的数学模型及实验验证 1 c0 h2f 3r2 2 hf 2 2 R2hf 2 R 2 r2 1 2 ghf 3r2 2 R 2 r2 1 2c0 3r2gc0 3c30 R 2 r2 1 2 0R e 16 式中 c0是初始浓度 0是初始运动粘度 e是蒸 发速率 Sf是最后的光刻胶溶质厚度 hf是最后 的光刻胶膜层厚度 在式 16 中用到了流体运动 粘度 与粘度 绝对粘度 的换算关系 17 Meyerhofer在平面上考察了蒸发速率与涂 胶角速度的关系 认为蒸发速率正比于转速的开 方 即 e 1 2 18 然而 当涂胶的面形不是平面时 蒸发速率理 应根据面形的变化而变化 不妨将这种变化表示 为以基底面形为变量的多项式 即 e n i 0 aiR R2 r2 1 2 i 19 综合考虑转速和面形两个因素 蒸发速率的 表达式可以表示为 e C 1 2 n i 0 aiR R2 r2 1 2 i 20 式中 C是实验室系数 ai为蒸发速率随面形变化 的面形系数 i为面形表达式次数 当凹球面基底的半径R 时 利用式 16 和 20 可以得到以下方程 2 1 c0 2 h3f 3c30 0 Ca0 1 2 21 可以发现此方程与文献 5 给出的旋转平面上流 体厚度方程具有相同的形式 一般地a0 1 可 见 平面上的流体运动是凹球面上流体运动的一 个特殊例子 3 实验室系数和面形系数的确定方 法及实验验证 涂胶实验使用口径为45 mm 40 mm 曲率 半径R为224 36 mm的基底 光刻胶为国产 BP21226光刻胶 其运动粘度 0为6 2 10 6 m2 s 初始浓度c0为17 对涂胶实验严格地 设定了一些实验条件 627 11 如下 1 实验室具有恒定的温度和湿度 2 采用静态滴胶和相同的涂胶机 3 使用相同浓度和粘度的同种光刻胶 4 匀胶加速度 总的旋涂时间相同 对旋涂转速 为3 000 r min时的厚度测量 数据进行多项式拟合 当进行三次多项式拟合 时 拟合曲线与测量结果吻合较好 如图2所示 此时 光刻胶厚度随径向位置变化的表达式为 hf 3 j 0 bjr j 22 其中 b0 4 750 92 102 b1 3 458 67 10 13 b2 3 831 01 104 b3 3 492 46 1010 图2 光刻胶厚度测量值拟合曲线 Fig 2 Fitting curve of photo2resist thickness 将式 20 22 代入式 16 在 r 20 mm的范围内任意选取数个不同的径向位置 求解方程得到实验室系数C和面形系数ai 当 面形表达式次数i 3时有 C 1 084 21 10 8 a1 1 073 23 106 a2 7 572 89 107 a3 7 351 25 108 当面形表达式次数i 4时 有 C 1 084 21 10 8 a1 1 073 23 106 a2 7 572 89 107 a3 7 351 25 108 a4 9 076 45 108 利用以上所求的两组实验室系数C和面形 系数ai 根据式 16 和 20 就可以计算出光刻胶 在任意位置的两组理论厚度值 计算发现 求解 出来的两组厚度值基本重合 图3给出了面形表 达式次数i 3时的光刻胶测量厚度与理论计算 值的对比 通过数值考察可知 光刻胶厚度随径向位置 232 光学 精密工程 第16卷 图3 光刻胶实验厚度与理论厚度对比 Fig 3 Photo2resist thickness in experiment and theory 变化的实验拟合值与由模型得到的理论计算值差 别很小 由图2 3也可看到这一点 至此 可对实 验室系数和面形系数的确定方法做简要概括 其 主要思想是通过对少量的实验测量值进行多项式 拟合 结合光刻胶旋涂理论模型间接求得实验室 系数和面形系数 以上的涂胶实验中 使用法国JOBIN YVON 公司的23300214A椭圆偏振光谱仪对光刻胶厚 度进行了测量 在相同的实验环境条件下 多次 实验测得的结果与图3理论曲线吻合较好 由图 3的理论曲线知道 在凹球面上进行旋涂得到的 胶层中心厚度要比边缘厚度小 而且其厚度呈旋 转对称的分布 这与实际的实验结果相符 这种 旋转对称的胶层厚度分布不均匀可以通过对边缘 较厚胶层预曝光方法加以解决 12213 需要指出的 是 在利用多项式方程计算光刻胶的厚度时方程 存在多个根 但是 合理 具有物理意义 的根一般 只有一个 选择时要尤为小心 以免出错 另外 通过上述由凹面模型得到的实验室系 数C和式 21 求出光刻胶在转速 为3 000 r min时 平面旋涂厚度理论值为475 02 nm 而 实验测量最大值为487 70 nm 最小值为474 20 nm 可见 由模型得到的光刻胶厚度值与实验测 量值十分接近 这又从实验的角度证明了本文所 给出模型的正确性 4 结 论 基于流体力学理论对旋转凹球面上的光刻 胶做了受力分析 根据凹球面的面形给出了流体 方程的边界条件 经过推导得到了光刻胶厚度随 时间变化的表达式 并引入和建立光刻胶蒸发速 率对涂胶基底面形的响应关系式 最终得到了一 个描述光刻胶厚度随转速 基底面形及光刻胶参 数变化的多项式方程 由此可求解出不同条件下 的光刻胶厚度 理论计算结果与实验测量结果吻 合较好 当基底半径R 时 光刻胶的厚度方 程退化为平面情况 从而验证了本文结果的正确 性 另外 根据此方程还可以求解出一定涂胶转 速下获得不同厚度光刻胶涂层所需的光刻胶粘度 和浓度参数 为光刻胶的稀释提供了理论依据 参考文献 1 LAWRENCE C J The mechanics of spin coating of polymer film J Phys Fluids 1988 31 10 278622795 2 HE Z Y HAN L Y ZHAO G Y et al Investigation into the flange problem of resist along the edge of substrate caused by spin coating J Microelectronic Engineering 2002 63 4 3472352 3 EMSLIE A G Flow of a viscous liquid on a rotating disk J A ppl Phys 1958 29 5 8582862 4 ACRIVOS A SHAN M J PETERSEN E E On the flow of a non2newtonian liquid on a rotating disk J J A p2 pl Phys 1960 31 6 9632968 5 MEYERHOFER D Characteristics of resist film produced by spinning J J A ppl Phys 1978 49 7 39932 3997 6 GIVENS F L DAU GHTON W J On the uniformity of thin films a news technique applied to polyimides J J Electrochem Soc 1979 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