简介高等几何.doc

毕业论文（设计）论文题目：浅谈高等几何学生姓名：刘刚学 号：0905010220所在院系：数学与计算科学系专业名称：数学与应用数学专业届 次：2013届指导教师：向伟淮南师范学院本科毕业论文（设计）诚信承诺书1.本人郑重承诺：所呈交的毕业论文（设计），题目 是本人在指导教师指导下独立完成的，没有弄虚作假，没有抄袭、剽窃别人的内容； 2.毕业论文（设计）所使用的相关资料、数据、观点等均真实可靠，文中所有引用的他人观点、材料、数据、图表均已注释说明来源； 3.毕业论文（设计）中无抄袭、剽窃或不正当引用他人学术观点、思想和学术成果，伪造、篡改数据的情况； 4.本人已被告知并清楚：学院对毕业论文（设计）中的抄袭、剽窃、弄虚作假等违反学术规范的行为将严肃处理，并可能导致毕业论文（设计）成绩不合格，无法正常毕业、取消学士学位资格或注销并追回已发放的毕业证书、学士学位证书等严重后果； 5.若在省教育厅、学院组织的毕业论文（设计）检查、评比中，被发现有抄袭、剽窃、弄虚作假等违反学术规范的行为，本人愿意接受学院按有关规定给予的处理，并承担相应责任。 学生（签名）： 日期： 年 月 日目 录1 仿射坐标与仿射变换21.1 透视仿射对应21.2仿射对应与仿射变换31.3仿射坐标52 射影平面72.1射影直线和射影平面72.2无穷远元素82.3 射影直线与射影平面92.4 对偶原理113 射影变换与射影坐标133.1 点列与线束的交比和调和比133.2一维基本形的射影对应153.3 二维射影变换153.4 有关二维射影变换的求法16参考文献：18淮南师范学院2013届毕业论文浅谈高等几何学生：刘刚 （指导老师：向伟）（淮南师范学院数学与计算科学系）摘要：，在高等师范院校数学专业的三门基础课程之中，高等代数、高等几何、数学分析统称“三高”。但是，与其他两门课相比，高等几何在数学专业中的地位就远远落后了。其原因有很多方面，不过其中一个很重要的原因是：高等几何的内容，大多是19 世纪遗留下来的产物，太陈旧了，跟不上时代发展的步伐。因此，多年来我们在高等几何课的教学过程中，不断地在探索这门课程内容的改革途径。高等几何主讲的仿射几何和欧式几何的推广，内容丰富，具有基本概念多、习题类型广、技巧性强等特点。学习高等几何不仅可以培养和提高学生的空间想象力，还可以提高学生的抽象思维能力。关键字：高等几何；仿射几何；欧式几何。On Higher GeometryStudents: Liu Gang (Instructor: Xiang Wei)(Huainan Normal University, Department of Mathematics and Computer Science)Abstract In Normal Colleges of three basic mathematics curricula, advanced algebra, advanced geometry, mathematical analysis referred to as three high. However, compared with the other two classes, higher geometry in mathematics professions position is far behind. The reasons are many ways, but one very important reason: the content of higher geometry, mostly legacies of the 19th century, is too old to keep up with the pace of development. Thus, over the years we Teaching Higher Geometry course, continue to explore the contents of this course Approaches to Reform. Speaker of Higher Geometry affine geometry and European promotion, rich in content, with the basic concepts of many types of exercises broad skills and other characteristics. Learning