自考高等数学一复习指导.doc

自考“高等数学一”复习指导本大纲适用于工学理学（生物科学类、地理科学类、环境科学类、心理学类等四个一级学科除外）专业的考生。总要求考生应按本大纲的要求，了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”和“熟练掌握”三个层次。复习考试内容一、函数、极限和连续（一）函数1.知识范围（1）函数的概念函数的定义 函数的表示法 分段函数 隐函数（2）函数的性质单调性 奇偶性 有界性 周期性（3）反函数反函数的定义 反函数的图像（4）基本初等函数幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数（5）函数的四则运算与复合运算（6）初等函数2.要求（1）理解函数的概念。会求函数的表达式、定义域及函数值。会求分段函数的定义域、函数值，会作出简单的分段函数的图像。（2）理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。（3）了解函数 与其反函数 之间的关系（定义域、值域、图像），会求单调函数的反函数。（4）熟练掌握函数的四则运算与复合运算。（5）掌握基本初等函数的性质及其图像。（6）了解初等函数的概念。（7）会建立简单实际问题的函数关系式。（二）极限1.知识范围（1）数列极限的概念数列 数列极限的定义（2）数列极限的性质唯一性 有界性 四则运算法则 夹逼定理 单调有界数列极限存在定理（3）函数极限的概念函数在一点处极限的定义 左、右极限及其与极限的关系 趋于无穷 时函数的极限 函数极限的几何意义（4）函数极限的性质唯一性 四则运算法则 夹通定理（5）无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量的定义 无穷小量与无穷大量的关系 无穷小量的性质 无穷小量的阶（6）两个重要极限2.要求（1）理解极限的概念（对极限定义中“ ”、“ ”、“ ”等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。（2）了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。（3）理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。（4）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。（三）连续1.知识范围（1）函数连续的概念函数在一点处连续的定义 左连续与右连续 函数在一点处连续的充分必要条件 函数的间断点及其分类（2）函数在一点处连续的性质连续函数的四则运算 复合函数的连续性 反函数的连续性（3）闭区间上连续函数的性质有界性定理 最大值与最小值定理 介值定理（包括零点定理）（4）初等函数的连续性2.要求（1）理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处的连续性的方法。（2）会求函数的间断点及确定其类型。（3）掌握在闭区间上连续函数的性质，会用介值定理推证一些简单命题。（4）理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用连续性求极限。一、单项选择题1 下列集合中为空集的A B 0 C 0Dx x2+1=0，x R 答案选D 解析因为A 、B 分别是由空集和数零组成的集合，因此是非空集合；0 是一个数，不是集合，故C 也不是空集。在实数集合内，方程x2+1=0无解，所以D 是空集2 设A=x x2-x-60 ，B=x x-1 1 ，则A B=A x x 3 B x x 0 得x 3 或 x3 或x -2；由x-1 1 得x 2 ，故B=x x 2 ，所以A B=x x 0|x-5| 1 ，得x 5 或x 0 且x 2 ，得x 2 或x 0 ），则f （x ）= A x+x2+1 xB 1+x2+1 xC x+x2+1 x2+1D1+x2+1 x2+1答案选B 解析令1 x=t ，则f （t ）=1 t+1 t2+1=1 t+t2+1 t2=1+t2+1 t，故f （x ）=1+x2+1 x另解因为f （1 x ）=x+x2+1=1 1 x+1 1 x2+1，故f （x ）=1 x+1 x2+1=1 x+x2+1 x2=1 x+1 xx2+1=1+x2+1 x13设函数f （x ）=1， |x|1-1， |x|1 ，则f1 f（x ）= A 1B-1C f （x ）D 1 f （x ）答案选A 解析因|f（x ）|=1 ，1 f （x ）=1，故f1 f（x ）=114设f （x ）=|x| x，g （x ）=x2 ，则f g （x ）= A 1B1C 1 xD|x| x2答案选B 解析f g （x ）=f（x2）=|x2| x2=x2 x2=115设f （x ）= 2x 21x 2，则f （f （x ）= A 2B1Cf （x ）D （f （x ）2答案选A 解析由假设f （f （x ）= 2f （x ）21 f （x ）2，对任意x （，），f （x ）2 ，故有f （f （x ）=2.16设f （1-2x）=1- 2 x，则f （x ）= A 1+4 1-xB 1-4 1-xC 1-2 1-2xD1+2 1-2x答案选B 解析令1-2x=t，x=1-t 2，由f （1-2x）=1- 2 x得f （t ）=1- 21-t2=1- 41-t ，故f （x ）=1- 4 1-x17设f （sinx2）=1+cosx ，则f （cosx2）= A 1-cosxB -cosxC 1+cosxD 1-sinx答案选A 解析f （sinx2）=1+1-2sin2x 2=2-2sin 2x 2，所以f （x ）=2-2x2.从而f （cosx2）=2-2cos 2x 22-（1+cosx）=1-cosx.18设f （x+2 ）=x2-2x+3，则f f （2 ）= A 3 B 0C 1 D 2答案选D 解析因f （2 ）=f（0+2 ）=02-2 0+3=3 ，故f f （2 ）=f（3 ）=f（1+2 ）=12-2 1+3=2 另解因为f （x+2 ）=x2-2x+3= （x+2 ）-22-2 （x+2 ）-2+3，故f （x ）= （x-2 ）2-2 （x-2 ）+3=x2-6x+11 ，f （2 ）=3从而f f （2 ）=f（3 ）=32-6 3+11=219设g （x ）=lnx+1，f g （x ）=x，则f （1 ）= A 1 B eC -1 D-e答案选A 解析由lnx+1=1 ，得lnx=0 ，x=1 ，故f （1 ）= f g （1 ）=120下列各组函数中，表示相同函数的是A y=lnx2与y=2lnxB y=x 与y=x2C y=1 与y=sin2x+cos2xD y=x 与y=cos （arccosx ）答案选C 解析A 中两函数的定义域不同，B 中两函数的对应规则不同，D 中两函数的定义域与对应规则都不同只有C 中两函数的定义域与对应规则完全相同21函数y=log4x+log42 的反函数是A y=42x-1By=4x-1C y=2x-1D y=4x-1答案选A 解析由y=log4x+log 42=log42x 得2x=4y，故x=42y-1 ，即所求函数的反函数是y=42x-1.22设12A y=110x ，（，0）B y=- 110x ，（，0）C y=110x ，（lg34，0）D y=- 110x ，（lg34，0）答案选D 27将函数f （x ）=2-|x-2|表示为分段函数时，f （x ）= A 4-x ， x0x ， x0B4-x ， x2x ， x2C 4-x ， x01-x x 0D4-x ， x24+x x 2答案选B 解析由条件f （x ）=2- （x-2 ），x 22-（2-x ），x 2 ，即f （x ）=4-x，x 2x ，x 02x+1， x0By=2x+cosxC y=xDy=sinx答案选C 解析对照基本初等函数的定义可知y=x 是基本初等函数，而A 中函数为分段函数，B 中函数为初等函数，D 中函数为复合函数它们都不是基本初等函数29函数y=sinx-sin|x| 的值域是A （0 ）B -1，1 C 0 ，1 D -2，2 答案选D 解析因为当x 0 时，y=sinx-sinx=0 ，当x 0 时，y=sinx-sin（-x）=sinx+sinx=2sinx，这时-22sinx 2 ，故函数y=sinx-sin|x|的值域为-2，2 30函数y=x2 -2 x 0x2-4 0A y=x 0 x 4x+4 0B y=x 0 x 4x+4 -4C y=x 0 x 4x+4 -4x 0D y=x 0 x 4- 4+x -4 x 0 ，a 1 ）是A 奇函数B 偶函数C 非奇非偶函数D 既是奇函数又是偶函数答案选A 解析因该函数定义域为（- ，+ ），它关于原点对称，且f （-x）=loga-x+1+（-x）2=loga1+x2-x=log31+x2-x2 1+x2+x=log31 x+1+x2=-log3x+1+x2=-f （x ）故f （x ）=logax+1+x2 为奇函数33设函数f （x ）=x（ex-1） ex+1 ，则该函数是A 奇函数B 偶函数C 非奇非偶函数D 单调函数答案选B 解析因为f （x ）的定义域是（- ，），且f （-x）=-x （e-x-1 ） e-x+1=-x1-ex ex 1+ex ex=x（ex-1） ex+1=f （x ）。