小学数学总结-数字迷中的计数.doc

第九讲 数字迷中的计数加减法数字迷中常用的小技巧：黄金三角、等式两边数字和除以9余数相同。数字迷中的计数，经常用到枚举，需要熟练掌握枚举技巧，做到“有序分类、不重不漏”。一定审清题目，尤其是各个字母是否必须互不相同。第一单元：加减法竖式迷，第二单元：乘除法竖式谜，第三单元：横式数字迷。901、【第一单元1】右式中的a、b、c、d分别代表09中的一个数码，互不相同，并且满足a+b2(c+d)，被加数有几种可能？【难度级别】【解题思路】方法一：枚举b（或d），5b9互不相同，b+5必定进位，4个未知数3个方程，枚举b的取值（b+5必定进位），5b9，即可求解：b5，d0，a+52(c+0)，2ca+5，解得，35；b6，d1，a+62(c+1)，2ca+4，解得，26；b7，d2，a+72(c+2)，2ca+3，解得，c和d相同，弃；b8，d3，a+82(c+3)，2ca+2，解得，a首位非0，弃；b9，d4，a+92(c+4)，2ca+1，解得，弃；综上，被加数有2种：26、35。方法二：弃九法一次进位，弃一个9，所以a+b+5c+d+9，2(c+d)+5c+d+9，c+d4。拆分4：c+d1+3，无解；c+d3+1，31-526；c+d4+0，40-535。被加数有2种：26、35。【答案】2。902、【第一单元2】右式中的a、b、c、d分别代表09中的一个数码，互不相同，并且满足c+d2(a+b)，被减数有几种可能？【难度级别】【解题思路】方法一：枚举b(或d)，0b2互不相同，b-3必定借位，4个未知数3个方程，枚举b的取值（b-3必定借位），0b2，即可求解：b0，d7，c+72(a+0)，c2a-7，解得，60；b1，d8，c+82(a+1)，c2a-6，解得，51b2，d9，c+92(a+2)，c2a-5，解得，42。综上，被加减有3种：42、51、60。方法二：弃九法一次进位，弃一个9，所以c+d+3a+b+9，2(a+b)+3(a+b)+9，a+b6。拆分6：a+b1+5，15-312，数字重复；a+b2+4，24-321，数字重复；a+b4+2，42-339；a+b5+1，51-348；a+b6+0，60-357。被减数有3种：42、51、60。【答案】3。903、【第一单元3】如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，且没有零，则“美妙数学花园”代表的6位数有多少种情况？【难度级别】【解题思路】由20与“和”的4个“好”知道，“好”2。最小的3个数的和1+2+36，“妙”+“学”+“园”只能是15。，拆分20成3个数字的和：209+8+3，剩余数字：1、4、5、6、7，构造和15，154+5+6；209+7+4，剩余数字：1、3、5、6、8，构造和15，151+6+8；209+6+5，剩余数字：1、3、4、7、8，构造和15，153+4+8；208+7+5，剩余数字：1、3、4、6、9，构造和15，无解。综上，共3种，3个数字可以交换位置，每种，总计：3()108。【答案】108。904、【第一单元4】在下面的算式中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”代表19中的7个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立。则不同的填法共有多少种？【难度级别】【解题思路】1+2+945。和的数字和：2+0+0+68。加数的数字和(7个数字)：最小45-(8+9)28，最大45-(1+2)42。根据“和的数字和”与“加数数字和”对9同余，在2842之间，只有8+3935，即弃3个九，进位3次，百位、十位、个位各进位1次。显然，“第”1，其它的，16拆分成2个数字的和，只有169+7；剩余数字：1、2、3、4、5、6、8，只有93+64+5。2个数字可以交换位置，“十”+“华”3+6有8种，“十”+“华”4+5也有8种，共有8216种。【答案】16。905、【第一单元5】下面的竖式中，不同字母代表不同数字，相同字母代表相同数字，那么有多少种满足竖式的填法？【难度级别】【解题思路】金三角，a1，b0，e9，竖式变成如图。看十位的b-a，如果个位不借位，则fb-a10-19，与e9相同，与题意矛盾，所以个位一定向十位借位，则f10+b-1-a9-18。