高中数学 精讲优练课型 第二章 平面向量 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义课件 新人教版必修4.ppt

2 4平面向量的数量积2 4 1平面向量数量积的物理背景及其含义 知识提炼 1 平面向量数量积的定义 a b cos a b a b a b cos 0 2 向量的数量积的几何意义 1 投影的概念 b在a的方向上的投影为 a在b的方向上的投影为 2 数量积的几何意义 数量积a b等于a的长度 a 与 的乘积 b cos a cos b在a的方向上 的投影 b cos 3 向量数量积的性质设向量a与b都是非零向量 它们的夹角为 1 a b 2 当a b时 a b 3 a a 或 4 cos 5 a b a b 当a b同向时 当a b反向时 a b 0 a b a b a 2 4 向量数量积的运算律 1 a b 交换律 2 a b 结合律 3 a b c 分配律 b a a b a b a c b c 即时小测 1 思考下列问题 1 两个向量的数量积仍然是向量吗 提示 不是 两个向量的数量积是数量 2 设a与b的夹角为 cos 0 a b 0对吗 提示 正确 因为cos 0 故a b 0 2 若 m 4 n 6 m与n的夹角为45 则m n a 12b 12c 12d 12 解析 选b m n m n cos45 4 6 cos45 24 12 3 已知 a 4 e为单位向量 它们的夹角为 则a在e方向上的投影是 e在a方向上的投影是 解析 a在e方向上的投影为 a cos e在a方向上的投影为 e cos 答案 2 知识探究 知识点1平面向量的数量积的概念及其几何意义观察如图所示内容 回答下列问题 问题1 向量的数量积是数量 其数值可正 可负 可为零 其决定因素是什么 问题2 向量数量积a b中 能否省去 总结提升 对数量积概念的两点说明 1 从定义上看 两向量的数量积是一个数量 而不是向量 其数值可正 可负 可为零 其决定因素为两向量的夹角 2 从运算上看 两向量a b的数量积称作内积 写成a b 其中 是一种运算符号 不同于实数的乘法符号 不可省略 知识点2平面向量数量积的几何意义观察图形 回答下列问题 问题1 a在b的方向上的投影与b在a的方向上的投影相同吗 问题2 向量b在向量a上的投影是数量 还是向量 总结提升 理解数量积的几何意义要关注的三点 1 a b等于 a 与b在a方向上的投影的乘积 也等于 b 与a在b方向上的投影的乘积 其中a在b方向上的投影与b在a方向上的投影是不同的 2 b在a方向上的投影为 b cos 是a与b的夹角 也可以写成 3 投影是一个数量 不是向量 其值可正 可负 也可为零 题型探究 类型一向量数量积的运算 典例 1 已知a与b的夹角为 150 且 a 3 b 4 则 1 a b 2 a b 2 3 a b a 2b 2 设正三角形的边长为 求a b b c c a 解题探究 1 典例1中求数量积问题的关键是什么 提示 求数量积的关键是确定向量的模及向量的夹角 2 典例2中a与b b与c c与a的夹角为多少 提示 a与b b与c c与a的夹角均为120 解析 1 1 a b a b cos150 6 2 a b 2 a 2 2a b b 2 25 12 3 a b a 2b a2 a b 2b2 9 6 32 23 6 答案 1 6 2 25 12 3 23 62 因为三角形为等边三角形 所以 a b c 且a与b b与c c与a的夹角均为120 a b b c c a cos120 3 方法技巧 向量数量积的求法 1 求两个向量的数量积 首先确定两个向量的模及向量的夹角 其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键 2 根据数量积的运算律 向量的加 减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算 变式训练 2015 山东高考 已知菱形abcd的边长为a abc 60 则 解析 选d 由菱形abcd的边长为a abc 60 得 bcd 120 abd 30 在 bcd中 由余弦定理得bd a 所以 补偿训练 已知 a 4 b 5 当 1 a b 2 a b 3 a与b的夹角为60 时 分别求a与b的数量积 解题指南 a b时其夹角为0 或180 a b时其夹角为90 将两向量的模及夹角代入数量积公式计算即可 解析 1 因为a b 若a与b同向 则 0 所以a b a b cos0 4 5 20 若a与b反向 则 180 所以a b a b cos180 4 5 1 20 2 当a b时 90 所以a b a b cos90 0 3 当a与b夹角为60 