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福建省邵武第一中学 第11讲 数列问题的题型与方法数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面,等差数列,等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题,经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来,试题也常把等差数列、等比数列,求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点,常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想,在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想,以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。近几年来,高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面;(1)数列本身的有关知识,其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。(2)数列与其它知识的结合,其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。(3)数列的应用问题,其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次,小题大都以基础题为主,解答题大都以基础题和中档题为主,只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。一、知识整合1在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上,系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律,深化数学思想方法在解题实践中的指导作用,灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题;2在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识,沟通各类知识的联系,形成更完整的知识网络,提高分析问题和解决问题的能力,进一步培养学生阅读理解和创新能力,综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力3培养学生善于分析题意,富于联想,以适应新的背景,新的设问方式,提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法二、方法技巧1判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:(1)定义法:对于n2的任意自然数,验证为同一常数。(2)通项公式法:若 =+(n-1)d=+(n-k)d ,则为等差数列;若 ,则为等比数列。(3)中项公式法:验证中项公式成立。2. 在等差数列中,有关的最值问题常用邻项变号法求解:(1)当0,d0时,满足的项数m使得取最大值.(2)当0时,满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。3.数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。三、注意事项1证明数列是等差或等比数列常用定义,即通过证明 或而得。2在解决等差数列或等比数列的相关问题时,“基本量法”是常用的方法,但有时灵活地运用性质,可使运算简便,而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。3注意与之间关系的转化。如:= , =4数列极限的综合题形式多样,解题思路灵活,但万变不离其宗,就是离不开数列极限的概念和性质,离不开数学思想方法,只要能把握这两方面,就会迅速打通解题思路5解综合题的成败在于审清题目,弄懂来龙去脉,透过给定信息的表象,抓住问题的本质,揭示问题的内在联系和隐含条件,明确解题方向,形成解题策略四、例题解析例1已知数列a是公差d0的等差数列,其前n项和为S(2)过点Q(1,a),Q(2,a)作直线12,设l与l的夹角为,证明:(1)因为等差数列a的公差d0,所以Kpp是常数(k=2,3,n)(2)直线l的方程为y-a=d(x-1),直线l的斜率为d例2已知数列中,是其前项和,并且,设数列,求证:数列是等比数列;设数列,求证:数列是等差数列;求数列的通项公式及前项和。分析:由于b和c中的项都和a中的项有关,a中又有S=4a+2,可由S-S作切入点探索解题的途径解:(1)由S=4a,S=4a+2,两式相减,得S-S=4(a-a),即a=4a-4a(根据b的构造,如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键,注意加强恒等变形能力的训练)a-2a=2(a-2a),又b=a-2a,所以b=2b 已知S=4a+2,a=1,a+a=4a+2,解得a=5,b=a-2a=3 由和得,数列b是首项为3,公比为2的等比数列,故b=32当n2时,S=4a+2=2(3n-4)+2;当n=1时,S=a=1也适合上式综上可知,所求的求和公式为S=2(3n-4)+2说明:1本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差,等比数列,求数列通项与前项和。解决本题的关键在于由条件得出递推公式。2解综合题要总揽全局,尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件,在后面求解的过程中适时应用例3(04年浙江)设数列an的前项的和Sn=(an-1) (n+),(1)求a1;a2; (2)求证数列an为等比数列。解: ()由,得 又,即,得. ()当n1时, 得所以是首项,公比为的等比数列.例4、(04年重庆)设a1=1,a2=,an+2=an+1-an (n=1,2,-),令bn=an+1-an (n=1,2-)求数列bn的通项公式,(2)求数列nan的前n项的和Sn。解:(I)因故bn是公比为的等比数列,且 (II)由注意到可得记数列的前n项和为Tn,则例5在直角坐标平面上有一点列,对一切正整数,点位于函数的图象上,且的横坐标构成以为首项,为公差的等差数列。求点的坐标;设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴,第条抛物线的顶点为,且过点,记与抛物线相切于的直线的斜率为,求:。设,等差数列的任一项,其中是中的最大数,求的通项公式。解:(1)(2)的对称轴垂直于轴,且顶点为.设的方程为:把代入上式,得,的方程为:。,=(3),T中最大数.设公差为,则,由此得说明:本例为数列与解析几何的综合题,难度较大(1)、(2)两问运用几何知识算出,解决(3)的关键在于算出及求数列的公差。例6数列中,且满足 求数列的通项公式;设,求;设=,是否存在最大的整数,使得对任意,均有成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。解:(1)由题意,为等差数列,设公差为,由题意得,.(2)若,时,故 (3)若对任意成立,即对任意成立,的最小值是,的最大整数值是7。即存在最大整数使对任意,均有说明:本例复习数列通项,数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。.五、强化训练(一)用基本量方法解题1、(04年浙江)已知等差数列的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2= (B )A 4 B 6 C 8 D 10 (二)用赋值法解题2、(96年)等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为(C ) A 130 B 170 C 210 D 2603、(01年)设an是公比为q的等比数列, Sn是an的前n项和,若Sn是等差数列,则q=_1_4、设数列an的前项的和Sn= (对于所有n1),且a4=54,则a1=_2_(三)用整体化方法解题5、(00年)已知等差数列an满足a1+a2+a3+a101=0,则有(C ) A a1+a1010 B a2+a1000,Sn是an的前n项和,Sn取得最大值,则n=_9_.10、(01年上海)已知数列an中an=2n-7,(nN+),+-+=_153_ (五)用递推方法解题11、(03年全国)设an是首项为1的正项数列,且(n+1)a2n+1-nan2+an+1an=0,求它的通项公式是_1/n12、(04年全国)已知数列an满足a.1=1,an=a1+2a2+3a3+-+(n-1)an-1 (n1),则an的通项an=_a1=1;an=n2 13、(04年北京)定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和。已知数列是等和数列,且,公和为5,那么的值为_3_,这个数列的前n项和的计算公式为_当n为偶数时,;当n为奇数时,14. (04年全国)已知数列an中,a1=1,a2k=a2k-1+(-1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,。(1)求a3,a5; (2)求an的通项公式解:(I)a2=a1+(1)1=0, a3=a2+31=3.a4=a3+(1)2=4 a5=a4+32=13, 所以,a3=3,a5=13. (II) a2k+1=a2k+3k = a2k1+(1)k+3k, 所以a2k+1a2k1=3k+(1)k, 同理a2k1a2k

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