高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 8.5 垂直关系课件 文 北师大版.ppt

8 5垂直关系 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 直线与平面垂直 知识梳理 任意 m n o a b a b 2 平面与平面垂直 1 平面与平面垂直的定义两个平面相交 如果它们所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 直二面角 2 判定定理与性质定理 垂线 交线 l 重要结论 1 若两平行线中的一条垂直于一个平面 则另一条也垂直于这个平面 2 若一条直线垂直于一个平面 则它垂直于这个平面内的任何一条直线 证明线线垂直的一个重要方法 3 垂直于同一条直线的两个平面平行 4 一条直线垂直于两平行平面中的一个 则这一条直线与另一个平面也垂直 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 直线l与平面 内的无数条直线都垂直 则l 2 垂直于同一个平面的两平面平行 3 直线a b 则a b 4 若 a a 5 若直线a 平面 直线b 则直线a与b垂直 1 教材改编 下列命题中不正确的是a 如果平面 平面 且直线l 平面 则直线l 平面 b 如果平面 平面 那么平面 内一定存在直线平行于平面 c 如果平面 不垂直于平面 那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 d 如果平面 平面 平面 平面 l 那么l 考点自测 答案 解析 根据面面垂直的性质 知a不正确 直线l可能平行平面 也可能在平面 内 2 设平面 与平面 相交于直线m 直线a在平面 内 直线b在平面 内 且b m 则 是 a b 的a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 答案 解析 若 因为 m b b m 所以根据两个平面垂直的性质定理可得b 又a 所以a b 反过来 当a m时 因为b m 且a m共面 一定有b a 但不能保证b 所以不能推出 3 设m n是两条不同的直线 是两个不同的平面 则a 若m n n 则m b 若m 则m c 若m n n 则m d 若m n n 则m 答案 解析 a中 由m n n 可得m 或m 或m与 相交 错误 b中 由m 可得m 或m 或m与 相交 错误 c中 由m n 可得m n 又n 则m 正确 d中 由m n n 可得m与 相交或m 或m 错误 4 2016 深圳模拟 在正四面体abcd中 e f g分别是bc cd db的中点 下面的结论不正确的是a bc 平面agfb eg 平面abfc 平面aef 平面bcdd 平面abf 平面bcd 答案 解析 易知点a在平面bcd上的投影在底面的中心 而中心不在ef上 所以平面aef 平面bcd错误 选c 5 教材改编 在三棱锥p abc中 点p在平面abc中的投影为点o 1 若pa pb pc 则点o是 abc的 心 答案 解析 外 如图1 连接oa ob oc op 在rt poa rt pob和rt poc中 pa pc pb 所以oa ob oc 即o为 abc的外心 2 若pa pb pb pc pc pa 则点o是 abc的 心 答案 解析 垂 如图2 延长ao bo co分别交bc ac ab于h d g pc pa pb pc pa pb p pc 平面pab ab 平面pab pc ab 又ab po po pc p ab 平面pgc 又cg 平面pgc ab cg 即cg为 abc边ab的高 同理可证bd ah为 abc底边上的高 即o为 abc的垂心 题型分类深度剖析 题型一直线与平面垂直的判定与性质 例1 2016 全国甲卷改编 如图 菱形abcd的对角线ac与bd交于点o ab 5 ac 6 点e f分别在ad cd上 ae cf ef交bd于点h 将 def沿ef折到 d ef的位置 od 证明 d h 平面abcd 证明 几何画板展示 由已知得ac bd ad cd 因此ef hd 从而ef d h 所以oh 1 d h dh 3 于是d h2 oh2 32 12 10 d o2 故d h oh 又d h ef 而oh ef h 且oh ef 平面abcd 所以d h 平面abcd 思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键 1 证明直线和平面垂直的常用方法有 判定定理 垂直于平面的传递性 a b a b 面面平行的性质 a a 面面垂直的性质 2 证明线面垂直的关键是证线线垂直 而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质 