高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第8讲 函数的应用课件 理 北师大版.ppt

第8讲函数的应用 最新考纲1 结合二次函数的图像 了解函数的零点与方程根的联系 判断一元二次方程根的存在性及根的个数 2 了解指数函数 对数函数 幂函数的增长特征 结合具体实例体会直线上升 指数增长 对数增长等不同函数类型增长的含义 3 了解函数模型 如指数函数 对数函数 幂函数 分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型 的广泛应用 知识梳理 1 函数的零点 1 函数的零点的概念函数y f x 的图像与横轴的交点的 称为这个函数的零点 2 函数的零点与方程的根的关系方程f x 0有实数根 函数y f x 的图像与有交点 函数y f x 有 x轴 零点 横坐标 3 零点存在性定理若函数y f x 在闭区间 a b 上的图像是连续曲线 并且在区间端点的函数值符号相反即f a f b 0 则在区间 内 函数y f x 至少有一个零点 即相应方程f x 0在区间 a b 内至少有一个实数解 a b 2 二次函数y ax2 bx c a 0 的图像与零点的关系 x1 0 x2 0 x1 0 3 指数 对数 幂函数模型性质比较 x轴 y轴 递增 递增 诊断自测 1 判断正误 在括号内打 或 1 函数的零点就是函数的图像与x轴的交点 2 函数y f x 在区间 a b 内有零点 函数图像连续不断 则f a f b 0 3 二次函数f x ax2 bx c a 0 存在一个正零点 一个负零点的充要条件为ac 0 4 幂函数增长比直线增长更快 5 当x 0时 函数y 2x与y x2的图像有两个交点 2 若函数f x 唯一的一个零点同时在区间 0 16 0 8 0 4 0 2 内 那么下列命题中正确的是 a 函数f x 在区间 0 1 内有零点b 函数f x 在区间 0 1 或 1 2 内有零点c 函数f x 在区间 2 16 上无零点d 函数f x 在区间 1 16 内无零点 解析由题意可知 函数f x 的唯一零点一定在区间 0 2 内 故一定不在 2 16 内 答案c 答案c 答案a 5 北师大必修1p25练习改编 某桶装水经营部每天的房租 人员工资等固定成本为200元 每桶水的进价是5元 销售单价与日均销售量的关系如表所示 请根据以上数据作出分析 这个经营部为获得最大利润 定价应为 元 解析设在进价基础上增加x元后 日均销售利润为y元 日均销售量为480 40 x 1 520 40 x 桶 则y 520 40 x x 200 40 x2 520 x 200 0 x 13 当x 6 5时 y有最大值 所以只需将销售单价定为11 5元 就可获得最大的利润 答案11 5 2 令y1 x a x b x b x c x b 2x a c y2 x c x a 由a b c作出函数y1 y2的图像 图略 由图可知两函数图像的两个交点分别位于区间 a b 和 b c 内 即函数f x 的两个零点分别位于区间 a b 和 b c 内 答案 1 c 2 a 规律方法判断函数在某个区间上是否存在零点 要根据具体题目灵活处理 当能直接求出零点时 就直接求出进行判断 当不能直接求出时 可根据零点存在性定理判断 当用零点存在性定理也无法判断时可画出图像判断 答案 1 b 2 3 规律方法函数零点个数的判断方法 1 直接求零点 令f x 0 有几个解就有几个零点 2 零点存在性定理 要求函数在区间 a b 上是连续不断的曲线 且f a f b 0 再结合函数的图像与性质确定函数零点个数 3 利用图像交点个数 作出两函数图像 观察其交点个数即得零点个数 答案 0 1 规律方法已知函数有零点 方程有根 求参数值常用的方法和思路 1 直接法 直接求解方程得到方程的根 再通过解不等式确定参数范围 2 分离参数法 先将参数分离 转化成求函数值域问题加以解决 3 数形结合 先对解析式变形 在同一平面直角坐标系中 画出函数的图像 然后观察求解 答案 1 d 2 d 考点二二次函数的零点问题 例2 已知函数f x x2 ax 2 a r 1 若不等式f x 0的解集为 1 2 求不等式f x 1 x2的解集 2 若函数g x f x x2 1在区间 1 2 上有两个不同的零点 求实数a的取值范围 规律方法解决与二次函数有关的零点问题 1 可利用一元二次方程的求根公式 2 可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系 3 利用二次函数的图像列不等式组 训练2 已知f x x2 a2 1 x a 2 的一个零点比1大 一个零点比1小 求实数a的取值范围 解法一设方程x2 a2 1 x a 2 0的两根分别为x1 x2 x1 x2 则 x1 1 x2 1 0 x1x2 x1 x2 1 0 由根与系数的关系 得 a 2 a2 1 1 0 即a2 a 2 0 2 a 1 考点三函数模型的应用 规律方法 1 很多实际问题中 变量间的关系不能用一个关系式给出 这时就需要构建分段函数模型 如出租车的票价与路程的函数就是分段函数 2 求函数最值常利用基本不等式法 导数法 函数的单调性等方法 在求分段函数的最值时 应先求每一段上的最值 然后比较得最大值 最小值 训练3 2016 武汉检测 某汽车销售公司在a b两地销售同一种品牌的汽车 在a地的销售利润 单位 万元 为y1 4 1x 0 1x2 在b地的销售利润 单位 万元 为y2 2x 其中x为销售量 单位 辆 若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车 则能获得的最大利润是 a 10 5万元b 11万元c 43万元d 43 025万元 答案c 思想方法 1 判定函数零点的常用方法有 1 解方程f x 0 2 零点存在性定理 3 数形结合 2 转化思想 方程解的个数问题可转化为两个函数图像交点的个数问题 已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题 3 实际问题中往往解决一些最值问题 我们可以利用二次函数的最值 函数的单调性 基本不等式等求得最值 4 解函数应用题的四个步骤 审题 建模 解模 还原 易错防