c被十位借位，c向千位借位，c-1+1088，c7。10+d-g8，g-d2，在剩余数字2、3、4、5、6中有4-25-36-42，d和g有3种取值情况。此题变成加法算式也可以，求解过程雷同。【答案】3。906、【第二单元1】右式是三位数与一位数相乘的算式,每个方格填入一个数字,使算式成立,那么有多少种不同的填法？ 【难度级别】【解题思路】方法一：枚举法1d9，d1、5、7、9，d2、3、4、6、8。d2，996；d3，664；d4，498；d6，332；d8，249。共5种。方法二：分解质因数d是1992的因数，1992383，d可以等于2、3、4、6、8，共5种。【答案】5。907、【第二单元2】在右边的式子中，不相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，满足条件的式子有多少个？【难度级别】【解题思路】先把汉字换成字母，容易看明白。B只能5或6。B5，5A+2A+10k，；B6，6A+3A+10k，5A10k-3，10k3不能被5整除，无解。满足条件的式子共有2个。【答案】2。908、【第二单元3】右边的竖式是2个三位数相乘，当取到最小值时，有多少种可能的值？ 【难度级别】【解题思路】最小100，e十位得不到1；101，e十位也得不到1；最小值为102。e十位需要进位1，所以e5、6、7、8、9；d十位不能进位，所以d1、2、3、4。有5420种可能的值。【答案】20。909、【第二单元4】在空白的方框中填入适当的数字，使竖式成立，有多少种可能的填法？【难度级别】【解题思路】把能填的先填上。商的十位是1，如图，红色的1、3、5可填。除数个位是3，与商的个位乘积后积的个位是5，所以商个位是5。5A+1个位是6，故A=1/3/5/7/9：A1时，51315+947789；A3时，53315+948089；A5时，55315+948389；A7时，57315+948689；A9时，59315+948989。共有5种填法。【答案】5。910、【第三单元1】将1、3、5、7、9填入等号左边的5个方框中，2、4、6、8填入等号右边的4个方框中，使等式成立，且等号两边的计算结果都是自然数，那么可以得到多少种计算结果？+【难度级别】【解题思路】方法一：枚举法，左右两边分别分析右边：842，剩余数字(2、6)组成的两位数是26、62，右边结果28、64；824，剩余数字(4、6)组成的两位数是46、64，右边结果50、68；623，剩余数字(4、8)组成的两位数是48、84，右边结果51、87；422，剩余数字(6、8)组成的两位数是68、86，右边结果70、88；左边：933，剩余数字(1、5、7)组成“+”是22、58、76，左边结果25、61、79；313，剩余数字(5、7、9)组成“+”是66、84、102，左边结果69、87、105；515，剩余数字(3、7、9)组成“+”是46、82、100，左边结果51、87、105；717，剩余数字(3、5、9)组成“+”是44、62、98，左边结果51、69、105；919，剩余数字(3、5、7)组成“+”是42、60、78，左边结果51、69、87；左右两边都有的计算结果是：51、87，就2种计算结果。如果问有多少种填法，则是：51有3种，87有2种，共3+25种。方法二：奇偶性分析左边，3个奇数相加，结果是奇数；右边是偶数，所以，必须是奇数。2、4、6、8只有623是奇数，剩余数字4、8组成的两位数有48、84，计算结果是：51、87，2种。左边有多种填法，构造一组即可，51+7+3951，51+3+7987。全部填法，51有3种，87有2种。【答案】2。911、【第三单元2】满足a +的式子（相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字）有多少个？【难度级别】【解题思路】先变成竖式，便于观察。a+b一定进位（否则十位的ba了），有：，得到2ac+9。看出c必须是奇数，对c枚举：c1，a5，b6，式子是5+5661；c3，a6，b7，式子是6+6773；c5，a7，b8，式子是7+7885；c7，a8，b9，式子是8+8997；c9，a9，相同了，舍弃。共有4个。也可以对a枚举：a5、6、7、8， b6、7、8、9， c1、3、5、7，有4组解。【答案】4。912、【第三单元3】从19中选8个数填入下面的横式，使等式成立，那么有多少种不同的填法？