因此 判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想 跟踪训练1 2015 江苏 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 已知ac bc bc cc1 设ab1的中点为d b1c bc1 e 求证 1 de 平面aa1c1c 由题意知 e为b1c的中点 又d为ab1的中点 因此de ac 又因为de平面aa1c1c ac 平面aa1c1c 所以de 平面aa1c1c 证明 2 bc1 ab1 证明 又因为bc1 平面bcc1b1 所以bc1 ac 因为bc cc1 所以矩形bcc1b1是正方形 因此bc1 b1c 因为ac b1c 平面b1ac ac b1c c 所以bc1 平面b1ac 又因为ab1 平面b1ac 所以bc1 ab1 题型二平面与平面垂直的判定与性质 例2如图 四棱锥p abcd中 ab ac ab pa ab cd ab 2cd e f g m n分别为pb ab bc pd pc的中点 1 求证 ce 平面pad 证明 方法一取pa的中点h 连接eh dh 又e为pb的中点 所以eh綊ab 又cd綊ab 所以eh綊cd 所以四边形dceh是平行四边形 所以ce dh 又dh 平面pad ce平面pad 所以ce 平面pad 方法二连接cf 因为f为ab的中点 所以af ab 又cd ab 所以af cd 又af cd 所以四边形afcd为平行四边形 因此cf ad 又cf平面pad ad 平面pad 所以cf 平面pad 因为e f分别为pb ab的中点 所以ef pa 又ef平面pad pa 平面pad 所以ef 平面pad 因为cf ef f 故平面cef 平面pad 又ce 平面cef 所以ce 平面pad 2 求证 平面efg 平面emn 证明 因为e f分别为pb ab的中点 所以ef pa 又因为ab pa 所以ef ab 同理可证ab fg 又因为ef fg f ef 平面efg fg 平面efg 所以ab 平面efg 又因为m n分别为pd pc的中点 所以mn cd 又ab cd 所以mn ab 所以mn 平面efg 又因为mn 平面emn 所以平面efg 平面emn 引申探究 1 在本例条件下 证明 平面emn 平面pac 证明 因为ab pa ab ac 且pa ac a 所以ab 平面pac 又mn cd cd ab 所以mn ab 所以mn 平面pac 又mn 平面emn 所以平面emn 平面pac 2 在本例条件下 证明 平面efg 平面pac 证明 因为e f g分别为pb ab bc的中点 所以ef pa fg ac 又ef平面pac pa 平面pac 所以ef 平面pac 同理 fg 平面pac 又ef fg f 所以平面efg 平面pac 思维升华 1 判定面面垂直的方法 面面垂直的定义 面面垂直的判定定理 a a 2 在已知平面垂直时 一般要用性质定理进行转化 在一个平面内作交线的垂线 转化为线面垂直 然后进一步转化为线线垂直 跟踪训练2 2016 江苏 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 d e分别为ab bc的中点 点f在侧棱b1b上 且b1d a1f a1c1 a1b1 求证 1 直线de 平面a1c1f l 由已知 de为 abc的中位线 de ac 又由三棱柱的性质可得ac a1c1 de a1c1 又 de平面a1c1f a1c1 平面a1c1f de 平面a1c1f 证明 2 平面b1de 平面a1c1f 证明 在直三棱柱abc a1b1c1中 aa1 平面a1b1c1 aa1 a1c1 又 a1b1 a1c1 且a1b1 aa1 a1 a1c1 平面abb1a1 b1d 平面abb1a1 a1c1 b1d 又 a1f b1d 且a1f a1c1 a1 b1d 平面a1c1f 又 b1d 平面b1de 平面b1de 平面a1c1f 题型三直线 平面垂直的综合应用 例3如图所示 在四棱锥p abcd中 平面pad 平面abcd ab dc pad是等边三角形 已知bd 2ad 8 ab 2dc 4 1 设m是pc上的一点 求证 平面mbd 平面pad ad2 bd2 ab2 ad bd 又 平面pad 平面abcd 平面pad 平面abcd ad bd 平面abcd bd 平面pad 又bd 平面mbd 平面mbd 平面pad 证明 2 求四棱锥p abcd的体积 解答 过p作po ad 平面pad 平面abcd po 平面abcd 即po为四棱锥p abcd的高 又 pad是边长为4的等边三角形 po 2 在四边形abcd中 ab dc ab 2dc 四边形abcd为梯形 思维升华 垂直关系综合题的类型及解法 1 