数学必修2-3~11分类计数原理和分步计数原理(2).ppt

1 1分类计数原理和分步计数原理 2 2020年1月27日星期W 苏教高中数学选修2 3 学习目标 1 准确理解分类和分步计数原理 弄清两者的区别 2 会用分类和分步计数原理解决一些简单的问题 复习回顾 1 什么是分类计数原理 分类计数原理完成一件事 有n类办法 在第1类办法中有种不同方法 在第2类办法中有种不同方法 在第n类办法中有种不同方法 那么完成这件事共有种不同的方法 2 什么是分步计数原理 分步计数原理完成一件事 需要分n个步骤 做第1步有种不同方法 做第2步有种不同方法 做第n步有种不同方法 那么完成这件事共有种不同的方法 3 分类计数原理与分步计数原理有何作用 统计完成一件事有多少种不同的方法 先看完成这件事情的一种方法是怎样的 是要分几类来完成 还是可以分几步来完成 从而判断是用分类计数原理还是用分步计数原理 例题讲解 示例1要从甲 乙 丙3名工人中选出2名分别上白班和晚班 有多少种不同的选法 解 要排好一个白班和晚班须分两个步骤来完成 第1步是从甲 乙 丙3人中选1人上白班 有3种选法 第2步是选1人上晚班 但这时只能从剩下的2人中选1人 有2种方法 根据分步计数原理 不同的选法种数是 3 2 6 具体排法 白班晚班 白班晚班 甲乙 甲丙 乙甲 丙乙 丙甲 乙丙 示例2在所有的两位数中 个位数字大于十位数字的两位数共有多少个 分析1 按个位数字是2 3 4 5 6 7 8 9分成8类 在每一类中满足条件的两位数分别是 1个 2个 3个 4个 5个 6个 7个 8个 则根据加法原理共有1 2 3 4 5 6 7 8 36 个 分析2 按十位数字是1 2 3 4 5 6 7 8分成8类 在每一类中满足条件的两位数分别是 8个 7个 6个 5个 4个 3个 2个 1个 则根据加法原理共有8 7 6 5 4 3 2 1 36 个 变式 从1到200的自然数中 各个数位上都不含8的自然数有多少个 分三类 第一类 一位数中除8以外的数符合要求 共个 8 第二类 两位数中十位 个位都不含8的数 有个 9 8 72 9 9 1 82 第三类 三位数中符合要求的数 共有个 则满足条件的总的自然数有 N 8 9 8 9 9 1 162个 示例3某艺术组有9人 每人至少会钢琴和小号中的一种乐器 其中有7人会钢琴 3人会小号 从中选出会钢琴与会小号的各1人 有多少种不同的选法 解 由题意可知 艺术组9人中 只会钢琴的有6人 只会小号的有2人 既会钢琴又会小号的有1人 可把该人称为多面手 因此 选出会钢琴与会小号的各1人可分两类 第一类 不选多面手 分2步 第一步从只会钢琴的6人中选1人 有6种选法 第二步从只会小号的2人中选1人 有2种选法 因此 共有6 2 12 种 第二类 选多面手 分2步 第一步从多面手中选 有1种选法 第二步从非多面手中选 有8种选法 因此 共有1 8 8 种 故共有12 8 20 种 注 先分类 后分步 特殊元素优先考虑法 示例4用红 黄 蓝不同颜色旗各3面 每次升一面 两面 三面在某一旗杆上纵向排列 共可以组成多少种不同的信号 解 不同的信号可分为三类 第一类 升一面旗 又可分三类 有1 1 1 3种第二类 升两面旗 可分两步 有3 3 9种第三类 升三面旗 可分三步 有3 3 3 27种故共有3 9 27 39 种 评注 先分类 再在每一类中分类或分步 示例5如图 要给地图A B C D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相邻区域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种 染色问题 解 按地图A B C D四个区域依次分四步完成 第一步 m1 3种 第二步 m2 2种 第三步 m3 1种 第四步 m4 1种 根据乘法原理 得到不同的涂色方案种数共有 N 