高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系课件 文.ppt

第八章立体几何 8 2空间点 直线 平面之间的位置关系 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 思想与方法系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 四个公理公理1 如果一条直线上的在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在这个平面内 公理2 如果两个平面有一个公共点 那么它们还有其他公共点 这些公共点的集合是经过这个公共点的 公理3 经过的三点 有且只有一个平面 两点 一条直线 不在同一条直线上 知识梳理 1 答案 推论1经过一条直线和有且只有一个平面 推论2经过 有且只有一个平面 推论3经过 有且只有一个平面 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相 这条直线外的一点 两条相交直线 两条平行直线 平行 答案 2 直线与直线的位置关系 1 位置关系的分类 平行 相交 任何 答案 2 异面直线所成的角 定义 设a b是两条异面直线 经过空间任意一点o作直线a a b b 我们把直线a 与b 所成的叫做异面直线a与b所成的角 锐角 或直角 答案 3 直线与平面的位置关系有 三种情况 4 平面与平面的位置关系有 两种情况 5 定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别并且方向 那么这两个角 平行 相交 在平面内 平行 相交 平行 相同 相等 答案 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 如果两个不重合的平面 有一条公共直线a 就说平面 相交 并记作 a 2 两个平面 有一个公共点a 就说 相交于过a点的任意一条直线 3 两个平面 有一个公共点a 就说 相交于a点 并记作 a 4 两个平面abc与dbc相交于线段bc 5 经过两条相交直线 有且只有一个平面 6 没有公共点的两条直线是异面直线 思考辨析 答案 1 下列命题正确的个数为 梯形可以确定一个平面 若两条直线和第三条直线所成的角相等 则这两条直线平行 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 如果两个平面有三个公共点 则这两个平面重合 解析 中两直线可以平行 相交或异面 中若三个点在同一条直线上 则两个平面相交 正确 2 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 已知a b是异面直线 直线c平行于直线a 那么c与b 一定是异面直线 一定是相交直线 不可能是平行直线 不可能是相交直线解析由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线 但不可能为平行直线 若b c 则a b 与已知a b为异面直线相矛盾 解析答案 1 2 3 4 5 3 两两平行的三条直线可确定 个平面 解析三直线共面确定1个 三直线不共面 每两条确定1个 可确定3个 1或3 解析答案 1 2 3 4 5 解析 bc与eg所成的角等于eg与fg所成的角即 egf egf 45 ae与bg所成的角等于bf与bg 45 60 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 返回 答案 在 mon中 mn om on 解析如图 取bc的中点o 连结mo no mn 1 2 3 4 5 返回 题型分类深度剖析 例1如图所示 正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是ab和aa1的中点 求证 1 e c d1 f四点共面 证明如图 连结ef cd1 a1b e f分别是ab aa1的中点 ef ba1 又a1b d1c ef cd1 e c d1 f四点共面 题型一平面基本性质的应用 解析答案 2 ce d1f da三线共点 证明 ef cd1 ef cd1 ce与d1f必相交 设交点为p 如图所示 则由p ce ce 平面abcd 得p 平面abcd 同理p 平面add1a1 又平面abcd 平面add1a1 da p 直线da ce d1f da三线共点 解析答案 思维升华 思维升华 公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据 公理3及其推论是判断或证明点 线共面的依据 公理2是证明三线共点或三点共线的依据 如图 平面abef 平面abcd 四边形abef与四边形abcd都是直角梯形 bad fab 90 bc ad且bc ad be af且be af g h分别为fa fd的中点 1 证明 四边形bchg是平行四边形 证明由已知fg ga fh hd 四边形bchg为平行四边形 跟踪训练1 解析答案 2 c d f e四点是否共面 为什么 be綊fg 四边形befg为平行四边形 ef bg 由 1 知bg綊ch ef ch ef与ch共面 又d fh c d f e四点共面 解析答案 例2 1 2015 广东改编 若直线l1和l2是异面直线 l1在平面 内 l2在平面 内 l是平面 与平面 的交线 则下列命题正确的是 l与l1 l2都不相交 l与l1 l2都相交 l至多与l1 l2中的一条相交 l至少与l1 l2中的一条相交 题型二判断空间两直线的位置关系 解析若l与l1 l2都不相交 则l l1 l l2 l1 l2 这与l1和l2异面矛盾 l至少与l1 l2中的一条相交 解析答案 2 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是bc1 cd1的中点 则下列判断错误的是 mn与cc1垂直 mn与ac垂直 mn与bd平行 mn与a1b1平行 解析答案 解析如图 连结b1c b1d1 则点m是b1c的中点 mn是 b1cd1的中位线 mn b1d1 cc1 b1d1 ac b1d1 