湖北省武汉市高三数学上学期9月调考试卷 理（含解析）.doc

湖北省武汉市2015届高 三上学期9月调考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）=（）a1ib1+ic1+id1i2（5分）已知集合a=1，a，b=1，2，3，则“a=3”是“ab“的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件3（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）a=0.4x+2.3b=2x2.4c=2x+9.5d=0.3x+4.44（5分）已知向量、的夹角为45，且|=1，|2|=，则|=（）a3b2cd15（5分）若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）ab5cd46（5分）在abc中，ac=，bc=2，b=60则bc边上的高等于（）abcd7（5分）x、y满足约束条件，若z=yax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）a或1b2或c2或1d2或18（5分）如图，互不相同的点a1，a2，an，和b1，b2，bn，分别在角o的两条边上，所有anbn相互平行，且所有梯形anbnbn+1an+1的面积均相等设oan=an，若a1=1，a2=2，则a9=（）abc5d29（5分）已知f为抛物线y2=x的焦点，点a，b在该抛物线上且位于x轴的两侧，=2（其中o为坐标原点），则afo与bfo面积之和的最小值是（）abcd10（5分）已知函数f（x）=x2+ex（x0）与g（x）=x2+ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）a（，）b（0，）c（，）d（，）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11（5分）设二项式的展开式中常数项为a，则a=12（5分）如果执行如图所示的程序框图，输入x=1，n=3，则输出的数s=13（5分）正方形的四个顶点a（1，1），b（1，1），c（1，1），d（1，1）分别在抛物线y=x2和y=x2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形abcd中，则质点落在图中阴影区域的概率是14（5分）已知椭圆c：+=1，点m与c的焦点不重合若m关于c的焦点的对称点分别为a，b，线段mn的中点在c上，则|an|+|bn|=15（5分）平面几何中有如下结论：如图1，设o是等腰rtabc底边bc的中点，ab=1，过点o的动直线与两腰或其延长线的交点分别为q，r，则有+=2类比此结论，将其拓展到空间有：如图2，设o是正三棱锥abcd底面bcd的中心，ab，ac，ad两两垂直，ab=1，过点o的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为q，r，p，则有三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）（）若sin（+）=，且0，求f（）的值；（）当f（x）取得最小值时，求自变量x的集合17（12分）已知数列an的前n项和为sn，a1=1，an0，anan+1=sn1，其中为常数（）证明：an+2an=（）是否存在，使得an为等差数列？并说明理由18（12分）如图，在三棱锥pabq中，pb平面abq，ba=bp=bq，d，c，e，f分别是aq，bq，ap，bp的中点，aq=2bd，pd与eq交于点g，pc与fq交于点h，连结gh（）求证：abgh；（）求平面pab与平面pcd所成角的正弦值19（12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量（kg）300500概率0.50.5作物市场价格（元/kg）610概率0.40.6（）设x表示在这块地上种植1季此作物的利润，求x的分布列；（）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率20（13分）如图，动点m到两定点a（1，0）、b（2，0）构成mab，且mba=2mab，设动点m的轨迹为c（）求轨迹c的方程；（）设直线y=2x+m与y轴交于点p，与轨迹c相交于点q、r，且|pq|pr|，求的取值范围21（14分）已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3（）求实数a的值；（）若f（x）kx2对任意x0成立，求实数k的取值范围；（）当nm1（m，nn*）时，证明：湖北省武汉市2015届高三上学期9月调考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）=（）a1ib1+ic1+id1i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：计算题分析：利用分式的分母平方，复数分母实数化，运算求得结果解答：解：=1+i故选 b点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数的乘方运算，考查计算能力2（5分）已知集合a=1，a，b=1，2，3，则“a=3”是“ab“的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；集合的包含关系判断及应用 专题：简易逻辑分析：先有a=3成立判断是否能推出ab成立，反之判断“ab”成立是否能推出a=3成立；利用充要条件的题意得到结论解答：解：当a=3时，a=1，3所以ab，即a=3能推出ab；反之当ab时，所以a=3或a=2，所以ab成立，推不出a=3故“a=3”是“ab”的充分不必要条件故选a点评：本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件3（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）a=0.4x+2.3b=2x2.4c=2x+9.5d=0.3x+4.4考点：线性回归方程 