2013年普通高等学校招生全国统一考试 天津卷(文)含解析.pdf

试题解析天津市武清区大良中学杨凤国 第 1 页 共 12 页 绝绝密密 启启用用前前 2013 年年普普通通高高等等学学校校招招生生全全国国统统一一考考试试 天天津津卷卷 数数学学 文文史史类类 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 共 150 分 考试用时 120 分钟 第 卷 1 至 2 页 第 卷 3 至 5 页 答卷前 考生务必将自己的姓名 准考号填写在答题卡上 并在规定位置粘贴考试用条 形码 答卷时 考生务必将答案涂写在答题卡上 答在试卷上的无效 考试结束后 将本试 卷和答题卡一并交回 祝各位考生考试顺利 第第 卷卷 注注意意事事项项 1 每小题选出答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮 擦干净后 再选涂其他答案标号 2 本卷共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 参考公式 如果事件A B互斥 那么 球的体积公式 3 4 3 VR P ABP AP B 其中R表示球的半径 棱柱的体积公式VSh 其中S表示棱柱的底面面积 h表示棱柱的高 一一 选选择择题题 在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中只只有有一一项项是是符符合合题题目目要要求求的的 1 已知集合 2ARxx 1BxxR 则AB A 2 B 1 2 C 2 2 D 2 1 命题立意 本题考查含绝对值不等式的解法与集合交集的运算 思路分析 解出集合A后利用数轴求交集 解析 选 D 解 2 x 得22x 所以 2 1AB 试题解析天津市武清区大良中学杨凤国 第 2 页 共 12 页 x y y 3 0 3x y 6 0 x y 2 0 123456 1 1 2 3 4 5 1 2 方法技巧 利用 xa 0a 解出集合A 求交集时利用数轴 2 设变量x y满足约束条件 0 2 3 0 0 6 3 x y x y y 则目标函数2zyx 的最小值为 A 7 B 4 C 1 D 2 命题立意 本题考查目标函数的最值 思路分析 作出可行域后利用目标函数的几何意义解 解析 选 A 作出可行域 如图 由图可知 当目标函数通过直线20 xy 与直线3y 的交 点 5 3 时取得最小值 min 7z 方法技巧 求目标函数最值的关键是弄清目标函数的几 何意义 常见的类型有截距型 斜率型与距离型三种 对于截 距型最值应注意z的符号 3 阅读右边的程序框图 运行相应的程序 则输出n的值 为 A 7 B 6 C 5 D 4 命题立意 本题考查程序框图中的循环结构 思路分析 依次执行循环体中的各语句及执行结果 解析 选 D 1n 时 1S 此时2S 不成立 2n 时 1S 此时2S 不成立 3n 时 2S 此时2S 成立 4n 时 2S 此时2S 成立 所以输出的S的值为 4 方法技巧 与循环结构有关的程序框图问题只需依次写出循环体的运行结果即可 天 津卷近几年循环体的循环次数都比较少 当循环体执行的次数较多时可以采用归纳法或数 列相差方法解 4 设a bR 则 2 0aba 是 ab 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 命题立意 本题考查不等式的性质与充分必要条件的判断 思路分析 利用不等式的性质解 解析 选 A 因为 2 0aba 所以0ab 所以 2 0aba 是 ab 的充分条 试题解析天津市武清区大良中学杨凤国 第 3 页 共 12 页 件 反之 当0ab 时 2 0aba 不成立 所以 2 0aba 是 ab 的充要不必要条件 方法技巧 证明不等式成立可以利用不等式的性质 平均值不等式等 证明不等式不 成立只需举一个反例 5 已知过点 2 2 P的直线与圆 22 1 5xy 相切 且与直线10axy 垂直 则 a A 1 2 B 1 C 2 D 1 2 命题立意 本题考查两条直线的位置关系 直线与圆的位置关系 思路分析 求出切线的斜率后利用垂直关系求a 解析 1 选 C 显然切线的斜率存在 设切线方程为 2 2yk x 即220kxyk 因为切线与圆相切 所以 2 2 5 1 k k 解得 1 2 k 所以2a 解析 2 注意到 2 2 P在 22 1 5xy 上 所以圆在点 2 2 P处的切线方程为 21 1 25xy 即260 xy 所以 2a 解析 3 注意到 2 2 P在 22 1 5xy 上 所以2 PC k 其中C为圆心 因为直线10axy 