（试题 试卷 真题）数学中的对称美

数学中的对称美对称性是数学美的最重要的特征。 几何中的轴对称、中心对称，代数中的许多运用都能给人以美感。发掘学生对数学的审美能力，这对引发学生的数学兴趣和学习上都有很大的帮助。许多数学教师在教学中关注怎样利用数学中的对称美,提高学生学习数学的兴趣,提高解题的能力。我认为,数学教师在教学中,更要注意引导学生利用对称美提出问题,进行数学创新。这样做,有利于学生跳出题海,掌握学习的主动权。一 ：代数中的对称美：常出现在规律运算、数列运算、函数运算中例如1： “回文数”是一种数字，也是一种对称数。如:98789，这个数字正读是98789，倒读也是98789，正读倒读一样，所以这个数字就是回文数。计算111111111111111111的值解：我们最常见的一组算式：11=1 1111=12111111=1232111111111=1234321从上述计算中得出对称规律可得：111111111111111111=12345678987654321例如2、计算 ：1 + 2 + 3 + + 100引导学生利用数学对称美来解。解：设x = 1 + 2 + 3 + + 100倒过来x = 100 + 99 + + 1 + 得2x = 101 100 x = 5050即：1 + 2 + 3 + + 100 = 5050例如3、已知正比例函数 与反比例函数 的一个交点是（2，3），则另一个交点是（ ，）.分析：因为正比例函数 与反比例函数 都是关于原点中心对称图形，从而它们的交点也是关于原点中心对称。所以另一个交点是（ 2，3）.例如4、 如图，请写出ABC中各顶点的坐标在同一坐标系中画出直线m：x=-1，并作出ABC关于直线m对称的ABC若P（a，b）是ABC中AC边上一点，请表示其在ABC中对应点的坐标 分析：直线m：x=-1表示直线m上任意一点的横坐标都等于-1，因此过点（-1，0）作y轴的平行线即直线m画出直线m后，再作点A、C关于直线m的对称点A、C，而点B在直线m上，则其关于直线m对称的点B就是点B本身解：（1）ABC中各顶点的坐标分别是A（1，4）、B（-1，1）、C（2，-1）（2）如右图，过点（-1，0）作y轴的平行线m，即直线x=-1（3）如右图，分别作点A、B、C关于直线m对称的点A（-3，4）、B（-1，1）、C（-4，-1），并对顺次连接A、B、C三点，则ABC即为所求（4）观察发现三组对称点的纵坐标没有变化而横坐标都可以表示为2（-1）减去对应点的横坐标所以点P的对应点的坐标为（-2-a，b）。注意：2（-1）中的-1即对称轴x=-1若对称轴不是x=-1，而是y=2，相信聪明的你是一定能作出对称的三角形的，也一定能发现其中坐标变化的规律二、几何中的对称美：“对称”在数学上的表现则是普遍的，几何上平面的情形有直线对称（轴对称）和点对称（中心对称），空间的情形除了直线和点对称外，还有平面对称。正偶边形既是中心对称图形又是轴对称， 正奇边形不是中心对称图形但是轴对称。比如正方形既是轴对称图形（以过对边中点的直线为轴），以是中心对称图形（对角线的交点为对称中心），圆也是。例如1：在锐角AOB内有一定点P，试在OA、OB上确定两点C、D，使PCD的周长最短分析：PCD的周长等于PC+CD+PD，要使PCD的周长最短，根据两点之间线段最短，只需使得PC+CD+PD的大小等于某两点之间的距离，于是考虑作点P关于直线OA和OB的对称点E、F，则PCD的周长等于线段EF的长作法：如图作点P关于直线OA的对称点E；作点P关于直线OB的对称点F；连接EF分别交OA、OB于点C、D则C、D就是所要求作的点证明：连接PC、PD，则PC=EC，PD=FD在OA上任取异于点C的一点H，连接HE、HP、HD，则HE=HPPHD的周长=HP+HD+PD=HE+HD+DFED+DF=EF而PCD的周长=PC+CD+PD=EC+CD+DF=EFPCD的周长最短例如2：作图设计，村庄A、B位于不平行的两条小河的两侧，若要在两条小河上各架设一座与河岸垂直的桥，并要使A到B的路程最近，问桥应架在何处？解：此题看来很复杂，但利用对称的原理来稍做改变，问题就可以迎刃而解了设河岸为L1、L2、L3、L4，L1/L2，L3/L4，作AA1L1，BB1L3，使AA1的长为L1与L2之间的距离连接A1B1交L2于A