专题：计算题；概率与统计分析：变量x与y正相关，可以排除c，d；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程解答：解：变量x与y正相关，可以排除c，d；样本平均数=3，=3.5，代入a符合，b不符合，故选：a点评：本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键4（5分）已知向量、的夹角为45，且|=1，|2|=，则|=（）a3b2cd1考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题；平面向量及应用分析：将|2|=平方，然后将夹角与|=1代入，得到|的方程，解方程可得解答：解：因为、的夹角为45，且|=1，|2|=，所以424+2=10，即|22|6=0，解得|=3或|=（舍），故选a点评：本题解题的关键是将模转化为数量积，从而得到所求向量模的方程，利用到了方程的思想5（5分）若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）ab5cd4考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题分析：先根据三视图判断此几何体为直六棱柱，再分别计算棱柱的底面积和高，最后由棱柱的体积计算公式求得结果解答：解：由图可知，此几何体为直六棱柱，底面六边形可看做两个全等的等腰梯形，上底边为1，下底边为3，高为1，棱柱的底面积为2=4，棱柱的高为1此几何体的体积为v=41=4故选d点评：本题主要考查了简单几何体的结构特征及其三视图，棱柱的体积计算公式等基础知识，属基础题6（5分）在abc中，ac=，bc=2，b=60则bc边上的高等于（）abcd考点：解三角形 专题：计算题；压轴题分析：在abc中，由余弦定理可得，ac2=ab2+bc22abbccosb可求ab=3，作adbc，则在rtabd中，ad=absinb解答：解：在abc中，由余弦定理可得，ac2=ab2+bc22abbccosb把已知ac=，bc=2 b=60代入可得，7=ab2+44ab整理可得，ab22ab3=0ab=3作adbc垂足为drtabd中，ad=absin60=，即bc边上的高为故选b点评：本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，解答本题的关键是求出ab，属于基础试题7（5分）x、y满足约束条件，若z=yax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）a或1b2或c2或1d2或1考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分abc）由z=yax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在a处取得最大值，不满足条件，若a0，目标函数y=ax+z的斜率k=a0，要使z=yax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2xy+2=0平行，此时a=2，若a0，目标函数y=ax+z的斜率k=a0，要使z=yax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y2=0，平行，此时a=1，综上a=1或a=2，故选：d点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义8（5分）如图，互不相同的点a1，a2，an，和b1，b2，bn，分别在角o的两条边上，所有anbn相互平行，且所有梯形anbnbn+1an+1的面积均相等设oan=an，若a1=1，a2=2，则a9=（）abc5d2考点：平行线分线段成比例定理 专题：立体几何分析：本题可以根据所有anbn相互平行，且所有梯形anbnbn+1an+1的面积均相等然后利用所有的三角形都相似，面积比等于相似比的平方，得出一系列的等式，然后利用累乘法求得通项，进一步求得结果解答：解：依题意：互不相同的点a1，a2，an，和b1，b2，bn，分别在角o的两条边上则令=m（m0）所有anbn相互平行，且所有梯形anbnbn+1an+1的面积均相等利用所有的三角形都相似，面积比等于相似比的平方若a1=1，a2=2，则令=m（m0）=3m当n2时 =故 =以上各式累乘可得： 由于a1=1a9=5故选：c点评：本题应用知识较多：平行线分线段成比例定理，相似三角形面积比等于相似比的平方，数列通项中的累乘法，9（5分）已知f为抛物线y2=x的焦点，点a，b在该抛物线上且位于x轴的两侧，=2（其中o为坐标原点），则afo与bfo面积之和的最小值是（）abcd考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题解答：解：设直线ab的方程为：x=ty+m，点a（x1，y1），b（x2，y2），直线ab与x轴的交点为m（0，m），x=ty+m代入y2=x，可得y2tym=0，根据韦达定理有y1y2=m，=2，x1x2+y1y2=2，从而（y1y2）2+y1y22=0，点a，b位于x轴的两侧，y1y2=2，故m=2不妨令点a在x轴上方，则y10，又f（，0），sbfo+safo=y1+|y2=（y1+）2=当且仅当y1=，即y1=时，取“=”号，bfo与afo面积之和的最小值是，故选：b点评：求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”10（5分）已知函数f（x）=x2+ex（x0）与g（x）=x2+ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）a（，）b（0，）c（，）d（，）考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：由题意可得ex0ln（x0+a）=0有负根，函数h（x）=exln（x+a）为增函数，由此能求出a的取值范围解答：解：由题意可得：存在x0（，0），满足x02+ex0=（x0）2+ln（x0+a），即ex0ln（x0+a）=0有负根，当x趋近于负无穷大时，ex0ln（x0+a）也趋近于负无穷大，且函数h（x）=exln（x+a）为增函数，h（0）=lna0，lnaln，0a，a的取值范围是（0，），故选：b点评：本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数的零点，函数单调性的性质，函数的极限，是函数图象和性质较为综合的应用，难度大二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11（5分）设二项式的展开式中常数项为a，则a=10考点：二项式系数的性质 