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状态和状态空间模型 1 状态和状态空间模型系统的状态空间模型是建立在状态和状态空间概念的基础上的 因此 对这些基本概念进行严格的定义和相应的讨论 必须准确掌握和深入理解 状态状态变量状态空间状态空间模型 2 状态空间的基本概念下面将给出动态系统的状态和状态空间的概念 主要讲授内容为 系统的状态和状态变量系统的状态空间 3 1 系统的状态和状态变量动态 亦称动力学 系统的 状态 这个词的字面意思就是指系统过去 现在将来的运动状况 正确理解 状态 的定义与涵义 对掌握状态空间分析方法十分重要 状态 的定义如下 定义2 1动态系统的状态 是指能够完全描述系统时间域动态行为的一个最小变量组 该变量组的每个变量称为状态变量 该最小变量组中状态变量个数称为系统的阶数 4 状态 定义的三要素完全描述 即给定描述状态的变量组在初始时刻 t t0 的值和初始时刻后 t t0 的输入 则系统在任何瞬时 t t0 的行为 即系统的状态 就可完全且唯一的确定 动态时域行为 最小变量组 即描述系统状态的变量组的各分量是相互独立的 减少变量 描述不全 增加则一定存在线性相关的变量 冗余的变量 毫无必要 要掌握喔 5 若要完全描述n阶系统 则其最小变量组必须由n个变量 即状态变量 所组成 一般记这n个状态变量为x1 t x2 t xn t 若以这n个状态变量为分量 构成一个n维变量向量 则称这个向量为状态变量向量 简称为状态向量 并可表示如下 图2 1多输入多输出系统示意图 6 状态变量是描述系统内部动态特性行为的变量 它可以是能直接测量或观测的量 也可以是不能直接测量或观测的量 可以是物理的 甚至可以是非物理的 没有实际物理量与之直接相对应的抽象的数学变量 7 状态空间 状态变量与输出变量的关系状态变量是能够完全描述系统内部动态特性行为的变量 而输出变量是仅仅描述在系统分析和综合 滤波 优化与控制等 时所关心的系统外在表现的动态特性 并非系统的全部动态特性 因此 状态变量比输出变量更能全面反映系统的内在变化规律 可以说输出变量仅仅是状态变量的外部表现 是状态变量的输出空间的投影 一个子集 输出空间 空间映射 x y 8 2 系统的状态空间若以n个状态变量x1 t x2 t xn t 为坐标轴 就可构成一个n维欧氏空间 并称为n维状态空间 记为Rn 状态向量的端点在状态空间中的位置 代表系统在某一时刻的运动状态 随着时间的推移 状态不断地变化 t t0各瞬时的状态在状态空间构成一条轨迹 它称为状态轨线 状态轨线如图2 2所示 图2 2二维空间的状态轨线 9 系统的状态空间模型状态空间模型是应用状态空间分析法对动态系统所建立的一种数学模型 它是应用现代控制理论对系统进行分析和综合的基础 状态空间模型由描述系统的动态特性行为的状态方程和描述系统输出变量与状态变量间的变换关系的输出方程所组成 下面以一个由电容 电感等储能元件组成的二阶RLC电网络系统为例 说明状态空间模型的建立和形式 然后再进行一般的讨论 10 例某电网络系统的模型如图2 3所示 试建立以电压ui为系统输入 电容器两端的电压uC为输出的状态空间模型 解1 根据系统的内部机理列出各物理量所满足的关系式 对本例 针对RLC网络的回路电压和节点电流关系 列出各电压和电流所满足的方程 图2 3例2 3的RLC电网络系统 11 2 选择状态变量 状态变量的个数应为独立一阶储能元件 如电感和电容 的个数 对本例x1 t iL x2 t uC3 将状态变量代入各物理量所满足的方程 整理得一规范形式的一阶矩阵微分方程组 状态方程 每个状态变量对应一个一阶微分方程 导数项的系数为1 非导数项列写在方程的右边 12 对本例 经整理可得如下状态方程 写成向量与矩阵形式为 4 列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程 对本例 13 其中 5 