高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数课件 理.ppt

第四章三角函数 解三角形 4 1任意角 弧度制及任意角的三角函数 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 思想与方法系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 角的概念 1 任意角 定义 角可以看做平面内绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 分类 角按旋转方向分为 和 2 所有与角 终边相同的角 连同角 在内 构成的角的集合是s 3 象限角 使角的顶点与坐标 重合 角的始边与 重合 那么 角的终边 除端点外 在第几象限 就说这个角是第几象限角 如果角的终边在坐标轴上 就认为这个角不属于任何一个象限 一条射线 图形 正角 负角 零角 k 360 k z 原点 x轴的正半轴 知识梳理 1 答案 2 弧度制 1 定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角 用符号rad表示 读作弧度 正角的弧度数是一个 负角的弧度数是一个 零角的弧度数是 正数 负数 0 r 答案 3 任意角的三角函数任意角 的终边与单位圆交于点p x y 时 sin cos tan x 0 三个三角函数的初步性质如下表 y x r r k k z 答案 4 三角函数线如下图 设角 的终边与单位圆交于点p 过p作pm x轴 垂足为m 过a 1 0 作单位圆的切线与 的终边或终边的反向延长线相交于点t mp om at 答案 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 锐角是第一象限的角 第一象限的角也都是锐角 2 角 的三角函数值与其终边上点p的位置无关 答案 思考辨析 8 所以y 0 且y2 64 所以y 8 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 但是角度制与弧度制不能混用 所以只有 正确 解析答案 1 2 3 4 5 3 教材改编 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2 那么这个圆心角所对的弧长是 解析答案 1 2 3 4 5 解析由题意知角 的终边与240 角的终边相同 又 p x y 在角 的终边上 解析答案 1 2 3 4 5 解析 2cosx 1 0 由三角函数线画出x满足条件的终边范围 如图阴影所示 解析答案 1 2 3 4 5 返回 题型分类深度剖析 例1 1 已知角 的终边在如图所示阴影表示的范围内 不包括边界 则角 用集合可表示为 题型一角及其表示 解析答案 二或四 解析答案 思维升华 思维升华 1 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角 方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合 然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角 2 利用终边相同的角的集合s 2k k z 判断一个角 所在的象限时 只需把这个角写成 0 2 范围内的一个角 与2 的整数倍的和 然后判断角 的象限 m n m n n m m n 跟踪训练1 解析答案 解析答案 因此必有m n 答案 675 或 315 2 已知角 45 在区间 720 0 内与角 有相同终边的角 解析由终边相同的角的关系知 k 360 45 k z 取k 2 1 得 675 或 315 解析答案 例2已知一扇形的圆心角为 半径为r 弧长为l 1 若 60 r 10cm 求扇形的弧长l 题型二弧度制的应用 解析答案 2 已知扇形的周长为10cm 面积是4cm2 求扇形的圆心角 解析答案 3 若扇形周长为20cm 当扇形的圆心角 为多少弧度时 这个扇形的面积最大 解由已知得 l 2r 20 所以当r 5时 s取得最大值25 此时l 10 2 即当扇形的圆心角 为2弧度时 这个扇形的面积最大 解析答案 思维升华 思维升华 应用弧度制解决问题的方法 1 利用扇形的弧长和面积公式解题时 要注意角的单位必须是弧度 2 求扇形面积最大值的问题时 常转化为二次函数的最值问题 利用配方法使问题得到解决 3 在解决弧长问题和扇形面积问题时 要合理地利用圆心角所在的三角形 1 将表的分针拨快10分钟 则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 解析将表的分针拨快应按顺时针方向旋转 为负角 又因为拨快10分钟 跟踪训练2 解析答案 2 已知扇形的周长为4cm 当它的半径为 cm和圆心角为 弧度时 扇形面积最大 解析设扇形圆心角为 半径为r 则2r r 4 当r 1时 s扇形 max 1 此时 2 2 1 解析答案 命题点1三角函数定义的应用 题型三三角函数的概念 解析答案 则q点的坐标为 解析答案 命题点2三角函数值的符号例4 1 若sin 0且tan 0 则 是第 象限角 解析 sin 0 的终边落在第三 四象限或y轴的负半轴上 又tan 0 在第一象限或第三象限 故 在第三象限 三 解析答案 二 解析答案 命题点3三角函数线 则oc与od围成的区域 图中阴影部分 即为角 终边的范围 解析答案 思维升华 思维升华 1 利用三角函数的定义 求一个角的三角函数值 需确定三个量 