+10243【难度级别】【解题思路】先变成竖式，便于观察。一、先计算进位次数、不选的数字1+2+945，1+0+2+4+310，根据弃九，10+9k45-A。3645-A44，3610+9k44，k3，进位3次。10+9337，A45-378，从19中不选8。二、再分析进位进位3次，千位一定进位，百位一定进位（如果百位不进位，十位、个位都进位，百位的211，两个方框相加等于1，不可能），十位、个位有一个不进位、有一个进位。(1) 个位不进位，十位进位，只有1+23，剩余数字3,4,5,6,7,9只有一组解，(2) 十位不进位，个位进位，只有1+23，剩余数字3,4,5,6,7,9有两组解：共3组解，每组解中2个数字可以互换位置，不同填法共有：3(2222)48种。【答案】48。913、【第三单元4】一个四位数乘以4.5得到它的反序数，这样的四位数有多少个？【难度级别】【解题思路】位值原理，不定方程。4.5，992，9000a+900b+90c+9d2000d+200c+20b+2a，化简后，818a+80b10c+181d。显然a最大为2，a1、2。(1)a1时，看个位，d8，818+80b10c+1818，化简，8bc+63，1818、1998。(2)a2时，看个位，d6，8182+80b10c+1816，化简，8b+55c，无解。综上，这样的四位数有2个：1818、1998。【答案】2。914、【学案1】英文“HALLEY”表示“哈雷”，“COMET”表示“彗星”，“EARTH”表示“地球”。在下面的算式中，每个字母均表示09中的某个数字，且相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字。那么，有几种符合算式的填法？【难度级别】【解题思路】10个字母10个数字，一步一步分析。先求出H、T、Y显然H1。如果十位的E不被借位，则T0，那么YTYH，Y于H相同，不符合题意；所以十位的E被借位了，T9，YTH，10Y91，故Y0。看百位是否向千位借位(1)若百位不向千位借位R+ML-1，R+M+1L，剩下数字：2、3、4、5、6、7、8，2+3+16，L最小为6。1)若L6则R+M5，只有(R,M)(2,3)，千位上A+OL6，在剩下的4、5、7、8四个数字中，没有2个数字和为6，无解；2)若L7则R+M6，只有(R,M)(2,4)，千位上A+OL7，在剩下的3、5、6、8四个数字中，没有2个数字和为7，无解；3)若L8则R+M7，(R,M)(2,5)或(3,4)若(R,M)(2,5)千位上A+OL8，在剩下的3、4、6、7四个数字中，没有2个数字和为8，无解；若(R,M)(3,4)千位上A+OL8，在剩下的2、5、6、7四个数字中，268，则(A,O)(2,6)，最后剩下5、7，万位上E+CA+10，而5712，可以确定A2，O6，(E,C)(5,7)。由于E和C可以交换位置、R与M可以交换位置，所以填法有四个。(2)若百位向千位借位R+M10+L-1，R+M-9L，剩下数字：2、3、4、5、6、7、8，7+8-96，L最大为6；R+ML+9。1) 若L2则R+M11，(R,M)(3,8)或(4,7)或(5,6)，千位上A+O10+L-111。除了L2外剩下的3、4、5、6、7、8六个数字的数字和为33，R+M11、A+O11，3311211，所以必有E+C11，但万位上E+CA+9，可得A2，与L2矛盾；2)若L3则R+M12，(R,M)(4,8)或(5,7)，千位上A+O10+L-112；这时还剩下2、6，万位上E+CA+9，即26A+9，A无解；3)若L4则R+M13，(R,M)(5,8)或(6,7)，千位上A+O10+L-113；这时还剩下2、3，万位上E+CA+9，即23A+9，A无解；4)若L5则R+M14，(R,M)(6,8)，千位上A+O10+L-114；而在剩下的2、3、4、7四个数字中，没有2个数字和为14，无解；5)若L6则R+M15，(R,M)(7,8)，千位上A+OL-15，则(A,O)(2,3)；这时还剩下4、5，万位上E+CA+9，即45A+10，A无解；【答案】4。915、【学案2】在右边的式子中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，满足条件的式子有多少个？【难度级别】【解题思路】先把汉字换成字母，容易看明白。