专题：排列组合分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值解答：解：二项式的展开式的通项公式为 tr+1=（1）r=（1）r令=0，解得r=3，故展开式的常数项为=10，故答案为10点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题12（5分）如果执行如图所示的程序框图，输入x=1，n=3，则输出的数s=4考点：循环结构 专题：计算题分析：列出循环过程中s与k的数值，不满足判断框的条件即可结束循环解答：解：判断前x=1，n=3，i=2，第1次判断后循环，s=6+2+1=3，i=1，第2次判断后s=5，i=0，第3次判断后s=4，i=1，第4次判断后10，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：4故答案为：4点评：本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力13（5分）正方形的四个顶点a（1，1），b（1，1），c（1，1），d（1，1）分别在抛物线y=x2和y=x2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形abcd中，则质点落在图中阴影区域的概率是考点：几何概型 专题：概率与统计分析：利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论解答：解：a（1，1），b（1，1），c（1，1），d（1，1），正方体的abcd的面积s=22=4，根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积s=2=2=2（1）（1+）=2=，则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是故答案为：点评：本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键14（5分）已知椭圆c：+=1，点m与c的焦点不重合若m关于c的焦点的对称点分别为a，b，线段mn的中点在c上，则|an|+|bn|=8考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设椭圆的两焦点为f1，f2，mn的中点为d，连接df1，df2，根据椭圆的定义知：|df1|+|df2|=4，并且容易说明，所以这样即可求得|an|+|bn|解答：解：设椭圆的两焦点分别为f1，f2，线段mn的中点为d，如图所示，连接df1，df2：由已知条件知：df1是man的中位线，df2是mbn的中位线；，且根据椭圆的定义知|df1|+|df2|=4；|an|+|bn|=8故答案为：8点评：考查椭圆的定义：|pf1|+|pf2|=2a，（a0），及标准方程，三角形的中位线15（5分）平面几何中有如下结论：如图1，设o是等腰rtabc底边bc的中点，ab=1，过点o的动直线与两腰或其延长线的交点分别为q，r，则有+=2类比此结论，将其拓展到空间有：如图2，设o是正三棱锥abcd底面bcd的中心，ab，ac，ad两两垂直，ab=1，过点o的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为q，r，p，则有+=3考点：类比推理 专题：计算题；推理和证明分析：从结构形式上类比，即可得出结论解答：解：设o是等腰rtabc底边bc的中点，ab=1，过点o的动直线与两腰或其延长线的交点分别为q，r，则有+=2类比此结论，将其拓展到空间有，设o是正三棱锥abcd底面bcd的中心，ab，ac，ad两两垂直，ab=1，过点o的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为q，r，p，则有+=3故答案为：+=3点评：本题的考点是类比推理，考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）（）若sin（+）=，且0，求f（）的值；（）当f（x）取得最小值时，求自变量x的集合考点：三角函数中的恒等变换应用 专题：三角函数的求值分析：（）由得范围求得+的范围，再由sin（+）=求得的值，把代入f（x）=cosx（sinx+cosx）求得f（）的值；（）化简f（x）为y=asin（x+）+b的形式，求其最小值并得到使y取得最小值时的自变量x的集合解答：解：（）0，+sin（+）=，+=，即=f（）=cos（sin+cos）=cos（sin+cos）=；（）f（x）=sinxcosx+cos2x=sin2x+=sin2x+cos2x=sin（2x+）当2x+=2k，kz，即x=k，kz时，f（x）取得最小值，此时自变量x的集合为x|x=k，kz点评：本题考查了三角函数中的恒等变换的应用，考查了三角函数的倍角公式与和差化积公式，考查了三角函数的最值，是中档题17（12分）已知数列an的前n项和为sn，a1=1，an0，anan+1=sn1，其中为常数（）证明：an+2an=（）是否存在，使得an为等差数列？