角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x 纵坐标y 该点到原点的距离r 2 根据三角函数定义中x y的符号来确定各象限内三角函数的符号 理解并记忆 一全正 二正弦 三正切 四余弦 3 利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍 结合三角函数的周期性正确写出角的范围 1 已知角 的余弦线是单位长度的有向线段 那么角 的终边在 x轴上 y轴上 直线y x上 直线y x上 角 的终边在x轴上 跟踪训练3 解析答案 2 已知角 的终边经过点 3a 9 a 2 且cos 0 sin 0 则实数a的取值范围是 解析 cos 0 sin 0 角 的终边落在第二象限或y轴的正半轴上 2 3 解析答案 返回 思想与方法系列 思维点拨点p转动的弧长是本题的关键 可在图中作三角形 寻找p点坐标和三角形边长的关系 思想与方法系列 6 数形结合思想在三角函数中的应用 思维点拨 解析答案 解析如图所示 过圆心c作x轴的垂线 垂足为a 过p作x轴的垂线与过c作y轴的垂线交于点b 因为圆心移动的距离为2 所以xp 2 cb 2 sin2 yp 1 pb 1 cos2 答案 2 sin2 1 cos2 2 函数y lg 3 4sin2x 的定义域为 解析 3 4sin2x 0 利用三角函数线画出x满足条件的终边范围 如图阴影部分所示 解析答案 返回 温馨提醒 思维点拨 温馨提醒 返回 1 解决和旋转有关的问题要抓住旋转过程中角的变化 结合弧长公式 三角函数定义寻找关系 2 利用三角函数线解三角不等式要在单位圆中先作出临界情况 然后观察适合条件的角的位置 思想方法感悟提高 1 在利用三角函数定义时 点p可取终边上任一点 如有可能取终边与单位圆的交点 则op r一定是正值 2 三角函数符号是重点 也是难点 在理解的基础上可借助口诀 一全正 二正弦 三正切 四余弦 3 在解简单的三角不等式时 利用单位圆及三角函数线是一个小技巧 方法与技巧 1 注意易混概念的区别 象限角 锐角 小于90 的角是概念不同的三类角 第一类是象限角 第二 第三类是区间角 2 角度制与弧度制可利用180 rad进行互化 在同一个式子中 采用的度量制度必须一致 不可混用 3 已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 400 360 40 从而 正确 315 360 45 从而 正确 答案3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长 则其圆心角 0 的弧度数为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析设p 4a 3a a 0 是角 终边上任意一点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 5 给出下列命题 第二象限角大于第一象限角 三角形的内角是第一象限角或第二象限角 不论是用角度制还是用弧度制度量一个角 它们与扇形的半径的大小无关 若sin sin 则 与 的终边相同 若cos 0 则 是第二或第三象限的角 其中正确命题的个数是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析举反例 第一象限角370 不小于第二象限角100 故 错 当三角形的内角为90 时 其既不是第一象限角 也不是第二象限角 故 错 正确 当cos 1 时既不是第二象限角 也不是第三象限角 故 错 综上可知只有 正确 答案1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 角 的终边在第四象限 又角 与角 的终边相同 所以角 是第四象限角 所以sin 0 tan 0 所以y 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 9 一个扇形oab的面积是1cm2 它的周长是4cm 求圆心角的弧度数和弦长ab 解设扇形的半径为rcm 弧长为lcm 如图 过o作oh ab于h 则 aoh 1rad ah 1 sin1 sin1 cm ab 2sin1 cm 所以圆心角的弧度数为2 弦长ab为2sin1cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 10 已知角 的终边上有一点p x 1 x 0 且tan x 求sin cos 解 的终边过点 x 1 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 故tan 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 12 给出下列各函数值 sin 1000 cos 2200 tan 10 其中符号为负的是 解析与 1000 终边相同的角是80 所以 1000 是第一象限角 则sin 1000 0 与 2200 终边相同的角是 40 所以 2200 是第四象限角 则cos 2200 0 所以 10是第二象限角 则tan 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 13 已知点p sin cos tan 在第一象限 则在 0 2 内 的取值范围是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 故角 是第二或第三象限角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11