3 2 1 1 6种 示例5如图 要给地图A B C D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相邻区域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种 思考 若有 4种或 5种颜色可供选择 结果分别如何 提示 涂色种数分别是 4 3 2 2 48种 5 4 3 3 180种 示例6 1 将3封信投入4个不同的信箱 共有种不同的投法 43 示例6 2 由4名学生争夺3个比赛项目的冠军 冠军获得者共有多少种可能 住店法 解决 允许重复排列问题 要注意区分两类元素 一类元素可以重复 另一类不能重复 把不能重复的元素看作 客 能重复的元素看作 店 再利用分步计数原理直接求解的方法称为 住店法 变式 1 3名学生走进有4个大门的商店 共有种不同的走法 2 3个不同的球放入4个不同的布袋内 共有种不同的放法 3 四名学生分配到三个车间劳动实习 共有分配方案 课堂练习 243 C 拓展性练习 1 书架上原来并排放着5本不同的书 现要插入三本不同的书 那么不同插法的种数是 A 336B 120C 24D 16 2 将3种作物种植在如图的5块试验田里 每块种植一种作物 且相邻的试验田不能种植同一作物 不同的种植方法共有种 A 42 3 已知集合A a1 a2 a3 a4 集合B b1 b2 其中ai bj均为实数 1 从集合A到集合B能构成多少个不同的映射 2 能构成多少个以集合A为定义域 以集合B为值域的不同函数 16 14 课堂小结 较复杂的分步问题 后面的步骤可能要受前面步骤的制约 解决一个较复杂问题 可能要综合分类与分步 一般是先分类 再在每一类中考虑分类与分步 对于有 特殊元素 的问题 分类和分步时一般可从特殊元素出发考虑 即 特殊优先原则 科学 规范 有序的思维方法的培养从正确书写解题过程开始 作业布置 1 同室4人各写1张贺年卡 先集中起来 然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡 则4张贺年卡不同的分配方式有 A 6种B 9种C 11种D 23种 B 探究与拓展 方法一 树型图 甲乙丙丁 2 134 441 313 3 144 421 212 4 133 212 321 四名同学分别为 甲 乙 丙 丁 所写贺卡依次为1 2 3 4 方法二 采用 分步 处理法第一步 甲先拿 按规定甲可拿2 3 4当中的一张 有3种方法 第二步 让与甲取走的卡片相对应的人来拿 有3种拿法 例如甲拿的是2 则乙有3种拿法 第三步 让剩余的两个人拿 都均有1种拿法 四名同学分别为 甲 乙 丙 丁 所写贺卡依次为1 2 3 4 总的方法数N 3x3x1x1 9 2 自然数630有多少个正约数 分析 630 2 32 5 7 其正约数的结构式为 其中 可取0 1 可取0 1 2 可取0 1 可取0 1 即在 所形成的取值集合中 各取一个元素填入上式 就得630的一个约数 由乘法原理 得N 2 3 2 2 24 3 如图示 从A地到B地有3条不同的道路 从B地到C地有4条不同的道路 从A地不经B地直接到C地有2条不同的道路 求 1 从A地到C地共有多少种不同的走法 2 从A地到C地再回到A地有多少种不同的走法 3 从A地到C地再到A地 但回来时要走与去时不同的道路 有多少种不同的走法 4 从A地到C地再到A地 但回来时要走与去时完全不同的道路 有多少种不同的走法 解法分析 1 从A地到C地的走法可分为两类 一类经过B 另一类不经过B 则不同的走法总数为 3 4 2 14种 2 从A地到C地再回到A地不同的走法可分为两大步 第一步去 第二步回 则不同的走法总数为 14 14 196种 3 该事件的过程与 2 一样可分为两大步 但不同的是第二步即回来的走法比去时的走法少一种 则不同的走法总数为14 13 182种