bd b1d1 mn cc1 mn ac mn bd 又 a1b1与b1d1相交 mn与a1b1不平行 答案 3 在图中 g n m h分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点 则表示直线gh mn是异面直线的图形有 填上所有正确答案的序号 解析答案 思维升华 解析图 中 直线gh mn 图 中 g h n三点共面 但m 面ghn 因此直线gh与mn异面 图 中 连结mg gm hn 因此gh与mn共面 图 中 g m n共面 但h 面gmn 因此gh与mn异面 所以图 中gh与mn异面 答案 思维升华 思维升华 空间中两直线位置关系的判定 主要是异面 平行和垂直的判定 对于异面直线 可采用直接法或反证法 对于平行直线 可利用三角形 梯形 中位线的性质 公理4及线面平行与面面平行的性质定理 对于垂直关系 往往利用线面垂直的性质来解决 如图是正四面体 各面均为正三角形 的平面展开图 g h m n分别为de be ef ec的中点 在这个正四面体中 gh与ef平行 bd与mn为异面直线 gh与mn成60 角 de与mn垂直 以上四个命题中 正确命题的序号是 跟踪训练2 解析答案 解析把正四面体的平面展开还原 如图所示 gh与ef为异面直线 bd与mn为异面直线 gh与mn成60 角 de mn 答案 例3 1 如图所示 在正三棱柱abc a1b1c1中 d是ac的中点 aa1 ab 1 则异面直线ab1与bd所成的角为 解析取a1c1的中点e 连结b1e ed ae 在rt ab1e中 ab1e即为所求 故 ab1e 60 所以异面直线ab1与bd所成的角为60 60 题型三求两条异面直线所成的角 解析答案 2 空间四边形abcd中 ab cd且ab与cd所成的角为30 e f分别为bc ad的中点 求ef与ab所成角的大小 解析答案 思维升华 解如图 取ac的中点g 连结eg fg 由ab cd知eg fg gef 或它的补角 为ef与ab所成的角 egf 或它的补角 为ab与cd所成的角 解析答案 思维升华 ab与cd所成的角为30 egf 30 或150 由eg fg知 efg为等腰三角形 当 egf 30 时 gef 75 当 egf 150 时 gef 15 故ef与ab所成的角为15 或75 思维升华 思维升华 1 求异面直线所成的角常用方法是平移法 平移的方法一般有三种类型 利用图中已有的平行线平移 利用特殊点 线段的端点或中点 作平行线平移 补形平移 2 求异面直线所成的角的三步曲 即 一作 二证 三求 其中空间选点任意 但要灵活 经常选择 端点 中点 等分点 通过作三角形的中位线 平行四边形等进行平移 作出异面直线所成的角 转化为解三角形问题 进而求解 1 已知正四面体abcd中 e是ab的中点 则异面直线ce与bd所成角的余弦值为 跟踪训练3 解析答案 解析画出正四面体abcd的直观图 如图所示 设其棱长为2 取ad的中点f 连结ef 设ef的中点为o 连结co 则ef bd 则 fec就是异面直线ce与bd所成的角 abc为等边三角形 则ce ab 解析答案 故ce cf 因为oe of 所以co ef 2 直三棱柱abc a1b1c1中 若 bac 90 ab ac aa1 则异面直线ba1与ac1所成的角等于 解析如图 可补成一个正方体 ac1 bd1 ba1与ac1所成角的大小为 a1bd1 又易知 a1bd1为正三角形 a1bd1 60 即ba1与ac1成60 的角 60 解析答案 返回 思想与方法系列 典例已知m n是两条不同的直线 为两个不同的平面 有下列四个命题 若m n m n 则 若m n m n 则 若m n m n 则 若m n 则m n 其中所有正确的命题是 思维点拨构造一个长方体模型 找出适合条件的直线与平面 在长方体内判断它们的位置关系 思想与方法系列 16 构造模型判断空间线面位置关系 温馨提醒 解析答案 思维点拨 返回 解析借助于长方体模型来解决本题 对于 可以得到平面 互相垂直 如图 1 所示 故 正确 对于 平面 可能垂直 如图 2 所示 故 不正确 对于 平面 可能垂直 如图 3 所示 故 不正确 对于 由m 可得m 因为n 所以过n作平面 且 g 如图 4 所示 所以n与交线g平行 因为m g 所以m n 故 正确 答案 温馨提醒 温馨提醒 1 构造法实质上是结合题意构造合题意的直观模型 然后将问题利用模型直观地作出判断 这样减少了抽象性 避免了因考虑不全面而导致解题错误 2 对于线面 面面平行 垂直的位置关系的判定 可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断 返回 思想与方法系列 1 主要题型的解题方法 1 要证明 线共面 或 点共面 可先由部分直线或点确定一个平面 再证其余直线或点也在这个平面内 即 纳入法 2 要证明 点共线 可将线看作两个平面的交线 只要证明这些点都是这两个平面的公共点 根据公理2可知这些点在交线上 因此共线 2 判定空间两条直线是异面直线的方法 1 判定定理 平面外一点a与平面内一点b的连线和平面内不经过点b的直线是异面直线 方法与技巧 2 反证法 证明两线不可能平行 相交或证明两线不可能共面 从而可得两线异面 3 求两条异面直线所成角的大小 一般方法是通过平行移动直线 把异面问题转化为共面问题来解决 根据空间等角定理及推论可知 异面直线所成角的大小与顶点位置无关 往往可以选在其中一条直线上 线面的端点或中点 利用三角形求解 方法与技巧 1 正确理解异面直线 不同在任何一个平面内 的含义 不要理解成 不在同一个平面内 2 不共线的三点确定一个平面 一定不能丢掉 不共线 条件 3 两条异面直线所成角的范围是 0 90 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 在下列命题中 不是公理的是 平行于同一个平面的两个平面相互平行 过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在此平面内 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 解析 是面面平行的性质定理 