并说明理由考点：数列递推式；等差关系的确定 专题：等差数列与等比数列分析：（）利用anan+1=sn1，an+1an+2=sn+11，相减即可得出；（）对分类讨论：=0直接验证即可；0，假设存在，使得an为等差数列，设公差为d可得=an+2an=（an+2an+1）+（an+1an）=2d，得到sn=，根据an为等差数列的充要条件是，解得即可解答：（）证明：anan+1=sn1，an+1an+2=sn+11，an+1（an+2an）=an+1an+10，an+2an=（）解：当=0时，anan+1=1，假设an为等差数列，设公差为d则an+2an=0，2d=0，解得d=0，an=an+1=1，12=1，矛盾，因此=0时an不为等差数列当0时，假设存在，使得an为等差数列，设公差为d则=an+2an=（an+2an+1）+（an+1an）=2d，sn=1+=，根据an为等差数列的充要条件是，解得=4此时可得，an=2n1因此存在=4，使得an为等差数列点评：本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题18（12分）如图，在三棱锥pabq中，pb平面abq，ba=bp=bq，d，c，e，f分别是aq，bq，ap，bp的中点，aq=2bd，pd与eq交于点g，pc与fq交于点h，连结gh（）求证：abgh；（）求平面pab与平面pcd所成角的正弦值考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）由已知得efab，dcab，从而efdc进而ef平面pcd 由此能证明abgh（）以b为坐标原点，分别以ba，bq，bp所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系利用向量法能求出平面pab与平面pcd所成角的正弦值解答：（本小题满分12分）（）证明：d，c，e，f分别是aq，bq，ap，bp的中点，（1分）efab，dcab，（2分）efdc又ef平面pcd，dc平面pcd，ef平面pcd （3分）又ef平面efq，平面efq平面pcd=gh，（4分）efgh又efab，abgh（6分）（）解：在abq中，aq=2bd，ad=dq，abq=90，即abbq又pb平面abq，ba，bq，bp两两垂直以b为坐标原点，分别以ba，bq，bp所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设ba=bq=bp=2，则b（0，0，0），q（0，2，0），d（1，1，0），c（0，1，0），p（0，0，2），=（1，1，2），=（0，1，2）（8分）设平面pcd的一个法向量为=（x，y，z），由=0，=0，得，取z=1，得=（0，2，1）（10分）又=（0，2，0）为平面pab的一个法向量，cosn，=设平面pab与平面pcd所成角为，则sin=故平面pab与平面pcd所成角的正弦值为（12分）点评：本题考查两条直线平行的证明，考查平面与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用19（12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量（kg）300500概率0.50.5作物市场价格（元/kg）610概率0.40.6（）设x表示在这块地上种植1季此作物的利润，求x的分布列；（）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率考点：离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式 专题：概率与统计分析：（）分别求出对应的概率，即可求x的分布列；（）分别求出3季中有2季的利润不少于2000元的概率和3季中利润不少于2000元的概率，利用概率相加即可得到结论解答：解：（）设a表示事件“作物产量为300kg”，b表示事件“作物市场价格为6元/kg”，则p（a）=0.5，p（b）=0.4，利润=产量市场价格成本，x的所有值为：500101000=4000，50061000=2000，300101000=2000，30061000=800，则p（x=4000）=p（）p（）=（10.5）（10.4）=0.3，p（x=2000）=p（）p（b）+p（a）p（）=（10.5）0.4+0.5（10.4）=0.5，p（x=800）=p（a）p（b）=0.50.4=0.2，则x的分布列为： x4000 2000 800 p 0.3 0.50.2 （）设ci表示事件“第i季利润不少于2000元”（i=1，2，3），则c1，c2，c3相互独立，由（）知，p（ci）=p（x=4000）+p（x=2000）=0.3+0.5=0.8（i=1，2，3），3季的利润均不少于2000的概率为p（c1c2c3）=p（c1）p（c2）p（c3）=0.83=0.512，3季的利润有2季不少于2000的概率为p（c2c3）+p（c1c3）+p（c1c2）=30.820.2=0.384，综上：这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为：0.512+0.384=0.896点评：本题主要考查随机变量的分布列及其概率的计算，考查学生的计算能力20（13分）如图，动点m到两定点a（1，0）、b（2，0）构成mab，且mba=2mab，设动点m的轨迹为c（）求轨迹c的方程；（）设直线y=2x+m与y轴交于点p，与轨迹c相交于点q、r，且|pq|pr|，求的取值范围考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题 专题：综合题；压轴题分析：（）设出点m（x，y），分类讨论，根据mba=2mab，利用正切函数公式，建立方程化简即可得到点m的轨迹方程；（）直线y=2x+m与3x2y23=0（x1）联立，消元可得x24mx+m2+3=0，利用有两根且均在（1，+）内可知，m1，m2设q，r的坐标，求出xr，xq，利用，即可确定的取值范围解答：解：（）设m的坐标为（x，y），显然有x0，且y0当mba=90时，点m的坐标为（2，3）当mba90时，x2