将上述状态方程和输出方程列写在一起 即为描述系统的状态空间模型的状态空间模型 14 总结出状态空间模型的形式为 其中x为n维的状态向量 u为r维的输入向量 y为m维的输出向量 A为n n维的系统矩阵 B为n r维的输入矩阵 C为m n维的输出矩阵 D为m r维的直联矩阵 前馈矩阵 直接转移矩阵 描述线性系统的主要状态空间模型 切记 15 状态空间模型的意义 有如下讨论 状态方程描述的是系统动态特性 其决定系统状态变量的动态变化 输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的关系 系统矩阵A表示系统内部各状态变量之间关联情况 它主要决定系统的动态特性 输入矩阵B又称为控制矩阵 它表示输入对状态变量变化的影响 输出矩阵C反映状态变量与输出间的作用关系 直联矩阵D则表示了输入对输出的直接影响 许多系统不存在这种直联关系 即直联矩阵D 0 16 上述线性定常连续系统的状态空间模型可推广至非线性系统 时变系统 1 非线性时变系统 其中f x u t 和g x u t 分别为如下n维和m维关于状态向量x 输入向量u和时间t的非线性向量函数f x u t f1 x u t f2 x u t fn x u t g x u t g1 x u t g2 x u t gm x u t 17 系统的状态空间模型 9 11 2 非线性系统 其中f x u 和g x u 分别为n维和m维状态x和输入u的非线性向量函数 这些非线性函数中不显含时间t 即系统的结构和参数不随时间变化而变化 3 线性时变系统 其中各矩阵为时间t的函数 随时间变化而变化 18 系统的状态空间模型 10 11 4 线性定常系统 为简便 常将线性时变系统的状态空间模型简记为 A t B t C t D t 类似地 线性定常系统的状态空间模型亦可简记为 A B C D 几种简记符的意义 19 系统的状态空间模型 11 11 20 线性系统状态空间模型的结构图线性系统的状态空间模型可以用结构图的方式表达出来 以形象说明系统输入 输出和状态之间的信息传递关系 在采用模拟或数字计算机仿真时 它是一个强有力的工具 系统结构图主要有三种基本元件 积分器 加法器 比例器 其表示符如图2 4所示 21 图2 4系统结构图中的三种基本元件 22 例线性时变系统 的结构图如图2 5所示 图2 5多输入多输出线性时变系统的结构图 23 线性系统状态空间模型的结构图 若需要用结构图表示出各状态变量 各输入变量和各输出变量间的信息传递关系 则必须根据实际的状态空间模型 画出各变量间的结构图 图2 6表示的是状态空间模型如下所示的双输入 双输出线性定常系统的结构图 24 线性系统状态空间模型的结构图 图2 6双输入双输出线性定常系统结构图 25 根据系统机理建立状态空间模型建立被控对象的数学模型是进行系统分析和综合的第一步 是控制理论和工程的基础 上一节讨论了由电容和电感两类储能元件以及电阻所构成的电网络系统的状态空间模型的建立 其依据为各电气元件的物理机理及电网络分析方法 这种根据系统的物理机理建立对象的数学模型的方法称为机理建模 机理建模主要根据系统的物料和能量 电压 电流 力和热量等 在储存和传递中的动态平衡关系 以及各环节 元件的各物理量之间的关系 如电感的电压和电流满足的动态关系 26 根据系统机理建立状态空间模型 在实际工程系统中 许多过程和元件都具有储存和传递能量 或信息 的能力 例如 机械动力学系统中的弹簧和运动中的质量体都储存有能量并能通过某种形式传递 化工热力学系统中的物质中的热量的储存与传递 化工反应系统反应物质的物料传递和平衡的信息 对这些系统 根据其物理和化学变化的机理 由相应描述这些变化的物理和化学的定理 定律和规律等 可得系统各物理量之间所满足的动静态关系式 因此 在选择适宜的状态变量后 可建立系统的状态空间模型 27 根据系统机理建立状态空间模型 建立动态系统数学模型的主要机理 依据有 电网络系统中回路和节点的电压和电流平衡关系 