等差数列和等比数列的中项质的拓展.doc

等差数列和等比数列的中项性质的拓展福贡县第一中学 杨豪摘要： 等差数列和等比数列的中项性质是高中数学中的一个重要内容，也是高考数学命题的一个热点。如果我们从本质上揭示等差数列和等比数列的中项性质的内涵 ，那么，不仅会给我们提升对数列特征的学习有所帮助，也会为进一步培养学生的逻辑推理能力有一定好处。关键词：等差数列和等比数列 中项性质 拓展从特殊入手，研究数学对象的性质，再逐步推广到一般是数学常用的研究方法。我们下面从等差数列和等比数列中项性质出发，推导出其角标性质。有利于提高我们对等差数列、等比数列的认识，一、内容介绍等差数列和等比数列的角标性质数列中任意序数和相等的两项之间的关系。（一）等差数列中项 1、概念与内容由三个数a、A、b组成等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项，即2A=a+b 或A= 2、拓展与提升若等差数列中的项、（p、q、r、s）且满足p+q=r+s，则有+=+成立。即等差数列中任意两项序数和相等的两项的和相等。 3、证明其性质。若等差数列的公差为d，首项为，且p、q、r、s，于是有，= +(p-1)， = +(q-1)，所以，+=2+(p+q-2)d ，同理可得，+=2+(r+s-2)d 。因为p+q=r+s，所以+=+（）（二）等比数列的中项 1、概念与内容若在a与b两个数之间插入一个数G，使a、G、b成等比数列，则称G为a与b的等比中项（a、G、b都为非零数）。即=ab或G= 2、拓展与提升若等比数列中的项、（m、n、r、s）且满足p+q=r+s，则有.= .成立。即等比数列中任意两项序数和相等的两项的积相等。 3、证明其性质。若等比数列的公比为q(q，首项为，且m、n、r、s，于是有， =, =，因此.=同理可得，.=.因为m+n=r+s，所以.=.(）我们把（）、（）称为等差数列和等比数列的角标性质。（三）应用我们知道，数学学习的宗旨就是要从特殊和表面现象中总结出一般规律，然后再去指导实践解决实际问题。 二、处理教材中的练习与习题1、已知是等差数列 （1）2=+是否成立？2=+成立吗？为什么？（提示：5+5=3+7=1+9 ）（2）2=+（n1）是否成立？据此你可能得出什么结论？(提示：n+n=(n-1)+(n+1) )（3）若2=+（nk0）是否成立？你又能得出什么结论？（提示：n+n=(n-k)+(n+k) ）2、已知是比差数列（1）=.是否成立？=.成立吗？为什么？（提示：5+5=3+7=1+9 ）（2）=.（n1）是否成立？据此你可能得出什么结论？(提示：n+n=(n-1)+(n+1) )（3）若=.（nk0）是否成立？你又能得出什么结论？（提示：n+n=(n-k)+(n+k) ）三、解决高考中的数列问题运用等差数列和等比数列的角标性质来解决高考问题，能够使我们的考生事半功倍，增强考试信心。对指导复习工作具有重要意义。例如：1、如果等差数列中，+=12，那么，+=（A）14(B) 21 (C)28 (D)35(提示：+=+=2 )1、 已知在等差数列中，+=10，则的值为：（A）5(B)6 (C)8(D)10(提示：+=2 )2、 已知是比差数列，是它的前n项和。若=2，且与2的等差中项为，则为：（A）35(B)33 (C)31(D)29(提示：由=2=2，再由+2=2=， =，从而可知=16，进一步可求得 ) 当然，这一部分内容仅仅是高中数学内容的冰山一角。通过这样的学习活动培养学生如何去思考、如何去钻研的学习习惯和学习态度。从心理学来看，高中生的心理和生理都趋于成熟，我们应该着手于加强高中生的分析问题和理解问题能力的培养，提高他们的抽象思维能力和逻辑思维能力,从而提高学习效率。反对死记硬背和题海战术，真正把他们从学习“苦海”中解救出来。这也是我们做老师的心得。参考文献：1人民教育出版社，中学数学室.数学（高中必修），2006年6月第版. 2施致良.中小学劳动与技术教育J教学案例专题研究，浙江大学