Higher Geometry can not only cultivate and improve students spatial imagination, but also can improve students ability to abstract thinking.Keyword：Higher Geometry；Affine geometry；Continental geometry.1 仿射坐标与仿射变换1.1 透视仿射对应定义1 对于a和a是平面不平行的两条直线，设l为平面上一条直线，通过直线a上的诸点A，B，C，D，作l的平行线，交a于A，B，C，D，这样便定义了直线a到a的一个映射。称为透射仿射(平行射影)，a上的点为原象点，a上的点为象点，l为平行射影的方向，记这个透射仿射为T，则写A=T(A)。 图1 透射仿射。有了以上的定义后，我们来观察一种较常见的几何变形平面到平面的透射仿射。如下图所示，设与为空间中的两个平面，l是跟这两个平面都不平行的方向(向量)。平面上的直线a，对过直线上的点A作平行于l的直线交平面于点A，用同样的方法可做出点B和点C的对应点B，C。于是便建立了平面到的对应关系。称为到依方向l的透射仿射。图2 射影。根据初等几何的知识，我们很容易可以验证这种平行投影具有以下的性质。（1）与之间的点建立一一对应关系，即上的点通过变换成为上点；上的直线变成了上的直线； （2）若一个点A在l上，则A的对应点A也应在l的对应直线l上；（3）上平行的两直线变到上的两条直线也是平行的； （4）直线上的三点的“单比(简比)”保持不变，也就是如果A,B,C是上共线的三点，A，B，C分别是它们的象点，则。我们把（1）称为透射仿射具有同素性，把满足（2）称为透射仿射具有结合性。 而满足（3）则称为透射仿射具有平行性。这是二平面间的透射仿射变换的概念和一些性质，利用此可以建立仿射变换的概念。1.2仿射对应与仿射变换定义2 如果有1，2，n+1个平面且i和i+1(i=1，2，n)两个平面间建立透射仿射变换，就形成了一个透射仿射变换链，最初一个平面1和最后一个平面n+1之间的一一对应就叫仿射变换。所以仿射变换是由组成它的透射仿射变换来决定的，也就是说，透射仿射变换是特殊的仿射变换。仿射变换应该是有限次透射仿射变换的乘积。如果平面与平面n+1重合，则到的仿射对应叫做平面到自身的仿射变换。由上述可知，透射仿射变换和仿射变换是有区别的：1、 透射仿射变换的对应点连线相互平行的，而在一般情况下，仿射变换的对应点的连线是不平行的。当1/2/n+1或是1，2，n+1共线时，1到n+1的对应点的连线是平行的。2、 二平面的透射仿射变换，当两平面相交时，其交线为自对应轴，也就是说，交线上的每个点都是自对应的。而两平面的仿射变换一般没有自对应轴。仿射几何是研究仿射不变性和仿射不变量的学科。所谓仿射不变性和不变量是指：（1）图形经过仿射变换后不改变的性质。也有称之为仿射性。（2）图形经过仿射变换后不改变的量，称为仿射不变量，或叫做仿射量。根据仿射的定义可知到，同素性，结合性是最基本的仿射不变性，而共线三点的单比不变则是最基本的仿射不变量。定理1 二直线间的平行性是仿射不变性。证明：设a，b是平面内的两条平行线，a，b是它们在平面内的仿射映象，因此只需证明a/b。图3 仿射映像。若a与b不平行，则在平面中必相交于一点P，且使P是P的原象点，那么由于仿射保留结合性，点P应该既在a上又在b上，既是说a和b是相交而不是平行，矛盾！所以a/b，所以命题成立。于是进一步可知：推论1.1 平行四边形是仿射不变图形。因为两组对边分别平行，通过仿射变换后也应该是分别互相平行。推论1.2 两直线的相交性是仿射不变性。推论1.2.1 共线的直线经过仿射变换后任变成共点的直线。推论1.2.2 梯形是仿射不变图形。例1 线段的中点具有仿射不变性。证明：设C是线段AB的中点，且在仿射变换下，AA，BB，CC。由仿射变换保结合性，故C在直线AB上，又因为共线三点的单比是仿射不变量，于是有，即C任是AB的中点。所以，线段的中点具有仿射不变性。定理2 两平行线段之比是仿射不变量。在此用综合法来证明。证明：如下图，已知AB/CD，经过仿射变换后，AB的象为AB，CD的象为AB，下证。图4 仿射不变量。由于仿射变换保持结合性，可知AD的象为AC。作 BE/CD于E则ABCD为平行四边形，AB/CDAC/BE。若E的对应为E，由结合性可知，E在CD上。BE的象为BE。