江苏省高考数学曲线与方程.doc

1.(2010福建卷)已知抛物线C：y2=2px(p0)过点A(1，-2)(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于 ？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由解析：(1)将点(1，-2)代入方程y2=2px，得p=2，故所求抛物线的方程为y2=4x，其准线方程为x=-1.(2)假设存在符合题意的直线L，因直线OA的斜率为-2，故L的方程可设为y=-2x+t(t0)将y=-2x+t代入y2=4x并消去x，得y2+2y-2t=0.因直线L与抛物线C有公共点，故=4+8t 0，解得t -另一方面，直线L与OA的距离为 ,故 ,解得t=1或t=-1.因为仅有t=1满足t- 且t0，故满足题意的直线L存在，且直线L的方程为y=-2x+1.2.(2009江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2,2)，其焦点F在x轴上(1)求抛物线C的标准方程；(2)求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；(3)设过点M(m,0)(m0)的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为f(m)，求f(m)关于m的表达式解析：(1)由题意，可设抛物线C的标准方程为y2=2px.因为点A(2,2)在抛物线C上，所以p=1.因此，抛物线C的标准方程为y2=2x.(2)由(1)可得焦点F的坐标是( ，0)，又直线OA的斜率为1，故与直线OA垂直的直线的斜率为-1.因此，所求直线的方程为x+ y - = 0.解法2：分析：本题第(1)问利用几何图形的性质提炼出等量关系，利用椭圆的定义求轨迹方程；第(2)问判断直线与椭圆的位置关系，可联立方程求曲线的交点，也可利用几何方法来判断 例2：(2010江苏南京市二模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，焦点F的坐标为(1,0)(1)求抛物线C的标准方程；(2)设M，N是抛物线C的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为-4，直线MO，NO与抛物线的交点分别为点A、B，求证：动直线AB恒过一个定点分析：本题主要考查抛物线的标准方程及其性质，考查计算能力与运用所学知识分析问题与解决问题的能力对于(2)，可直接假设动点M与N的坐标，并由此求出A与B的坐标，证明直线AB恒过定点，见解法1；也可取特殊的点M与N，先求出定点坐标，然后证明所有其它的满足条件的直线均过此点，见解法2.解析：(1) 依题意，可设抛物线的标准方程为y2=2px(p0)由 =1 ，得 p=2，所以抛物线C的标准方程为 y2=4x.(2)解法1：抛物线C的准线方程为x=-1，设M(-1，y1)，N(-1，y2)，其中y1y2=-4.于是直线MO的方程为：y=-y1x.将y=-y1x与y2=4x联立，可解得A( ， )同理得B( ， )于是直线AB的方程为 = +整理，得(y1+y2)y-4x+4=0.由 ，解得 故动直线AB恒过一个定点(1,0)解法2：抛物线C的准线方程为x=-1，设M(-1，y1)，N(-1，y2)，其中y1y2=-4.取y1=2，则y2=-2，可得M(-1,2)，N(-1，-2)此时直线OM的直线方程为y=-2x.联立y=-2x与y2=4x，解得A(1，-2)同理B(1,2)直线AB的方程为l1：x=1.再取y1=1，则y2=-4，同理可得A(4，-4)，B( ，1)，此时AB的方程为l2：4x+3y-4=0.直线l1与l2相交于点(1,0)下面验证对任意的y1，y2，当y1y2=-4时，动直线AB恒过定点(1,0)直线MO的方程为：y=-y1x.将y=-y1x与y2=4x联立，可解得A( ，- )同理得B( ，- )于是直线AB的方程为 = = .整理，得(y1+y2)y-4x+4=0.点(1,0)的坐标始终适合方程(y1+y2)y-4x+4=0，故动直线AB恒过定点(1,0)变式2(2010江苏泰州中学高模)过直线y=-1上的动点A(a，-1)作抛物线y=x2的两切线AP，AQ，P，Q为切点(1)若切线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，求证：k1，k2为定值；(2)求证：直线PQ过定点解析：(1)设过A作抛物线y=x2的切线的斜率为k，则切线的方程为y+1=k(x-a)，与方程y=x2联立，消去y，得x2-kx+ak+1=0.因为直线与抛物线相切，所以=k2-4(ak+1)=0，由题意知，此方程两根为k1，k2，故k1k2=-4，为定值(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由y=x2，得y=2x.所以在P点处的切线为y-y1=2x1(x-x1)由y1=x12，化简可得：2x1x-y-y1=0.同理，得在点Q处的切线方程为2x2x-y-y2=0.因为两切线的交点为A(a，-1)，故2x1a-y1+1=0,2x2a-y2+1=0.故P，Q两点都在直线2ax-y+1=0上，即直线PQ的方程为2ax-y+1=0.当x=0时，y=1，所以直线PQ经过定点(0,1)1熟练掌握求曲线方程的一般步骤：建系设点列方程化简验证2熟练掌握抛物线的定义与几何性质抛物线上的点到定点的距离与定直线的距离相等，顶点平分焦点与准线和对称轴交点所连的线段，通径为最短的焦点弦，等等3注重整体思想的应用，会采用“设而不求”的方法求点的轨迹方程(2010湖北卷)(本小题满分12分)已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有 若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由解析：(1)设P(x，y)(x0)是曲线C上的任意一点， 则依题意有 -|x|=1，(2分) 化简，得y2=4x(x0)(4分)(2)设过点M(m,0)(m0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)设l的方程为x=ty+m，由 ，消去x，得y2-4ty-4m=0.其中，=(-4t)2+16m0， .(6分)又 =(x1-1，y1)， =(x2-1，y2)，故由 0，得(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=(ty1+m)(ty2+m)-(ty1+m+ty2+m)+1+y1y2=(t2+1)y1y2+(mt-t)(y1+y2)+m2-2m+1=m2-6m+1-4t20，(8分)即不等式m2-6m+14t2对任意实数t均成立，于是m2-6m+1(4t2)min=0.解不等式m2-6m+10)，得3-2 m3+2 . (11分)由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B