与直线PC平行 所以2a 方法技巧 判定直线与圆的位置关系 一般将圆心到直线的距离与半径的大小比较 6 函数 sin 2 4 f xx 在区间0 2 的值域是 A 1 B 2 2 C 2 2 D 0 命题立意 本题考查三角函数的值域 思路分析 利用正弦函数的性质解 解析 1 选 B 因为 f x在区间 3 0 8 上是增函数 在区间 3 82 上是减函数 又 2 0 2 f 2 22 f 故函数 f x在区间0 2 上的最小值为 2 2 试题解析天津市武清区大良中学杨凤国 第 4 页 共 12 页 解析 2 令2 4 tx 因为0 2 x 所以 3 44 t 当 4 t 时 min 2 sin 42 f x 方法技巧 求三角函数在给定区间上的值域一般可以利用换元法或单调性解 7 已知函数 f x是定义在R上的偶函数 且在区间 0 上单调递增 若实数a满足 21 2 logl21ogfafaf 则a的取值范围是 A 1 2 B 1 0 2 C 1 2 2 D 0 2 命题立意 本题考查对数函数与偶函数的性质 对数的运算性质 思路分析 利用对数函数与偶函数的性质解 解析 选 C 因为 21212 22 loglogloglog2logfafafafafa 所以 2 log1faf 2 log11a 解得 1 2 2a 方法技巧 利用函数的单调性及偶函数的图象解 本题是常规题改编过来的 所以如 何化为 12 f xf x 的形式是关键 8 设函数 2 x f xex 2 ln3g xxx 若实数a b满足 0f a 0g b 则 A 0 g af b B 0 f bg a C 0 g af b D 0f bg a 命题立意 本题考查函数的零点定理及函数的单调性 思路分析 先判定出零点a b所在的区间 再利用单调性解 解析 选 A 显然 yf x 与 yg x 均单调递增 因为 0 10f 1 10fe 1 20g 2 ln210g 所以由零点定理知01a 12b 试题解析天津市武清区大良中学杨凤国 第 5 页 共 12 页 所以 1 0g ag 1 0f bf 故 0 g af b 方法技巧 处理零点问题两个常规思路是数形结合和零点定理 注意单调性 本题 也可以利用数形结合判定零点所在的区间 第第 卷卷 注意事项 1 答卷前将密封线内的项目填写清楚 2 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上 3 本卷共 12 小题 共 100 分 二二 填填空空题题 本本大大题题共共 6 个个小小题题 每每小小题题 5 分分 共共 30 分分 把把答答案案填填在在题题中中横横线线上上 9 i是虚数单位 复数 3 12 ii 命题立意 本题复数的乘法运算 思路分析 直接展开求解 解析 55i 2 3 12 32555iiiii 方法技巧 和多项式的运算相同 注意把 2 i化为 1 就可以了 10 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上 若球的体积为 9 2 则正方体的棱长为 命题立意 本题考查球体体积 正方体与球的关系 思路分析 由球的体积求出球的半径 再利用球的直径为正方体棱长的3倍解 解析 3 因为球的体积为 3 4 3 R 所以 3 2 R 所以球的直径为 3 正方体的棱长为3 正方体的棱长为3 方法技巧 正方体内接于球时 球的直径为正方体棱长的3倍 球内接于正方体时 球的直径等于正方体的棱长 11 已知抛物线 2 8yx 的准线过双曲线 22 22 1 xy ab 0a 0b 的一个焦点 且 双曲线的离心率为 2 则该双曲线的方程为 命题立意 本题考抛物线与双曲线的标准方程与几何性质 试题解析天津市武清区大良中学杨凤国 第 6 页 共 12 页 x y E D C BA 思路分析 由抛物线的焦点求出c 再利用离心率分别求出a b 解析 2 2 1 3 y x 抛物线的焦点为 2 0 所以2c 又2 c e a 222 cab 所以1a 2 3b 双曲线的方程为 2 2 1 3 y x 方法技巧 正方体内接于球时 球的直径为正方体棱长的3倍 球内接于正方体时 球的直径等于正方体的棱长 12 在平行四边形ABCD中 1AD 60BAD E 为CD的中点 若1AC BE 则AB的长为 命题立意 本题考平面向量的加 减法与数量积的运算 思路分析 把AC 与BE 用AB 与AD 为基底表示 解析 1 1 2 因为 1 cos60 2 AB ADABADAB 所以 2 111 1 224 AC BEABADABADABAB 因为1AC BE 所以 2 11 0 24 ABAB 解得 1 2 AB 