C，位置原理，(10A+B)C100B+10A+C，C(B-1)+10A(C-1)100B，所以，10|C(B-1)，C0，。(1)C5时，5(B-1)+40A100B，8A19B1，无符合题意的解。(2)B1时，A(C-1)10，有2组解：，；513153，216126。(3)B6时，5C+10A(C-1)600，2A(C-1)+C120，此处主要思考A(C-1)的大小；因为0C10，所以1102A(C-1)120，有55A(C-1)60；只有56满足,A(C-1)5678。若A8则C-17，C8，A、C相同，矛盾；所以A7，C-18，C9，但是256+C120，得到C8，矛盾。B6时，无解。【答案】2。916、【学案3】横式中每一个都代表一个数字，那么有多少种满足等式的填法？+【难度级别】【解题思路】提供两种方法。方法一、变竖式，加数百位填8或9，根据十位进位情况考虑假设个位上的三个数字从上而下分别是a、b、c。(一) 百位填8十位必须向百位进位2，十位也必须是9918，而且个位也必须向十位进位2。十位是：18220，百位是：8210，这样百位、千位固定，只需要分析个位即可。个位20a+b+c27，a0。1) a+b+c27，9+9+9，1种；2) a+b+c26，9+9+8，3种；3) a+b+c25，9+9+7、9+8+8，336种；4) a+b+c24，9+9+6、9+8+7、8+8+8，3+110种；5) a+b+c23，9+9+5、9+8+6、9+7+7、8+8+7，3+3+315种；6) a+b+c22，9+9+4、9+8+5、9+7+6、8+8+6、8+7+7，3+3+321种；7) a+b+c21，9+9+3、9+8+4、9+7+5、9+6+6、8+8+5、8+7+6、7+7+7，3+3+3+128种；8) a+b+c20，9+9+2、9+8+3、9+7+4、9+6+5、8+8+4、8+7+5、8+6+6、7+7+6，3+3+3+336种；共有：1+3+6+10+15+21+28+36120种。(二) 百位填9，十位进1百位、千位固定，十位10d+e+k19，d0，k为个位向十位的进位，k0、1、2，当d+e18时k2。个位不进位，k0，1a+b+c9，10d+e18，、，、，、，、，、，、；有1+2+3+945个。、，、，、，、，、，；有9+8+7+2+1个。、，、，、，、，；有8+7+2+1个。、，；有2+1个。；有1个。共有：19+28+37+46+55+64+73+82+91165个。此情况有：451657425。个位进1，k1，10a+b+c19，9d+e18、，、，、，、，、；、，、；有2+3+4+1054个。，、，、，、，、，、，、；有(1+2+3+4+9+10)个。、，、，、，、，、，、；有(2+3+4+9+10)+(9)个。有(3+4+9+10)+(9+8)个。有(4+9+10)+(9+8+7)个。、，、，、；有(9+10)+(9+8+2)个。共有：11+22+99+910+(89+78+12)375+240615。此情况有：5461533210。个位进2，k2，20a+b+c27，8d+e17、，、，、，、；、，、；、，、；有3+4+9+10+961个。20a+b+c27，有120种。此情况有：611207320。(三) 百位填9，十位进2百位、千位固定，个位20a+b+c27，有120种。综上，共有：120+(7425+33210+7320)+12048195。方法二、根据三位数的取值范围考虑，归为4种情况还是看横式：+，三位数最小为：1000-99-9892，从892999共108个数，枚举找规律，分为4种情况。(一) 三位数为892900时892：9+99，1种；893：9+99、9+98、8+99，1+23种；894：9+99、9+98、9+97、8+99、8+98、7+99，1+2+36种；900：1+2+3+945种。(二) 三位数为901981时901：2+3+4+9+101292种；902：3+4+5+10+111492种；903：4+5+6+11+121692种；981：82+83+84+9017292种。