是由公理推证出来的 而公理是不需要证明的 15 解析答案 2 2014 广东改编 若空间中四条两两不同的直线l1 l2 l3 l4 满足l1 l2 l2 l3 l3 l4 则下列结论一定正确的是 l1 l4 l1 l4 l1与l4既不垂直也不平行 l1与l4的位置关系不确定 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析在如图所示的长方体中 不妨设l2为直线aa1 l3为直线cc1 则直线l1 l4可以是ab bc 也可以是ab cd 也可以是ab b1c1 这三组直线相交 平行 垂直 异面 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 设p表示一个点 a b表示两条直线 表示两个平面 给出下列四个命题 其中正确的命题是 p a p a a b p b a a b a p b p b b p p p b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析当a p时 p a p 但a 错 a p时 错 如图 a b p b p a 由直线a与点p确定唯一平面 又a b 由a与b确定唯一平面 但 经过直线a与点p 与 重合 b 故 正确 两个平面的公共点必在其交线上 故 正确 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析因为四边形abcd为正方形 故cd ab 则cd与pa所成的角即为ab与pa所成的角 即为 pab 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 6 如图所示 平面 两两相交 a b c为三条交线 且a b 则a与c b与c的位置关系是 解析 a b a b b 又 b c b c a b c a b c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 7 如图 正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上 且ab cd 则直线ef与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 解析ef与正方体左 右两侧面均平行 所以与ef相交的侧面有4个 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 8 2015 浙江 如图 三棱锥abcd中 ab ac bd cd 3 ad bc 2 点m n分别是ad bc的中点 则异面直线an cm所成的角的余弦值是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析如图所示 连结dn 取线段dn的中点k 连结mk ck m为ad的中点 mk an kmc为异面直线an cm所成的角 ab ac bd cd 3 ad bc 2 n为bc的中点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别为棱aa1 cc1的中点 则在空间中与三条直线a1d1 ef cd都相交的直线有 条 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 方法二在a1d1上任取一点p 过点p与直线ef作一个平面 因cd与平面 不平行 所以它们相交 设它们交于点q 连结pq 则pq与ef必然相交 即pq为所求直线 由点p的任意性 知有无数条直线与三条直线a1d1 ef cd都相交 答案无数 解析方法一在ef上任意取一点m 直线a1d1与m确定一个平面 这个平面与cd有且仅有1个交点n m取不同的位置就确定不同的平面 从而与cd有不同的交点n 而直线mn与这3条异面直线都有交点 如图所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 如图 空间四边形abcd中 e f g分别在ab bc cd上 且满足ae eb cf fb 2 1 cg gd 3 1 过e f g的平面交ad于点h 1 求ah hd ef 平面acd 而ef 平面efgh 平面efgh 平面acd gh ef gh ac gh 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 求证 eh fg bd三线共点 ef gh 四边形efgh为梯形 令eh fg p 则p eh 而eh 平面abd 又p fg fg 平面bcd 平面abd 平面bcd bd p bd eh fg bd三线共点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 11 以下四个命题中 不共面的四点中 其中任意三点不共线 若点a b c d共面 点a b c e共面 则点a b c d e共面 若直线a b共面 直线a c共面 则直线b c共面 依次首尾相接的四条线段必共面 正确命题的个数是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析 中显然是正确的 中若a b c三点共线 则a b c d e五点不一定共面 构造长方体或正方体 如图显然b c异面 故不正确 中空间四边形中四条线段不共面 故只有 正确 答案1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 设a b c是空间中的三条直线 下面给出四个命题 若a b b c 则a c 若a b b c 则a c 若a与b相交 b与c相交 则a与c相交 若a 平面 b 平面 则a b一定是异面直线 上述命题中正确的命题是 写出所有正确命题的序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析由公理4知 正确 当a b b c时 a与c可以相交 平行或异面 故 错 当a与b相交 b与c相交时 a与c可以相交 平行 也可以异面 故 错 a b 并不能说明a与b 不同在任何一个平面内 故 错 答案 1 2 3 4 5 6 7 8