解析 2 以A为原点建立坐标系 如图 因为1AD 60BAD 所以 13 22 D 设 0 B a 则 13 22 Ca 13 222 a E 所以 2 13131 1 2222224 aa AC BEaa 因为1AC BE 所以 2 1 11 24 a a 解得 1 2 a 方法技巧 平面向量的数量积是近几年天津卷的必考考 点 通常可以利用基底思想把未知向量转化为已知向量后求解 也可以利用坐标法解 13 如图 在圆内接梯形ABCD中 ABDC 过点A作圆 试题解析天津市武清区大良中学杨凤国 第 7 页 共 12 页 的切线与CB的延长线交于点E 若5ABAD 4BE 则弦BD的长为 命题立意 本题考查切割线定理及三角形的相似 思路分析 首先由切割线定理求出AE 再利用ABEACE 求出AC 进而得 到BD 解析 15 2 连接AC 易知梯形ABCD是等腰梯形 故5BCAD BDAC 由切割线定理得 2 AEEB EC 解得6AE 由弦切角定理得EABECA EE 所以ABEACE 所以 BEAB AEAC 解得 15 2 AC 所以 15 2 BD 方法技巧 天津卷中的平面几何问题一般以圆为背景 考查相交弦定理 切割线定理 及相似三角形等内容 复习时应突出重点 14 设2ab 0b 则 1 2 a ab 的最小值为 命题立意 本题考查平均值不等式的应用 思路分析 将 1 代换为 a b后利用平均值不等式解 解析 1 3 4 因为2ab 所以 1 24 1 444 aaaabbaa abababaa 显然当0a 且2 ba 时 上式取得最小值 3 4 所以2ba 代入2ab 得2a 所以2a 时 1 2 a ab 的最小值为 3 4 解析 2 因为20ba 所以 11 222 aa abaa 1 0a 时 式化为 121 2242 5 44 aaa aaaa 或 11 1111 11 22 5 4222 2 a aaa a 当且仅当 2 3 a 时等号成立 2 0a 式化为 121 3 4 22424 aaa aaaa 或 11113 11 2 11 22224 2 a aaa a 当且仅当2a 时等号成立 试题解析天津市武清区大良中学杨凤国 第 8 页 共 12 页 综上 2a 时 1 2 a ab 取得最小值 3 4 解析 3 因为2ab 所以 111 222 aa ab abab 112113 2 2222 21 42 222 aaba aaab b b 当且仅当2a 时等号成立 方法技巧 本题要比 13 要容易些 应与 13 题交换一下位置 利用平均值不等式求 最值时一般要满足 正 定 等 解析 2 中统一为变量a后也可以利用导数解 三三 解解答答题题 本本题题共共 6 道道大大题题 满满分分 80 分分 解解答答应应写写出出文文字字说说明明 证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤 15 本小题满分 13 分 某产品的三个质量指标分别为x y z 用综合指标Sxyz 评价该产品的等 级 若4S 则该产品为一等品 现从一批该产品中 随机抽取 10 件产品作为样本 其质 量指标列表如下 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率 在该样本的一等品中 随机抽取 2 件产品 用产品编号列出所有可能的结果 设事件B为 在取出的 2 件产品中 每件产品的综合指标S都等于 4 求 事件B发生的概率 试题解析天津市武清区大良中学杨凤国 第 9 页 共 12 页 16 本小题满分 13 分 在ABC 中 内角A B C的对边分别为a b c 已知sin3 sinbAcB 3a 2 cos 3 B 求b的值 求sin 2 3 B 的值 17 本小题满分 13 分 如图 三棱柱 111 ABCABC 中 侧棱 1 A A 底面ABC 且各棱长均相等 D E F分别为棱AB BC 11 AC的中点 证明 EF平面 1 ACD 证明平面 1 ACD 平面 11 A ABB 试题解析天津市武清区大良中学杨凤国 第 10 页 共 12 页 求直线BC与平面 1 ACD所成角的正弦值 18 本小题满分 13 分 设椭圆 22 22 1 xy ab 0ab 的左焦点为F 离心率为 3 3 过点F且与x轴垂 直的直线被椭圆截得的线段长为 4 3 3 求椭圆的方程 设A B分别为椭圆的左 右顶点 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C D两点 若8AC DBAD CB 求k的值 试题解析天津市武清区大良中学杨凤国 第 11 页 共 12