(三) 三位数为982988时982：(83+84+85+86+87+88+89+90)+(90)909-(1+2+3+4+5+6+7)种；983：(84+85+86+87+88+89+90)+(90+90)909-(1+2+3+4+5+6)种；984：(85+86+87+88+89+90)+(90+90+90)909-(1+2+3+4+5)种；988：(89+90)+(90+90+90+90+90+90+90)909-(1)种；(四) 三位数为989999时989：(90)+(90+90+90+90+90+90+90+90)909种；每一个都有909种，共11个909。计算总数将第一部分的前7项与第三部分结合计算，共7个909；然后再与第四部分结合，共7+1118个909，即9091814580种。这样，第一部分剩下364581种；第二部分(12+14+16+172)9233534种。全部合计共有：14580+81+3353448195种。【答案】48195。917、【作业1】满足这个竖式的填法一共有多少种？【难度级别】【解题思路】金三角，10-9。差的十位是：(5-1+10)-59。假设个位从上而下是a、b，因个位要向十位借位，ab。b1时，a0，1个；b2时，a0、1，2个；b3时，a0、1、2，3个；b4时，a0、1、2、3，4个；b5时，a0、1、2、3、4，5个；b6时，a0、1、2、3、4、5，6个；b7时，a0、1、2、3、4、5、6，7个；b8时，a0、1、2、3、4、5、6、7，8个；b9时，a0、1、2、3、4、5、6、7、8，9个；共有：1+2+3+9=45种。【答案】45。918、【作业2】把19各一个填入竖式的方框中，使其成立，那么有多少种填法？【难度级别】【解题思路】1+2+3+945，9+9+927，45-271892。发生2次进位，发生在个位、十位上。个位3个数字和19，十位3个数字和18，百位3个数字和8。分解8，81+3+41+2+5。位百位十位个位数字和81819(1,3,4)(5,6,7)(2,8,9)(2,7,9)(5,6,8)(1,2,5)(4,6,8)(3,7,9)(3,7,8)(4,6,9)(3,6,9)(4,7,8)一组解中的3个数字可以交换位置，()51080。【答案】1080。919、【作业3】右式是三位数与一位数相乘的算式，每个方格填入一个数字，使算式成立，那么共有_种不同的填法。【难度级别】【解题思路】假设乘数为a，则3a9。方法一、枚举，尝试(1) a4，被乘数为32044801；(2) a5，积个位是4，不是5的倍数，a5； (3) a6，被乘数为32046534；(4) a7，204-7197不是7 倍数，a7；(5) a8，204不是8的倍数，a8；(6) a9，被乘数为32049356。共有3种不同的填法。方法二、分解质因数320489，3a9，a4、6、9，有3种。【答案】3。920、【作业4】满足右边竖式的六位数有多少个？【难度级别】【解题思路】整体考虑，设A，则f。10A+f为所求。用位置原理拆开等式f，可以得到关于A、f的不定方程，可求解。f100000f+A，10f1000000f+10A+f-f，10f1000000f+-f，(10f-1)1000000f-f，将19带入f得到结果。当f1时，111111；当f4时，102564；f为其他值时无整数解。【答案】2。921、【作业5】在写好的123456789这9个数字中间的8个空隙中填上加号或减号，使计算结果等于27，那么有多少种填法？【难度级别】【解题思路】解法一，算术方法如果都是加号，和应该是45，结果是27，说明减了(45-27)29，由于1前面不会有减号，所以92+73+64+52+3+4，有5种放置减号的方法。解法二、方程设前面放“+”的数字总和为A、前面放“-”的数字总和为B，则，解得。讨论B9的分拆(注意1前面不能是减号)：(1)拆成1个数之和，99，1种；(2)拆成2个数之和，92+73+64+5，3种(3)拆成3个数之和，92+3+5，1种；4个数之和最小1+2+3+4109。共有：1+3+15种。【答案】5。922、【作业6】从19这9个数字中选出8个数填入式子中，使等式成立，有多少种填法？-1111【难度级别】【解题思路】变成竖式。因为没有0，所以不存在10-91的情况，也就是说每个数位上，都是相邻的2个数相减；相邻是一奇一偶，所以共4奇4偶，弃掉1个奇数。弃掉的数可能是1、3、5、7、9五种情况：弃1：剩下8个组成4组相邻数(3,2)、(5,4)、(7,6)、(9,8)，数位可以不同，；弃3：剩下8个组成4组相邻数(2,1)、(5,4)、(7,6)、(9,8)，数位可