电感和电容等储能元件的电压和电流之间的动态关系 机械动力学系统中的牛顿第二定律 弹性体和阻尼体的力与位移 速度间的关系 对旋转运动 则相应的为转矩 角位移和角速度 化工热力学系统中的热量的传递与储存 化工反应工程系统中参加反应的物料的传递和平衡关系 经济系统中的投入产出方程 28 根据系统机理建立状态空间模型 建立状态空间模型的关键在于状态变量的选取 它是建立状态空间模型的前提状态变量的主要选取办法系统储能元件的输出系统输出及其输出变量的各阶导数上述状态变量的数学投影 使系统状态方程成为某种标准形式的变量 29 根据系统机理建立状态空间模型 下面通过常见的刚体力学系统 流体力学系统 典型化工 热工 过程机电能量转换系统讨论如何建立状态空间模型 30 刚体动力学系统 1 刚体动力学系统的状态空间描述图2 7表示由弹簧 质量体 阻尼器组成的刚体动力学系统的物理模型 试建立以外力u t 为系统输入 质量体位移y t 为输出的状态空间模型 31 刚体动力学系统 2 4 解对许多实际系统 由于对系统的各种物理量的初始值或绝对值难于了解 一般将对物理量仅考虑在其相对于初始状况之后的相对值 对本例的刚体力学系统 一般先假设在外力u t 作用于小车之前 小车已处于平衡态 下面仅考虑外力加入后 对小车运动的影响 系统的受力情况如下图所示 32 2 选择状态变量 对机械动力学系统 常常将位移对本例 有 刚体动力学系统 3 4 1 应根据系统的内部机理列出各物理量 如本例的力 位置和速度 所满足的关系式 由牛顿第二定律有 33 刚体动力学系统 4 建立输出方程y x15 经整理 可得如下矩阵形式的状态空间模型 3 将状态变量代入运动方程 34 图2 8为串联的两个水槽 其截面积分别为A1和A2 当阀门的开度不变 在平衡工作点附近阀门阻力系数分别可视为常量R1和R2 图中Qi Q1和Qo为流量 h1和h2为水槽的水面高度 试求输入为Qi 输出为h2时的状态空间模型 35 流体动力学系统 2 5 下面在讨论本例的解之前 先简单总结一下如下流量与压力 压强 的关系 解对本例的流体力学系统 假设对两个水槽的流入和流出的水流体已处于平衡 下面仅考虑流量Qi的变化量 Qi引起的水槽水位的变化 压力 流量 电路 电压 电流 流体 压力 液位差 液体流量 气体 气压差 压强 气流量 风量 压力 流量 电阻 阀门阻力系数 风阻力系数 36 流体动力学系统 3 5 1 机理分析 根据水槽中所盛的水量的平衡关系和流量与压力 水面高度 液位差 的关系 有 其中 代表平衡工作点附近的变化量 将上述方程的中间变量 Q1和 Qo消去 则有 37 典型化工 热工 过程 为了使化学反应向右进行 用蒸汽对反应器内的溶液进行加热 蒸汽加热量为q t 试以料液的流量Q t 和蒸汽加热量q t 为输入 容器内的液体的温度 t 和浓度CA t 为输出 建立状态空间模型 38 典型化工 热工 过程 解1 机理分析 在化学反应中 一般应保持热量和物料的平衡关系 因此 对整个反应器作热量和物料平衡 就有 其中V CP分别为容器体积 比重和比热 k为反应速率常数 H为反应热 39 典型化工 热工 过程 4 5 2 选择状态变量 显然 选择容器内的液体的温度 t 和浓度CA t 为状态变量是合理的 因此 令x1 t t x2 t CA t 3 将状态变量代入上述微分方程 则有如下状态方程 40 典型化工 热工 过程 上述状态空间模型表示的是一个双输入双输出的非线性定常系统 和输出方程 41 机电能量转换系统 4 机电系统的状态空间描述图2 10表示某电枢控制的直流电动机 其中Ra和La为电枢回路总电阻和总电感 J为转动惯量 负载为摩擦系数为f的阻尼摩擦 试列写以电枢电压u t 为输入 轴的角位移 t 为输出的状态空间模型 42 机电能量转换系统 解1 电动机励磁电流不变 铁心工作在非饱和区 按照图2 10所描述的电动机系统 可以写出如下主回路电压方程和轴转动动力学方程 其中Ea和M分别