所以f （x ）为偶函数。34设函数f （x ）在（- ，+ ）内有定义且为奇函数，若当x （，0）时，f（x ）=x（x-1 ），则当x （0，）时，f （x ）= A -x（x+1 ）B x （x-1 ）C x （-x+1）D x （x+1 ）答案选A 解析因为f （x ）为奇函数，故当x 0 时，f （x ）=-f （-x）=-x（-x-1）=-x （x+1 ）。35设函数f （x ）、g （x ）在（，）上有定义，若f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数，则g f （x ）为A 奇函数B 偶函数C 非奇非偶函数D 有界函数答案选B 解析因为g f （-x）=g-f（x ）=gf （x ），故g f （x ）为偶函数。36函数f （x ）=x（1+cos2x ）的图形对称于A ox轴B 直线y=xC 坐标原点D oy轴答案选C 解析因f （x ）的定义域为（- ，+ ），它关于原点对称，又f （-x）=-x （1+cos2（-x）=-x （1+cos2x ）=-f （x ），故f （x ）=x（1+cos2x ）是奇函数，而奇函数的图形关于原点对称37函数y=|sinx|的周期是A B 2 C2D 4答案选A 解析因为|sin（x+）|=|-sinx|=|sinx|，故y=|sinx|的周期（最小正周期）为38下列函数中为周期函数的是A y=sinx2By=arcsin2xC y=x sinxD y=tan （3x-2）答案选D 解析因为tan 3 （x+3）2=tan（3x+ -2）=tan（3x-2）+ =tan（3x-2），所以y=tan （3x-2）是以3为周期的周期函数。39设f （x ）是以3 为周期的奇函数，且f （-1）=-1 ，则f （7 ）= A 1B-1C 2D-2答案选A 解析因为f （7 ）=f（1+2.3 ）=f（1 ）=-f （-1）=1.40已知偶函数f （x ）在0，4上是单调增函数，那么f （- ）和f （log 128）的大小关系是A f （- ）C f （- ）f （log 128）D 不能确定答案选C 解析因为f （x ）为偶函数且在0，4上是单调增函数，故f （x ）在4，0上是单调减函数又log 128=log12（12）3=-3 ，所以f （- ）f （log 128）。41在R 上，下列函数中为有界函数的是y=A exB 1+sinxC lnxDtanx答案选B 解析由函数的图像可以看出y=ex，y=lnx 、y=tanx在其定义区间内是无界的，只有B 中函数y=1+sinx其定义域为R ，且对任意x R ，有|1+sinx|1+|sinx|2 成立，故y=1+sinx在R 上是有界函数基础训练题单项选择题1 设A=x|-3 x 3，B=x|0x 5，则A A BBA BC （A B ）BD（A B ）B 2 下列集合为空集的是A x|x+5=5Bx|xR 且x2+10=0C x|x3 且x 3D x|x+5|03 若集合M=0，1 ，2，则下列写法中正确的是A 1 MB1 MC 1 MD1 M 4 函数y=1-x+arccosx+1 2 的定义域是A -3x 1B x 1C （-3，1 ）D x|x-1 2C x -1 2且x 1Dx -1 2且x 1 6 若0 a 1 2 及函数y=f （x ）的定义域是0 ，1 ，则f （x+a ）+f（x-a ）的定义域是A -a，1-a B -a，1+a C a ，1-a D a ，1+a 7 设函数f （x+a ）的定义域为0 ，a ，则f （x ）的定义域为A a ，2aB -a，0 C -2a ，-aD 0 ，a 8 函数f （x ）=xx 1sinx 1x 4 ，则f （x2）的定义域为A 4，4B 1，1C 1，4D 2，29 设g （x ）=sinx ，则g-sin 2=A -1B 1C sin1D -sin1 10设f （x ）是定义在实数域上的一个函数，且f （x-1 ）=x2+x+1 ，则f1 x-1=A 1 （x-1 ）2+3 x-1+3B1 （x-1 ）2+1 x-1+1C 1 x2+x+1D 1 x2+1 x+111设f1 x=x x-1，则f （2x）=A 2 1-xB1 1-2xC 2 （x-1 ） 2xD2 （x-1 ） x12设f （x-2 ）=x2+1 ，则f （x+1 ）=A x2+2x+2Bx2-2x+2C