由仿射变换保平行性，可知AC/BE。由AB/CD，可知AB/CD，即AB/CE。ABEC为平行四边形。AB=CE。又（DEC）=DEC）。而EC=BA。即。推论2.1 证明一条直线上两线段的比是仿射不变量。证明：如下图，直线l有两线段AB和MN，而 (ABM)和(BNM)是仿射不变量图5 线段不变量。也是不变量。1.3仿射坐标 定义3 笛氏坐标系在仿射对应之下的象叫做仿射坐标系。在此引入仿射变换的代数形式：对于笛氏坐标系的点P（x，y）,通过仿射变换T后，在仿射坐标系的象为P（x，y），其中其中满足条件。定理3 两个三角形面积之比是仿射不变量。推论3.1 两个平行四边形面积之比是仿射不变量。推论3.2 两个封闭图形面积之比是仿射不变量。 仿射变换的反射不变性和不变量及其一些性质使一些一般性问题的解决可以通过仿射变换，变成特殊情形处理，使之以解决。下面举例说明仿射变换在初等几何中的应用。例2 三角形两边的中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半。分析：ABC是等边三角形，E、F分别是AB，AC的中点，很容易知道EF/CD，且。图6 面积不变量。对于任何的三角形，存在一个仿射变换T使AA，BB，CC，而仿射变换中，E的象为E，F的象为F，分别是AB，AC的中点，又由仿射变换的平行性和保平行线段之比不变，因此EF/BC，且。类似的，我们可以得到另一个结论：若四边形两组对边的交点的连线与四边形的一条对角线平行，那么，另一条对角线的延长线平分上述的连线。从上述可以看到，在初等几何的几何图形了仿射变换后，一般来说，图象都有了变化，但有部分性质和某些量是保持不变的，同素性决定了变换的本质，结合性规定了变换后的位置关系，而仿射单比不变确定了平行线段以及面积通过变换后的 度量关系，这些仿射不变性和不变量在仿射几何的研究中是非常重要的，同时为初等几何的一些问题的解决（比如求解和证明）提供了一种新的方法，有时使问题的解决变得更直观和快捷。比如可以通过圆到椭圆的仿射对应推导出椭圆的外切四边形对边切点连线与两对角线四线共点（证明略）。在仿射变换的讨论中，我们要注意的是角是没有仿射不变性的，同样角平分线也不具有仿射性的。2 射影平面 2.1射影直线和射影平面2.1.1直线与直线间的中心射影设，是共面二直线，点是此平面内与外任一点。若与上任一点之连线交于。则我们定义：，定义1 叫做点从投影到上的中心射影下的对应点。叫做投射线，叫做投射中心，简称射心。图7 中心射影。显然也是在上以为射心的中心射影下的对应点。取不同的射心，就得到不同的中心射影。如果与相交与点，则位自对应点，如图7 。在欧氏平面上，中心射影不能建立两直线上点之间的一一对应。如果上的一点使平行于，则的对应点将不存在。同样在上也有一点，使平行于，所以在上的对应点也不存在。我们将与分别称为与上的影消点。2.1.2平面与平面之间的中心射影设与是二平面，点是平面外一点，若与上任一点之连线交与。则我们定义：图8定义2 叫做 点从投影到平面的中心射影下的对应点。叫做投射线，叫做投射中心，简称射心。显然也是在上以为射心的中心射影下的对应点。图8 中心射影对应点。可以看出在中心射影下平面内的一直线对应平面上的直线。当与相交时，其交线为自对应直线，其上的每一点都是自对应点。同样，平面到平面的中心射影也不能建立两平面点之间的一一对应。如图8，如果平面上的一点与的连线平行于平面，那么在上的对应点便不存在，我们也称点为影消点。若通过作与平行的平面交平面于直线。则直线在上的对应直线也不存在，我们称直线为影消线。类似的可以定义平面上的影消点与影消线。显然，影消点的轨迹是影消线。2.2无穷远元素为了使中心射影是一一对应，我们必须将欧氏平面加以扩拓广。所以我们引进了无穷远元素。为此约定，这约定是我们欧氏平面里的概念决不矛盾。约定 在平面内对于任何一组平行线引入唯一一点叫做无穷远点，此点在组中每一直线上而不在此组之外的任何直线上。无穷远点记以，为区别起见，平面上原有的点称非无穷远点或普通点。由此可以证明空间里的一组平行线只有一公共点，即这组直线上的无穷远点。一平面内直线的方向有无穷多，所以平面内的无穷远点也有无穷多，由于每一点直线上只有一个无穷远点，所以平面上无穷远点的轨迹应该与此平面上每一条直线只有一个交点，因此约定：约定二 一平面内一切无穷远点的集合组成一条直线叫做无穷远直线。无穷远直线记作，为区别起见，平面内原有的直线叫做非无穷远直线或普通直线。无穷远直线实际上是三维空间中平行平面的交线。