三种垂直的综合问题 一般通过作辅助线进行线线 线面 面面垂直间的转化 2 垂直与平行结合问题 求解时应注意平行 垂直的性质及判定的综合应用 3 垂直与体积结合问题 在求体积时 可根据线面垂直得到表示高的线段 进而求得体积 跟踪训练3 2016 全国乙卷 如图 已知正三棱锥p abc的侧面是直角三角形 pa 6 顶点p在平面abc内的正投影为点d d在平面pab内的正投影为点e 连接pe并延长交ab于点g 1 证明 g是ab的中点 证明 因为p在平面abc内的正投影为d 所以ab pd 因为d在平面pab内的正投影为e 所以ab de 因为pd de d pd de都在平面ped内 所以ab 平面ped 又pg在平面ped内 故ab pg 又由已知可得 pa pb 从而g是ab的中点 2 作出点e在平面pac内的正投影f 说明作法及理由 并求四面体pdef的体积 解答 在平面pab内 过点e作pb的平行线交pa于点f f即为e在平面pac内的正投影 理由如下 由已知可得pb pa pb pc 又ef pb 所以ef pa ef pc pc pa p pc与pa都在平面pac中 因此ef 平面pac 即点f为e在平面pac内的正投影 连接cg 因为p在平面abc内的正投影为d 所以d是正三角形abc的中心 由 1 知 g是ab的中点 所以d在cg上 故cd cg 由已知 正三棱锥的侧面是直角三角形且pa 6 可得de 2 pe 2 在等腰直角三角形efp中 可得ef pf 2 由题设可得pc 平面pab de 平面pab 典例 12分 如图所示 m n k分别是正方体abcd a1b1c1d1的棱ab cd c1d1的中点 求证 1 an 平面a1mk 2 平面a1b1c 平面a1mk 立体几何证明问题中的转化思想 思想与方法系列16 规范解答 思想方法指导 1 线面平行 垂直关系的证明问题的指导思想是线线 线面 面面关系的相互转化 交替使用平行 垂直的判定定理和性质定理 2 线线关系是线面关系 面面关系的基础 证明过程中要注意利用平面几何中的结论 如证明平行时常用的中位线 平行线分线段成比例 证明垂直时常用的等腰三角形的中线等 3 证明过程一定要严谨 使用定理时要对照条件 步骤书写要规范 返回 证明 1 如图所示 连接nk 在正方体abcd a1b1c1d1中 四边形aa1d1d dd1c1c都为正方形 aa1 dd1 aa1 dd1 c1d1 cd c1d1 cd 2分 n k分别为cd c1d1的中点 dn d1k dn d1k 四边形dd1kn为平行四边形 3分 kn dd1 kn dd1 aa1 kn aa1 kn 四边形aa1kn为平行四边形 an a1k 4分 a1k 平面a1mk an平面a1mk an 平面a1mk 6分 2 如图所示 连接bc1 在正方体abcd a1b1c1d1中 ab c1d1 ab c1d1 m k分别为ab c1d1的中点 bm c1k bm c1k 四边形bc1km为平行四边形 mk bc1 8分 在正方体abcd a1b1c1d1中 a1b1 平面bb1c1c bc1 平面bb1c1c a1b1 bc1 mk bc1 a1b1 mk 四边形bb1c1c为正方形 bc1 b1c 10分 mk b1c a1b1 平面a1b1c b1c 平面a1b1c a1b1 b1c b1 mk 平面a1b1c 又 mk 平面a1mk 平面a1b1c 平面a1mk 12分 返回 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 已知直线m n和平面 若 m 要使n 则应增加的条件是a n 且m nb n c n 且n md n 答案 解析 由面面垂直的性质定理知选c 2 设m n是两条不同的直线 是两个不同的平面 下列命题中正确的是a 若 m n 则m nb 若 m n 则m nc 若m n m n 则 d 若m m n n 则 答案 解析 a中 m与n可垂直 可异面 可平行 b中 m与n可平行 可异面 c中 若 仍然满足m n m n 故c错误 故选d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 2016 包头模拟 如图 三棱柱abc a1b1c1中 侧棱aa1垂直底面a1b1c1 底面三角形a1b1c1是正三角形 e是bc中点 则下列叙述正确的是a cc1与b1e是异面直线b ac 平面abb1a1c ae与b1c1是异面直线 且ae b1c1d a1c1 平面ab1e 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a不正确 因为cc1与b1e在同一个侧面中 故不是异面直线 b不正确 由题意知 上底面abc是一个正三角形 故不可能存在ac 平面abb1a1 c正确 因为ae b1c1为在两个平行平面中且不平行的两条直线 