x2+6x+10D x2-6x+1013函数y=4-x2的值域是A 0 ，1 B （0 ，1 C （0 ，+ ）D （- ，+ ）14下列函数中与y=x 为同一函数的是y=A x2B lnexC elnxD （x ）2 15函数y=sin1 x是其定义域内的A 周期函数B 单调函数C 有界函数D 无界函数16下列函数中在（0 ，+ ）内为单调减少的是A y=logxa ，0C y=arctanxDy=lnx 17下列函数中为奇函数的是A y=ex-1 ex+1By=x2+sinxC y=cos3xDy=ln（x2+x4 ）18函数y=1-x 1+x 的反函数是A y=x-1 x+1By=1+x 1-xC y=1-x 1+xDy=-x 1+x二、一元函数微分学（一）导数与微分1.知识范围（1）导数概念导数的定义 左导数与右导数 函数在一点处可导的充分必要条件 导数的几何意义与物理意义 可导与连续的关系（2）求导法则与导数的基本公式导数的四则运算 反函数的导数 导数的基本公式（3）求导方法复合函数的求导法 隐函数的求导法 对数求导法 由参数方程确定的函数的求导法 求分段函数的导数（4）高阶导数高阶导数的定义 高阶导数的计算（5）微分微分的定义 微分与导数的关系 微分法则 一阶微分形式不变性2.要求（1）理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，掌握用定义求函数在一点处的导数的方法。（2）会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。（3）熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法，会求反函数的导数。（4）掌握隐函数求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数。（5）理解高阶导数的概念，会求简单函数的 阶导数。（6）理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。（二）微分中值定理及导数的应用1.知识范围（1）微分中值定理罗尔（Rolle）定理 拉格朗日（Lagrange）中值定理（2）洛必达（LHospital）法则（3）函数增减性的判定法（4）函数的极值与极值点 最大值与最小值（5）曲线的凹凸性、拐点（6）曲线的水平渐近线与铅直渐近线2.要求（1）理解罗尔定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义。会用罗尔定理证明方程根的存在性。会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式。（2）熟练掌握用洛必达法则求各种型未定式的极限的方法。（3）掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的单调性证明简单的不等式。（4）理解函数极值的概念。掌握求函数的极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用问题。（5）会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。（6）会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线。（7）会作出简单函数的图形。三、一元函数积分学（一）不定积分1.知识范围（1）不定积分原函数与不定积分的定义 原函数存在定理 不定积分的性质（2）基本积分公式（3）换元积分法第一换元法（凑微分法） 第二换元法（4）分部积分法（5）一些简单有理函数的积分 2.要求（1）理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质，了解原函数存在定理。（2）熟练掌握不定积分的基本公式。（3）熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（限于三角代换与简单的根式代换）。（4）熟练掌握不定积分的分部积分法。（5）会求简单有理函数的不定积分。（二）定积分1.知识范围（1）定积分的概念定积分的定义及其几何意义 可积条件（2）定积分的性质（3）定积分的计算变上限积分 牛顿莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式 换元积分法 分部积分法（4）无穷区间的广义积分（5）定积分的应用平面图形的面积 旋转体体积 物体沿直线运动时变力所作的功2.要求