空间里有无数多个方向，因此有无数多个无穷远点，这些无穷远点的轨迹与每个平面既然相交于一条无穷远直线，因此约定：约定三 空间里一切无穷远点的集合组成一个平面叫做无穷远平面。无穷远平面可记以，为了区别起见，空间里的原有平面叫做非无穷远平面或普通平面。定义3 无穷远点，无穷远直线，无穷远平面统称为无穷远元素。平面上的无穷远元素为无穷远点与无穷远直线。2.3 射影直线与射影平面定义4 在欧氏直线上添加了一个无穷远点以后，便得到一条新直线，我们将它叫做仿射直线。图9 仿射直线。图9 是仿射直线的模型。同样地，将此概念加以推广即可得到仿射平面的概念。定义 5 欧氏平面上添加一条无穷远直线即得到仿射平面。图 10 是欧氏空间中的仿射平面的模型。图图 10 仿射平面。设有以为球心的球面，过球心作平面交球面于大圆，我们规定：半球面为仿射平面，大圆上的点为无穷远点，且通过的大圆的每一直径的两个端点当作一个无穷远点，半球面上的其它点为非无穷远点。大圆为无穷远直线。半球面上的大圆孤为普通直线，相交于上同一点的半大圆孤就是平行直线。如果平面与半球面相切，且平面与平面平行，就可以建立上的点与平面上的点之间的一一对应。设为上的任一点，直线交与，令对应为,则是的点与平面的点之间的一一对应，这个一一对应使得大圆（即上的无穷远直线）对应上的无穷远直线。定义 6 如果把仿射直线上的非无穷远点与无穷远点同等看待而不加区分，那么这条直线就叫做射影直线。图 11 射影直线 。射影直线是可以看作是封闭的，因此欧氏平面上的圆常看作射影直线的模型。如图11.将射影直线的概念加以推广，就可以得到射影平面的概念。定义 7 在仿射平面上，如果对于普通元素和无穷远元素不加区分，即可得到射影平面（二维射影空间）。射影平面也是封闭的。我们可以作一个默比乌斯带，它是射影平面的一部分。如图 12. 图 12 二维射影空间。把长方形带纽转，使与粘合，与粘合，这样所得的带的边界是一条封闭的曲线。从带上任一点出发，平行于边界移动，不越边界能移到该点所在带子的背面，所以它是单侧曲面，分不出正反面，如果把默比乌斯带的两个同样的边界都粘合起来，就可以得到射影平面，它是封闭的单侧曲面。但在欧氏空间里，我只能看到射影平面的一部分，如图 6 在欧氏直线上添加了一个无穷远点以后便得到了一条新的直线，我们把它叫做仿射直线。如果将仿射直线上的有穷远点与无穷远点同等看待而不加区分，则这条仿射直线就叫做射影直线。反过来，如果在一条射影直线上任取一个特定点叫做无穷远点，而将其余的点叫做有穷远点，这样的射影直线就是仿射直线，如果在仿射直线上再去掉这个无穷远点，就成为通常的欧氏直线了。2.4 对偶原理定义1 （对偶命题）假设一个命题由点和直线构成，如果把命题中的各个元素换成它的对偶元素，各个运算换成它的对偶运算，这样形成了一个新的命题，这两个命题就叫做对偶命题.例如“两条直线相交于唯一点”与“两点能连接唯一直线”是一个对偶命题。定义2 （对偶元素）在平面射影几何中，我们将“点”和“线”称为平面上的对偶元素。定义3 （对偶运算）“过一个点作一条直线”与“在一条直线上取一个点”称作对偶运算。定义4 （对偶图形）假设有点和直线组成的一个图形，将此图的各个元素改为它的对偶元素，各个运算改为它的对偶运算，结果得到了另一个新的图形，我们把得到的这个图形就叫做对偶图形。例如点列和线束就是对偶图形。定义5 （对偶概念）点列和线束，三线共点和三点共线，均为对偶关系，类似这样成对出现的概念叫做对偶概念。对偶原理 设有点，直线及其相互结合与顺序关系所构成的一个命题，将此命题中的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，其结果形成一个命题，则这两个命题叫做平面对偶命题。对偶原理则是说：在射影平面里，如果一个命题成立，则对偶命题也成立。例1 假设在三角形和中，各个顶点的齐次坐标分别是。直线共点于的交点是的交点是的交点是。求证：P,R,Q共线。证明：因为S在直线上，所以可以用线性表出，则有。又因为S在直线上，则有。又有 。 由以上可得： 上述三式相加得， 。即P,R,Q共线命题得证。3 射影变换与射影坐标3.1 点列与线束的交比和调和比（1）关于交比的定义定义（4.2）把交比定义为两个单比的比，即共线四点A，B，C，D的交比定义为两个单比（ABC）和（ABD）的比，表为(AB,CD)=.。交比也称复比，即两个单比之比的意思.这种定义可称为几何定义.交比还有另一种定义，即代数法定义：设四个不同的共线点A，B，C，D的坐标顺次为A，B，A+1B，A+2B。