故它们是异面直线 d不正确 因为a1c1所在的平面与平面ab1e相交 且a1c1与交线有公共点 故a1c1 平面ab1e不正确 故选c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 正方体abcd a b c d 中 e为a c 的中点 则直线ce垂直于a a c b bdc a d d aa 答案 解析 连接b d b d a c b d cc 且a c cc c b d 平面cc e 而ce 平面cc e b d ce 又 bd b d bd ce 5 如图所示 直线pa垂直于 o所在的平面 abc内接于 o 且ab为 o的直径 点m为线段pb的中点 现有结论 bc pc om 平面apc 点b到平面pac的距离等于线段bc的长 其中正确的是a b c d 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对于 pa 平面abc pa bc ab为 o的直径 bc ac bc 平面pac 又pc 平面pac bc pc 对于 点m为线段pb的中点 om pa pa 平面pac om平面pac om 平面pac 对于 由 知bc 平面pac 线段bc的长即是点b到平面pac的距离 故 都正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6 如图 bac 90 pc 平面abc 则在 abc和 pac的边所在的直线中 与pc垂直的直线有 与ap垂直的直线有 答案 解析 ab bc ac ab pc 平面abc pc垂直于直线ab bc ac ab ac ab pc ac pc c ab 平面pac 与ap垂直的直线是ab 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 如图所示 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd 且底面各边都相等 m是pc上的一动点 当点m满足 时 平面mbd 平面pcd 只要填写一个你认为是正确的条件即可 答案 解析 dm pc 或bm pc等 由定理可知 bd pc 当dm pc 或bm pc 时 即有pc 平面mbd 而pc 平面pcd 平面mbd 平面pcd 8 如图 pa 圆o所在的平面 ab是圆o的直径 c是圆o上的一点 e f分别是点a在pb pc上的射影 给出下列结论 af pb ef pb af bc ae 平面pbc 其中正确结论的序号是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意知pa 平面abc pa bc 又ac bc 且pa ac a bc 平面pac bc af af pc 且bc pc c af 平面pbc af pb 又ae pb ae af a pb 平面aef pb ef 故 正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 已知 是三个不同的平面 命题 且 是真命题 如果把 中的任意两个换成直线 另一个保持不变 在所得的所有新命题中 真命题有 个 答案 解析 2 若 换为直线a b 则命题化为 a b 且a b 此命题为真命题 若 换为直线a b 则命题化为 a 且a b b 此命题为假命题 若 换为直线a b 则命题化为 a 且b a b 此命题为真命题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 2016 四川 如图 在四棱锥p abcd中 pa cd ad bc adc pab 90 bc cd ad 1 在平面pad内找一点m 使得直线cm 平面pab 并说明理由 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 取棱ad的中点m m 平面pad 点m即为所求的一个点 理由如下 连接bm cm 所以bc am 且bc am 所以四边形amcb是平行四边形 从而cm ab 又ab 平面pab cm平面pab 所以cm 平面pab 说明 取棱pd的中点n 则所找的点可以是直线mn上任意一点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 证明 平面pab 平面pbd 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由已知 pa ab pa cd 所以直线ab与cd相交 所以pa 平面abcd 从而pa bd 又bc md 且bc md 所以四边形bcdm是平行四边形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1