时 a b a b cos60 4 5 10 类型二与向量模有关的问题 典例 1 已知 a b 5 向量a与b的夹角为 则 a b a b 2 2015 福州高一检测 已知向量a与b夹角为45 且 a 1 2a b 则 b 解题探究 1 典例1中 要求 a b 和 a b 应先求什么 提示 先分别求 a b 2 a b 2 将模的计算转化为数量积的问题 2 典例2中条件 2a b 如何变形可以将a与b的夹角 a 和 b 联系起来 提示 将 2a b 两边平方可得 2a b 2 10 展开后可以将a与b的夹角 a 和 b 联系起来 解析 1 因为a2 a 2 25 b2 b 2 25 a b a b cos 5 5 cos所以 a b 答案 2 因为 2a b 所以 2a b 2 10 所以4a2 4a b b2 10 又因为向量a与b的夹角为45 且 a 1 所以4 a 2 4 a b cos45 b 2 10 故4 12 4 1 b b 2 10 整理得 b 2 2 b 6 0 解得 b 或 b 3 舍去 答案 延伸探究 1 变换条件 若把典例1条件 a与b的夹角为 改变为 a与b的夹角为 则结果如何 解析 方法一 因为a2 a 2 25 b2 b 2 25 a b 0 所以方法二 若a与b的夹角为 所以以a与b为邻边的平行四边形为正方形 所以 a b a b 2 改变问法 典例1在条件不变的情况下 求的值 解析 方法技巧 求向量的模的常见思路及方法 1 求模问题一般转化为求模平方 与向量数量积联系 并灵活应用a2 a 2 勿忘记开方 2 a a a2 a 2或 a 此性质可用来求向量的模 可以实现实数运算与向量运算的相互转化 3 一些常见的等式应熟记 如 a b 2 a2 2a b b2 a b a b a2 b2等 补偿训练 已知x 1是方程x2 a x a b 0的根 且a2 4 a与b的夹角 为120 求 1 向量b的模 2 向量 b的模 解析 1 因为a2 4 所以 a 2 4 即 a 2 把x 1代入方程x2 a x a b 0 得1 a a b 0 所以a b 3 所以a b a b cos 2 b cos120 3 所以 b 3 2 由 1 知 b 3 b b 3 类型三两个向量夹角和垂直问题 典例 1 已知 a 1 b 4 a b a 2b 29 则a与b的夹角 2 已知非零向量a b满足a 3b与7a 5b互相垂直 a 4b与7a 2b互相垂直 求a与b的夹角 解题探究 1 典例1中 若求a与b的夹角 还需要什么 提示 需要利用 a b a 2b 29 求出a b 2 典例2中 a 3b与7a 5b互相垂直 a 4b与7a 2b互相垂直能得出哪些结论 提示 可以得出 解析 1 因为 a b a 2b a 2 a b 2 b 2 1 a b 32 31 a b 所以 31 a b 29 所以a b 2 所以cos 又因为0 所以 答案 2 由已知条件得即 得23b2 46a b 0 所以2a b b2 代入 得7a2 8b2 15b2 0 整理得a2 b2 所以 a b 所以cos 因为0 所以 延伸探究 将典例1中条件改为 a 1 b 4 a与b的夹角为120 且a kb与a 2b互相垂直 求k的值 解析 由a kb与a 2b垂直 则 a kb a 2b 0 即a2 2kb2 k 2 a b 0 由题意得1 32k 2 k 2 0 解得k 方法技巧 求向量a与b的夹角的思路 1 求向量夹角的的关键是计算a b及 a b 在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos 最后借助 0 求出 的值 2 在个别含有 a b 与a b的等量关系式中 常利用消元思想计算cos 的值 变式训练 2015 重庆高考 若非零向量a b满足且 a b 3a 2b 则a与b的夹角为 解题指南 解答本题可以根据相互垂直的向量的数量积为零进行计算 然后求出夹角 解析 选a 设a与b的夹角为 因为 a b 3a 2b 所以 a b 3a 2b 3 a 2 2 b 2 a b解得cos 因为 0 所以 补偿训练 设n和m是两个单位向量 其夹角是60 求向量a 2m n与b 2n 3m的夹角 解析 由 m 1 n 1 其夹角为60 得m n 因为所以a b 2m n 2n 3m m n 6m2 2n2 设a b的夹角为 则cos 因为0 180 所以a b的夹角为120 易错案例数量积的运算 典例 2015 南昌高一检测 在 abc中 已知 a 120 ab ac 1 则 失误案例 错解分析 分析解题过程 你知道错在哪里吗 提示 对向量夹角的概念不明确 求错夹角导致数量积运算错误 自我矫正 过点a作ad bc 垂足为d 因为