练习2 时间5.doc

练习2 时间、空间与运动学关于理想模型2.1 初学大学物理时, 有人往往不重视物理模型的建立, 实际上它是很重要的, 试分析: (1) 质点模型是怎样建立的,由此总结一下建立理想模型的一般方法;(2) 地球的大小已经知道了,能把它看成质点吗?时、空概念2.2 时间是反映 的物理量, 试讨论下列概念。(1) 时刻与时间间隔;(2) 3s 内、第3s 内与第3s 末;(3) t = 0 与t = - 3s 的含义。分析与解答 时间是反映物体运动过程的持续性和顺序性的物理量。（1）时刻是指在物体运动的持续过程中的任意一个“瞬间”，或钟表指针所指的任意一个位置，如：8：00，9：50等。时间间隔是指某两个时刻之间的间隔，如：20s,15h等。（2）3s内时间间隔，表示从t=0到t=3s的间隔，第3s内时间间隔，表示从t=2s到t=3s的间隔，第3s末时刻，表示t=3s时的“瞬间”。如题2.2图所示。题2.2图（3）t=0时刻，表示开始计时的初始时刻；t=-3s时刻，表示开始计时前第3s。2.3 空间是反映 的物理量, 并讨论、区分下列概念。(1) 路程与位移;(2) 位移与径矢的径向增量;(3) 直线运动与曲线运动。分析与解答 空间是反映物体运动过程的广延性或位形的物理量。（1）路程是质点运动路径的长度，记作S，它是标量。位移是指位置的移动，与路径无关，以表示。它是矢量，且。其大小为始末两点间的直线距离,方向由起点指向末点。（2）位移是矢量，是始末位置矢量的矢量差；径向增量是标量，是始末位置矢量的长度之差。（3）运动轨迹为直线的运动是直线运动，这时只有切向加速度，无法向加速度，且位移、速度、加速度均沿该直线方向；运动轨迹为曲线的运动是曲线运动，曲线运动中必有法向加速度，且速度总是沿曲线的切向方向。2.4 结合教材P43图2.1.6 判断下列各式的正误。(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) ;(6) ;(7) 。 图2.1.6空间概念分析与解答 （1）错误。S是路程，其数值为曲线弧PQ的长度，是位移的模，其数值为直线的长度，两者不是一个概念。（2）错误。是位置矢量的径向增量，其数值为直线的长度，为位移的模，其数值为直线的长度，两者是两个不同的概念。（3）正确。表示径向增量。（4）正确。（5）正确。（6）错误。是径向增量。表示长度； 是位移的模表示长度，两者不相等。（7）错误。是位移的模，表示长度；而是径向增量，表示 长度，两者不相等。2.5 已知质点沿x轴的运动方程x = f ( t) , 怎样求其位移和路程? 现有一质点按x = 3 t 2 - t 3 m 的规律运动。试求:(1) 画出xt 图;(2) 最初4s 内的位移;(3) 最初4s 内的路程。分析与解答 在直线运动中，当确定了坐标x的正方向后，位移可由始、末两点的坐标之差来计算，即，其数值只与始末位置有关，并且可以是正值（位移与x轴正方向相同），也可以是负值（位移方向与x轴正方向相反）；而路程是质点所走过路径的长度，它不仅与始末位置有关，而且与实际路径有关，并且总是正值。一般来说只有在单向直线运动中（无反向点）两者数值相同，但在有反向的直线运动中，两者数值就不相同了。（1）各时刻的数值如表所示。t/s01234x/m0240-16v/(m.s-1)030-9-24a/(m.s-2)60-6-12-18则xt曲线如题2.5图所示。（a） （b）题2.5图（2）最初4s是指从t=0到t=4s的时间间隔，其位移为式中负号表示位移的方向与x轴正方向相反。若写成矢量式为(3)求路程时，应首先看有无速度反向点，若有，应求出速度反向的时刻和位置。由 令v=0，得t=2s,此时刻 v=0,a=-12,即为反向点（见题2.5图（b）。此时的位置。则最初4s内的路程 由以上计算表明：位移与路程是两个不同的概念。速度与加速度2.6 下列物理量是怎样定义的? 各表示什么意义?( 1) 平均速度; ( 2) 平均速率;( 3) 瞬时速度; ( 4) 瞬时速率; ( 5) 径向速度; ( 6) 横向速度;( 7) 切向加速度; ( 8) 法向加速度;(9)(10)(11);(12).分析与解答(1)(4)略（5）径向速度只反映位置矢量大小变化的快慢程度，以表示。（6）横向速度反映方向变化的快慢程度，以表示。（7）切向加速度反映速度大小变化的快慢程度，以表示。（8）法向加速度反映速度方向变化的快慢程度，以表示。