高三第一轮复习——双曲线.doc

双曲线一、教学目的1理解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程；2理解双曲线的有关几何性质；3灵活运用双曲线的概念、标准方程和几何性质解决相关问题二、知识点梳理1双曲线的定义 （1）双曲线的第一定义：平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线，即这两个定点叫做的双曲线的焦点，两焦点的距离叫双曲线的焦距当时，轨迹是双曲线；当时，轨迹是两条射线；当时，轨迹不存在 （2）双曲线第二定义：平面内到一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数的点的轨迹叫做双曲线定点叫双曲线焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数叫双曲线离心率2双曲线的标准方程与几何性质标准方程性质焦点，焦距范围顶点，对称性关于轴、轴和原点对称离心率准线渐近线3共轭双曲线 双曲线的共轭双曲线为4双曲线的焦半径（ 分别是双曲线的左（下），右（上）焦点） 焦点在轴上的双曲线的焦半径公式： 焦点在轴上的双曲线的焦半径公式5双曲线的通径长：； 焦点三角形的面积：三、讲练结合题型一 双曲线的定义【例1】设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点若，则（ ） A或 B6 C7 D9【例2】点在双曲线的右支上，若点到右焦点的距离等于，则 【同步练习】1设为双曲线上的一点是该双曲线的两个焦点，若 ，则的面积为（ ） A B12 C D242直线与双曲线的左右支分别交于点，与双曲线 的右准线相交于点，为右焦点，若又，则实数 的值为（ ） A B2 C D3题型二 双曲线的标准方程【例3】已知双曲线与双曲线=1有公共焦点，且过点（3，2）求双曲线的方程【例4】已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，求此双曲线的方程【同步练习】3已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛 物线的准线上，则双曲线的方程为（ ）A B C D4已知点是双曲线渐近线上的一点，是左、右两个焦 点，若，则双曲线方程为（ ） A B C D5已知圆以圆与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条 件的双曲线的标准方程为_6以抛物线的焦点为右焦点，且两条渐近线是的双曲线方程为_7已知双曲线的离心率为，右准线方程为 （1）求双曲线C的方程； （2）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的值题型三 双曲线的几何性质【例5】设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ） A B5 C D【例6】已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点，若，则的离心率为（ ） A B C D【例7】已知双曲线的左，右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的最大值为_【同步练习】8已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为_9已知双曲线的右顶点为，双曲线的左准线与该双曲线的两 渐近线的交点分别为A、B两点，若，则该双曲线的离心率e是（ ） A B2 C或2 D不存在10已知点F是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A（1，） B（1，2） C（1，1） D（2，1）题型四 直线与双曲线的位置关系【例8】过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点，若 则这样的直线有（ ） A4条 B3条 C2条 D1条【例9】已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点和且（其中为原点），求的取值范围【同步练习】11过原点与双曲线 交于两点的直线斜率的取值范围是_12已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是（ ） AB CD 13已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F ，一条渐近线m：， 设过点A的直线 的方向向量 （1）求双曲线C的方程； （2）若过原点的直线，且与的距离为，求k的值； （3）证明：当时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线的距离为四、课后练习（一）选择题1以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ） A B C D2过点（2，2）且与双曲线y2=1有公共渐近线的双曲线方程是（ ） A=1 B=1 C=1 D=13若双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的，则等于（ ） A B C