则 (AB，CD)=。关于交比的定义，要注意以下问题： A，B，C，D四点必须共线，而且要考虑顺序，顺序不同则交比不同； AC，BD，BC，AD都是有向线段的代数长，因而交比（AB，CD）是个数值.；（2）交比的性质由于A，B，C，D四个点的编排顺序不同，所得的交比也不同，共线四点可以组成24种编排顺序，因而可以有24个交比值.由交比的性质原理可知，对于每个排列，还有另三种排列，它们的交比等于已知排列的交比，因此，这24种排列所产生的交比值，实际上只有6类，并且在24个排列中，只要求出1个交比值，就可求出其它23个交比值。例如，已知（AB，CD）=3，则可知（DC，BA）=（BA，DC）=（AB，CD）=3.而（AC，BD）=1（AB，CD）= 2。（3）几个特殊的交比共线四点A，B，C，D中，设A，B，C是固定点，第四点D沿直线移动.可以证明，点D在直线上的每个位置都对应一个确定的交比（AB，CD）的值.点D的不同位置对应不同的交比值，不然的话，假设点D和D在两个不同的位置，且有（AB，CD）=（AB，CD）。则 。因而（ABD）=（ABD）。这只有在D = D时，等式才成立，因此，（AB，CD）的每个值，对应点D的一个确定的位置。当这四个点中有无穷远点时，还可以用其他方法证明这个结论.证明如下：设已知三点的坐标是： AB，AB，AB则由 （其中k为定值，且k0，1）。可以求出，确定第四点.因此第四点AB唯一确定。下面讨论交比的几个特殊情况：D与C重合时，则有（AB，CD）= 1。当D与B重合时，则有（AB，CD）=（AB，CB）= = 0。当D与A重合时，（AB，CD）=（AB，CA）= 。D为无穷远点时，则有（AB，CD）=（AB，CD）=（ABC）。可以看出，若第四点为无穷远点，则其交比等于前三个点的单比（ABC），利用这个性质若无穷远点不在第四个点的位置，可以交换到第四个点的位置，以求其交比。（4）点列中四点的调和比调和比是交比的重要特例.当（AB，CD）=1时，称为C，D调和分割A，B.或称点偶A，B与点偶C，D调和共轭.D叫做A，B，C的第四调和点。应当注意，在调和分割中，两对点的关系是完全对等的。点列中四点A，B，C，D所组成的交比可以有六个交比值，在一般情况下，这六个交比值是不等的，但当且仅当这四个点适当地编排顺序，可以组成调和共轭的两对点偶时，（注意排除两点重合和虚点不考虑），那么这六个交比值才有相同的。（5）线束的交比和调和比由定义知，四直线A，B，C，D的交比为 =，注意这个定义中数目的排列。要注意定理4.7：如果线束S的四线A，B，C，D被任何一条直线S截于四点A，B，C，D，则（AB，CD）=（AB，CD）的证明。3.2一维基本形的射影对应3.2.1透视对应如果一个点列和一个线束的元素之间建立了一一对应且对应元素是结合的，则这个对应叫做透视对应，点列和线束叫做透视的。显然，点列与线束的透视关系具有对称性.点列与点列或线束与线束的透视关系都具有对称性.交比在透视对应下不变。3.2.2射影对应两个一维基本图形之间的射影对应的性质：是一一对应的；AB则BA；具有传递性，即若AB，BC，则AC。两个点列间的一一对应是射影对应任何四点的交比与其对应四点的交比相等.已知两个一维图形的三对对应元素，那么可以确定唯一一个射影对应。例如，求由两个二重点1，2所确定的对合方程。解法1 设对合方程为。将1，2代入，得A+2B+D= 0， 4A+4B+D= 0，代入对合方程，得2-3（+）+ 4 = 0。3.3 二维射影变换定义1.1 设为两个点场.若满足：（1）为双射；（2）使得共线点变为共线点；（3）保持四点的交比不变；则称为点场到点场的一个二维射影对应。定义 1.2 若两个平面间的一一对应满足下列条件：（1）保持点和线的结合性；（2）任何共线四点的交比等于对应四点的交比,则此一一对应叫做射影对应.定义1.3 设在点场和上咯取定了齐次射影坐标系，则下式所决定的对应为点场到的一个非奇异线性对应.其中为对应点的齐次坐标，A称为这个非奇异线性对应的矩阵.如果，且对应点的齐次坐标是关于平面上同一个取定的射影坐标系而论的，则为点场上的一个非奇异线性变换。定义1.4 两个同底的点场或线场之间的射影对应称为二维射影变换。显然二维射影变换是特殊的二维射影对应，变换式相对于射影平面上的一个取定的射影坐标系进行的，表示了一个点与其像点的坐标之间的关系，二维射影变换具有二维射影对应的全部性质.同时，如果我们将