（9）为瞬时速度，它反映变化（包括大小、方向）的快慢程度。(10)为径向速度。（11）为瞬时加速度，它反映变化（含大小、方向）的快慢程度。（12）=为切向加速度。2.7 一个运动质点能否出现下述情况?( 1) 平均速率不为零, 而平均速度为零;( 2) 具有零(瞬时) 速度, 同时具有不为零的瞬时加速度;( 3) 具有恒定的速率, 并有变化的速度;( 4) 平均速度不为零, 而平均速率为零;( 5) 加速度很大, 而速度值却不变;( 6) 向前的加速度减小, 前进速度也随之减小。分析与解答 （1）可能。平均速率是路程与时间间隔的比值；而平均速度是位移与时间间隔的比值。当运动物体的始末位置重合时，位移为零，而路程不为零，使得平均速度为零，而平均速率不为零。（2）可以出现，如在直线运动中的速度反向点处，v=0,而a0。（3）可以出现，如匀速圆周运动。（4）不可能。若平均速率为零，说明路程为零，只能是物体静止不动的情形，故不可能有位移，因而平均速度也一定为零。（5）可能。在匀速圆周运动中，速率不变时，可以有法向加速度，并且该加速度数值可以很大。（6）不可能。向前的加速度减小，只说明其数值变小了，每秒钟速度值增加量变小了，但前进的速度值仍在增大，不可能减小。2.8 下列说法中, 正确的是_,( 1) 匀加速运动必定是直线运动;( 2) 在曲线运动中, 速度的法向分量恒为零;( 3) 加速度为负, 质点必作减速运动;( 4) 在圆周运动中, 加速度方向总指向圆心;( 5) 切向加速度反映速度大小的变化, 法向加速度则反映速度方向的变化。分析与解答（1）错误。平抛运动的加速度始终不变，表明是匀加速运动，但不是直线运动。（2）正确。曲线运动中速度的方向恒定为轨迹的切线方向，也就是说速度在法线方向的分量一定为零。（3）错误。在直线运动中，判断是加速还是减速，要看加速度与速度是否同号。同号时为加速，异号时为减速。当加速度为负时，若速度也为负，则质点作反向加速运动。(4)错误。在一般圆周运动中，法向加速度始终指向圆心，还可能有切向加速度，使加速度并不指向圆心。（5）正确。 2.9 通过阅读、研究本章例题, 小结一下求解平均速度与瞬时速度的方法。今有一质点沿y 轴的运动方程为y = 10 + 2t - 5 t3 m, 试求:( 1) 1s1.1s,1s1.01s,1s1.000 01s 各时间间隔的平均速度;( 2) 当t = 1s 时的速度;( 3) 通过上述计算, 如何领会瞬时速度和平均速度的关系与区别?( 4) 求t = 1s 时的加速度, 并分析该质点的运动情况;( 5) 本题能不能用来计算平均速度? 为什么?分析与解答：（1）按平均速度的定义，因此，欲求 ，必须求出。为此，设时刻 时刻 两式相减，得 故平均速度为 则各时间间隔内的平均速度分别为 （负号表示沿-j方向）（2）由题意，故由时的速度为 （方向沿方向）或 （3）通过以上计算，可知平均速度与时间间隔有关，不同的时间段内的平均速度是不同的，但当时间间隔越小时，平均速度就越趋近于瞬时速度。（4）同理可求出时的加速度为 或 由加速度和速度表达式可知：加速度是恒为负常数，在的情况下，速度值也恒为负值，且时，因此该质点从处由静止开始沿轴负方向作匀加速直线运动。（5）平均速度只适用于匀变速直线运动（即为常数），若不等于常数，就不能用此式来计算平均速度了。2.10 一质点作平面运动, 已知其运动方程为r = r(t) , 速度为v = v(t) 。试问在下列情况下, 质点作什么运动？分析与解答（1）径向速度，表明位置矢量的模 r不随时间变化，即r是常数，质点在平面内做圆周运动或静止不动，又由，说明质点的速度不为零，因此只能是圆周运动。（2）由说明速率v是常数，质点做速率不变的匀速运动，又，说明加速度不为零，即速度方向在变化，因此质点做匀速圆周运动。2.11 一质点在xOy 平面上运动,运动方程为x = 5 t + 3 , 式中t 以s 计，x、y 以m 计。(1) 以时间t为变量, 写出质点位置矢量的表示式;(2) 描画质点的运动轨迹;(3) 求出t = 1s 时刻和t = 2s 时刻的位置矢量和这段时间内质点的位移;(4) 求出质点速度的分量表示式, 计算t = 4s 时质点速度的大小和方向;(5) 求出质点加速度的分量表示式,计算t=4s 时质点加速度的大小和方向。分析与解答 （1） m（2）轨迹方程为 （3） m; m; m(4) 则t=4s时， （5） 则t=4s时，（沿y轴正方向）角量与线量2.12 用类比法讨论角量与线量的关系:(1) 为什么引入角量?