D4若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离 心率为（ ） A B C D5设，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A（，2） B（，） C（2，5） D（2，）6曲线与曲线的（ ） A焦距相等 B焦点相同 C离心率相等 D以上都不对7过点P（3，4）与双曲线只有一个交点的直线的条数为（ ）A4 B3 C2 D18已知椭圆与双曲线有相同的焦点 和，若是的等比中项，是与的等差中项，则椭圆 的离心率是（ ） A B C D（二）填空题9已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲 线的焦点坐标为 ； 渐近线方程为 10过双曲线的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线相交于 两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率 为 11已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为，且焦距与虚轴长之比为，则 双曲线的标准方程是 12在平面直角坐标系中，双曲线上一点，点的横坐标是3，则 到双曲线右焦点的距离是 13已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一点，则 最小值为 （三）解答题14已知椭圆和双曲线有公共的焦点 （1）求双曲线的渐近线方程； （2）直线过焦点且垂直于轴，若直线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为，求双曲线的方程15已知直线与双曲线交于、点 （1）求的取值范围； （2）若以为直径的圆过坐标原点，求实数的值； （3）是否存在这样的实数，使、两点关于直线对称？若存在，求出的值；若不存在，说明理由参考答案三、讲练结合题型一 双曲线的定义【例1】C 解析：双曲线渐近线方程为y=，由已知渐近线为， ， ，故选C【例2】2 解析：由方程，得 该双曲线的离心率为，右准线为 到右准线的距离为 由双曲线的第二定义，得，解得题型二 双曲线的标准方程【例3】解法一：设双曲线方程为=1由题意易求c=2 又双曲线过点（3，2），=1 又a2+b2=（2）2，a2=12，b2=8 故所求双曲线的方程为=1 解法二：设双曲线方程为1， 将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为1【例4】解：设双曲线方程为， 当时，化为， 当时，化为， 综上，双曲线方程为或题型三 双曲线的几何性质【例5】D 解析：双曲线的一条渐近线为，由方程组，消去y， 得 因为该方程有唯一解，所以= 所以，故选D【例6】A 解析：设双曲线的右准线为，过分 别作于， 于， ，由直线AB的斜率为，知直线AB的倾斜角为 由双曲线的第二定义有 又故选A【例7】 解法一：由定义，知， 又已知，解得， 在中，由余弦定理，得 要求的最大值，即求的最小值，当时，解得 即的最大值为 解法二：， 双曲线上存在一点P使，等价于 解法三：设，由焦半径公式得 ， 的最大值为题型四 直线与双曲线的位置关系【例8】B 解析：因为双曲线方程为x2=1，过右焦点垂直于x轴的弦长，即通径为=4 又实轴长为2a=24，由对称性可知，过右焦点长度为4的弦与左右两支各有一 个交点的弦有两条，与右支有两个交点的弦只有1条，故共有3条长度为4的 弦故选B【例9】解：（1）设双曲线方程为 由已知得，再由，得 故双曲线的方程为 （2）将代入得 由直线与双曲线交与不同的两点得 即且 设，则 由得 而 于是，即解此不等式得 由+，得 故的取值范围为同步练习答案题型一 双曲线的定义1B 解析： 又 由、解得 直角三角形， 故选B2A 解析：记M、N在右准线的射影分别为M1、N1， 由|FM|=2|FN|及第二定义，知|MM1|=2|NN1| 又MM1PNN1P，所以|MP|=2|NP|，从而=故选A题型二 双曲线的标准方程3B 解析：依题意知，所以双曲线的方程为故选 B4C 解析：不妨设，于是有 于是排除A，B又由D中双曲线的渐近线方程为，点不在其上， 排除D故选C5 6 解析：抛物线的焦点为，设双曲线方程为， ，双曲线方程为7解：（1）由题意，得，解得 ，所求双曲线的方程为 （2）设A、B两点的坐标分别为，线段AB的中点为 由得（判别式）， 点在圆上，题型三 双曲线的几何性质8或 解析：当时， 当时，或9B 解析：设双曲线的左准线与x轴交于点D，则，10B解析：由ABx轴，所以ABE为等腰三角形又ABE是锐角三角形，所以AEB为锐角，即AEF45于是|AF|EF|，ac，于是c2a2a2ac，即e2e20，解得1e2 又双曲线的离心率e1，从而1e2题型四 直线与双曲线的位置关系1112A 解析：易得准线方程是 所以，即，所以方程是联立可得由可解得A13解：（1）设双曲线的方程为 ，解得，双曲线的方程为 （2）直线，直线 由题意，得，解得 （3）证明：设过原点且平行于的直线如图 则直线与的距离当时，2又双曲线的渐近线为，双曲线的右支在直线的右下方双曲线右支上的任意点到直线的距离大于故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为四、课后练习1A 2A 3C 4C 5B 6A 7C 8D9 102 11 124 1314解：（