衔接平面几何.doc

31 相似形3.1.1平行线分线段成比例定理在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.图3.1-1在一张方格纸上，我们作平行线（如图3.1-1），直线交于点，另作直线交于点，不难发现我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.如图3.1-2，有.当然，也可以得出.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.例1 如图3.1-2， ，且求.图3.1-2解 平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.例4 在中，为的平分线，求证：.证明 过C作CE/AD，交BA延长线于E，AD平分图3.1-5由知.例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.图3.1-6练习11如图3.1-6，下列比例式正确的是（ ）A B C D.2如图3.1-7，求.图3.1-73如图，在中，AD是角BAC的平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的长.图3.1-84如图，在中，的外角平分线交的延长线于点，求证：.图3.1-95如图，在的边AB、AC上分别取D、E两点，使BD=CE，DE延长线交BC的延长线于F.求证：.3.2 三角形321 三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.图3.2-1图3.2-2如图3.2-1 ，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.图3.2-3例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知 D、E、F分别为三边BC、CA、AB的中点，求证 AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.证明 连结DE，设AD、BE交于点G，D、E分别为BC、AE的中点，则DE/AB，且，且相似比为1：2，图3.2-4.设AD、CF交于点，同理可得，则与重合， AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5）图3.2-5三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8）图3.2-8过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.练习11求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.2 （1） 若三角形ABC的面积为S，且三边长分别为，则三角形的内切圆的半径是_;（2）若直角三角形的三边长分别为（其中为斜边长），则三角形的内切圆的半径是_. 并请说明理由.3.2.2 几种特殊的三角形1、等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上.2、在直角三角形ABC中，为直角，垂心为直角顶点A， 外心O为斜边BC的中点，内心I在三角形的内部，且内切圆的半径为（其中分别为三角形的三边BC,CA,AB的长），为什么？图3.2-13 该直角三角形的三边长满足勾股定理：.3、正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.练习21 直角三角形的三边长为3，4，,则_.2 等腰三角形有两个内角的和是100，则它的顶角的大小是_.3 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ）A B C D 4 已知直角三角形的周长为，斜边上的中线的长为1，求这个三角形的面积.5 证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量.习题3.2A组1 已知：在中，AB=AC，为BC边上的高，则下列结论中，正确的是（）A B C D2 三角形三边长分别是6、8、10，那么它最短边上的高为（ ）A6 B4.5 C2.4 D83 如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_.4 已知：是的三条边，那么的取值范围是_。5 若三角形的三边长分别为，且是整数，则的值是_。33圆331 直线与圆，圆与圆的位置关系设有直线和圆心为且半径为的圆，怎样判断直线和圆的位置关系？图3.3-1观察图3.3-1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离时，直线和圆相离，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相切，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相交，如圆与直线.图3.3-2在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如图3.3-2，连结圆心和弦的中点的线段垂直于这条弦.且在中，为圆的半径，为圆心到直线的距离，为弦长的一半，根据勾股定理，有.图3.3-3当直线与圆相切时，如图3.3-3，为圆的切线，可得，且在中，.如图3.3-4，为圆的切线，为圆的割线，我们可以证得，因而.图3.3-4例1 如图3.3-5，已知O的半径OB=5cm，弦AB=6cm，D是的中点，求弦BD的长度。解 连结OD，交AB于点E。是圆心，在中，OB=5cm,BE=3cm,在中，BE=3cm,DE=1cm, 设圆与圆半径分别为，它们可能有哪几种位置关系？图3.3-7观察图3.3-7，两圆的圆心距为，不难发现：当时，两圆相内切，如图（1）；当时，两圆相外切，如图（2）；当时，两圆相内含，如图（3）；当时，两圆相交，如图（4）；当时，两圆相外切，如图（5）.练习 11.如图3.3-9，O的半径为17cm，弦AB=30cm，AB所对的劣弧和优弧的中点分别为D、C，求弦AC和BD的长。图3.3-92.已知四边形ABCD是O的内接梯形，AB/CD，AB=8cm,CD=6cm, O的半径等于5cm，求梯形ABCD的面积。3.如图3.3-10，O的直径AB和弦CD相交于点E，求CD的长。图3.3-104若两圆的半径分别为3和8，圆心距为13，试求两圆的公切线的长度.332 点的轨迹在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于；同时，到定点的距离等于的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长的点的轨迹.下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.从上面对圆的讨论，可以得出：（1） 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：（2） 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：（3） 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.圆心的轨迹，就是到、两点距离相等的点的轨迹，即和线段两个端点距离相等的点的轨迹.答：经过、两点的圆的圆心O的轨迹是线段的垂直平分线.图3.3-11练习21画图说明满足下列条件的点的轨迹：（1） 到定点的距离等于的点的轨迹；（2） 到直线的距离等于的点的轨迹；（3） 已知直线，到、的距离相等的点的轨迹. 2画图说明，到直线的距离等于定长的点的轨迹.习题3.3A组1 已知弓形弦长为4，弓形高为1，则弓形所在圆的半径为（ ）A B C3 D42 在半径等于4的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ）A B C D3 AB为O的直径，弦，E为垂足，若BE=6，AE=4，则CD等于（ ）A B C D4 如图3.3-12，在O中，E是弦AB延长线上的一点，已知OB=10cm,OE=12cm，求AB。图3.3-12B组1 如图3.3-13，已知在中，以C为圆心，CA为半径的圆交斜边于D，求AD。图3.3-13图3.3-142 如图3.3-14，在直径为100mm的半圆铁片上切去一块高为20mm的弓形铁片，求弓形的弦AB的长。3 如图3.3-15，内接于O，D为的中点，于E。求证：AD平分。图3.3-154 如图3.3-16，C、D是的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=BF=CD。图3.3-165 已知线段.画出到点的距离等于的点的轨迹，再画出到点的距离等于的点的轨迹，指出到点的距离等于，且到点的距离等于的点，这样的点有几个？3.3 圆练习11取AB中点M，连CM，MD，则，且C，O，M，D共线，.2O到AB，CD的距离分别为3cm,4cm，梯形的高为1cm或7cm，梯形的面积为7或49.3. 半径为3cm，OE=2