(2) d,的方向如何确定?(3) 既然角位移, 角速度和角加速度都是矢量, 为什么在研究质点圆周运动时, 又可直接用代数式计算?(4) 列出v 与、a 与和a n 与的关系式。2.13 地球绕太阳公转, 可近似看做是圆周运动, 速率为30km/s , 半径为km, 则= rad/s; 法向加速度的矢量表达式 = , 其值为= m/。分析与解答 由角量与线量关系v=R得 法向加速度的表达式 法向加速度大小 或 2. 14 按照玻尔模型, 氢原子处于基态时, 核外电子绕核作圆周运动。电子离核的距离(玻尔半径) m, 速度为m/ s , 试求电子绕核运动的频率和向心加速度。分析与解答 由得 又得 2.15 北京正负电子对撞机的储存环的周长为240m , 加速电子以0.9999c沿环运行, 其中c 为真空中的光速。试求其向心加速度是重力加速度的多少倍。分析与解答：按题设条件 则R=38.2m。电子运动的向心加速度为 则 2.16 一张CD光盘音轨区域的内半径= 2.2cm,外半径为= 5.6cm,径向音轨密度为n= 650条/mm。在CD 唱机内,光盘每转一圈,激光头沿径向向外移动(扫描)一条音轨,激光束相对于光盘是以v =1.3m/s 的恒定速率运动的。试问:(1) 这张光盘的全部放音时间是多少?(2) 当激光束到达离盘心r = 5cm 处时, 光盘转动的角速度和角加速度各是多少?分析与解答 (1)光盘上的音轨是一条间距很小的螺旋线(即阿基米德螺线)。为此，求其总长度时，可先求距光盘中心为r，宽度为dr内的音轨长度dl，即 激光束扫过dl所需时间dt为 故光盘的全部放音时间t为（2）由得r=5.0cm处的为运动的相对性2.17 运动是绝对的, 如何描述运动则是相对的。所选的参考系不同, 描述的结果就不同, 试分析讨论:(1) 何谓参考系? 如何选取参考系? 何谓坐标系?(2) 在图2.1.2 中, 如果乙车也是向东行驶, 其他条件不变, 情况如何?(3) 汽车上的乘客在下列情况下,观察自由下落的雨滴,将得到怎样的结果。1 ) 汽车作匀速直线运动;2 ) 汽车以雨滴落地点为中心作顺时针匀速圆周运动。分析与解答 (1)、(2)（略）（3）1 )设汽车速度为，雨滴下落速度为，则车上乘客观测雨滴以速度 运动。2 ) 则车上乘客观测雨滴作向下顺时针螺旋运动2.18 一水手在静水中能以v = 1.10m/s 的速度划船前进。今欲横渡一条宽为1000m, 水流速度u = 0.55m/s 的长江河段。试问:(1) 他若要从出发点A 横渡, 并到达正对岸的B 点, 他应如何确定划行方向? 到达正对岸需要多少时间?(2) 在划速不变的情况下, 如果希望用最短的时间过江, 他应如何确定划行方向? 船到达对岸的位置在何处?分析与解答（1）根据题设条件，选船为研究对象（物），岸为静止参考系S，水为动参考系. 船对岸的绝对速度船为，水对岸的牵连速度为u，则船对水的相对速度应满足 要使船能到达正对岸的B点，则必须使的方向垂直于对岸(即沿A-B的方向)，于是，船的滑行方向就必须沿与V成角的方向才行。即 船到达B点所需的时间为 题2.18图（2）要使船过江所用的时间最短，在划速V不变的情况下，必须使有最大值。显然，此时图2.18（b）所示。则船过江的最短时间为设船到达下游的C点如图2.18（b），则 m列表法与图线法2.19 图线法应用很广, 它能形象地描述运动, 图线所包围的面积、斜率、交点或峰值等, 往往具有特定的物理含义, 有时, 还可以利用图线来比较、外推和预测未来的运动趋势。(1) 质点沿x 轴正方向作初速度的匀加速直线运动, 试定性画出其v t 曲线, 并说明曲线下包围的面积和曲线斜率各表示什么?(2) 定性画出质点的x t 曲线;(3) 图(a)示出了甲、乙两车的x t 曲线, 试讨论分析两车的运动情况, 并说明交点P 表示什么含意? 题2.19图(4) 乒乓球运动员经常采用高抛发球, 设从球抛出到球拍将球击出, 乒乓球的速度v 随t 变化的情况如图(b)所示(忽略球的转动)。试分析乒乓球在0s1.8s 间作什么运动, 为什么?分析与解答 （1）（2）(3)(略) （4）00.9s：v0，a0,减速运动（上抛阶段） 0.9s1.8s：v0,a0, 汽车作正向匀加速运动，路程m;AB段：a=0, v=5, 汽车作正向匀速运动，;BC段：0, 汽