第二章 一维随机变量.doc

第二章 一维随机变量1.1基本要求（）了解一维随机变量的概念，熟练掌握一维随机变量分布函数的求法；（）了解一维离散型随机变量的概念，掌握二项分布和Poisson分布的相关知识；（）了解一维连续型随机变量的概念，熟练掌握正态分布。1.2疑难注释（）什么是随机变量？ 随机变量是在随机试验中引入的变量，其随机性是由试验的随机性决定的。例如“抛币试验”中引入变量，记“正面朝上”为，“反面朝上”为。则由每次试验结果确定的值也有所不同。（2）如何理解随机变量的分布？ 设是一个随机变量。对于实轴上任意一个集，代表了一个随机事件，亦即基本空间内所有能使的所成的集代表一个随机事件。确定后，随之唯一地确定。由这个对应关系定出，以实轴上的集为自变量、函数值在区间上的函数，称为随机变量的分布。它表明了的取值规律。 由于的任意性，可在数轴上任取一点，记，即为“小于”的点集。这样等价于，随机变量的分布即为。显然，随着的不同而不同，在与之间形成一一对应的关系，记即为随机变量的分布函数。这样定义的分布函数具有良好的性质（可见参考资料）。（3）如何理解泊松分布？ 设进行重复独立试验次，令随机变量为事件发生的次数，则，其中为每次试验中事件发生的概率。泊松分布是特殊的二项概率分布，其特殊性表现在此时的记，则。泊松分布提供了一种计算二项概率分布的简单方法，但应用时需满足上面条件。否则不能应用，例如当时，即使有也不能应用泊松公式。（4）什么是连续性随机变量？ 连续型随机变量与离散型随机变量不同，前者的取值往往是无限多个，而后者的取值是有限或可数多个。连续型随机变量有其严格的定义，若随机变量的分布函数恰好是某个非负函数在上的积分，即，则称为连续型随机变量，称为的分布密度（简称密度），并称的分布为连续型分布。（5）对于随机变量满足的分布是否必为离散型或连续型之一? 回答是否定的。对于某些随机试验，为研究方便通常引入随机变量。但满足的分布有可能是离散型，也有可能是连续型，还有可能既不是离散型也不是连续型。例如：设有一个均匀的陀螺，在其周围的半圈上都表明刻度1，另外半圈上均匀地刻上区间上诸数字。旋转这陀螺，记它停下时其圆周上触及桌面的点的刻度满足的分布，既不是离散型分布，也不是连续型分布。从而，对于随机变量，并非是离散型和连续型各居其一。(6) 连续型随机变量的分布函数具有什么特点？ 随机变量的分布函数具有左连续的特点，但对于连续型随机变量，其分布函数定义为变上限积分，从而连续型随机变量的分布函数是连续的。(7) 连续型随机变量的密度函数具有怎样的性质？ 设连续型随机变量的密度函数为，则具有以下性质： ； ； 。性质表明密度函数为一非负函数；性质表明必然事件发生的概率为1；性质表明连续型随机变量在区间内的取值概率等于密度函数在该区间的定积分。（8）什么是正态分布？ 许多随机变量受到为数众多的相互独立的随机因素的影响，而每一个别的影响都是微小的，且这些影响是可以叠加的。具有这些特点的随机变量，一般可认为满足的分布是正态分布。正态分布是一种重要的连续型分布，具有密度函数为 其中是常数，简记为。1.3 方法指导（1）如何求离散型随机变量的分布密度？离散型随机变量的取值通常是有限个或可数多个，求离散型随机变量的分布密