函数问题常见错误透析及对策.doc

函数问题常见错误透析及对策一、求定义域和用定义域中的问题许多同学在学习函数这一内容时，只注意记住函数的解析式，会运用函数的一些性质，对函数的三要素(定义、值域、解析式)，只抓住一个要素，因此，在解题中错误百出。特别是定义域 ，在任何时侯都不要忘记，否则，将出许多错误。例1如图，用长为的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的一边长为2,求此框架围成的封闭图形的面积与的函数关系。错解：由题意得 = =原因分析：本题写的是函数关系，因此，还要写出它的定义域 ，由得。补上定义域就对了。对策：在解函数题 时一定要注意定义域 ，特别在解应用题时，定义域还与实际问题有关。有的同学只考虑解析式有意义的范围，这是不对的。二、在求值域中的错误例2 求函数的值域 错解：令则 ， （1）关于t的方程（1）应有实数解，得，即原因分析：应用 只保证方程(1)在实数范围 内有解，而本题要求方程(1)是在-1,1内有解。上面解法忽略了。正解:令则-1，1，当时-1，1； 当时，=0 (2) 设若在-1,1内有一解，则且若(2)在-1，1有两解，则得综上所述为求值域 对策：在初中经常说错的话是“某方程无解”正确的说法是“方程无实数解”，在高中方程的解的情况常与范围有关，特别是隐含的范围，求值域若用判别式法，要考虑方程在什么范围内有解。例3 求函数的值域 错解：由 得 (*) ，当 时， 不满足原方程 ,取不到.原因分析：(1)判别式大于或等于零只能使(*)有实数解，而原方程 要求有大于1的实数解。(2)对进行平方时产生了增根。与不同解。正确解法：令 则时对策：求值域一般跟据函数的类型，选用不同的求法，判别式法常用在如的类型 。含有根号的函数一般用换元法。三 判定函数奇偶性中的错误例4 ：判断函数的奇偶性错解：而是奇函数，是奇函数。原因分析：一个函数是奇函数还是偶函数的必要条件是定义域关于原点对称。若不对称，则为非奇非偶函数。上题错解是因为：一是不考虑定义域 ，二是原函数与不是同一函数。正确解法：由得的定义域 为或它不是关于原点对称的区间，所以为非奇非偶函数防错对策：函数的奇偶性是在整个定义域内的性质，判断函数的奇偶性必先看定义域是否关于原点对称，小心 错误，如 是一个奇函数。四 学习函数单调性中的错误(1) 认识概念的误区：误认为单调性一定在整个定义域内考虑，实际上单调性是指定义域中某个区间内的性质，这个区间可能是定义域 ，也可能不是。例5：求函数的单调区间错解 ：设，且，则 (*)因为不能确定它的符号，所以，无单调区间。原因分析：在整个定义域内不能定它的符号，但是在较小的区间内可以定它的符号。正确解法：(*)式的符号由确定，当-1，1时函数递增，和都递减。对策：判定或证明单调性要注意步骤，也要注意区间，有时要分成小区间讨论。同时上式也不能写成在上递减。(2)复合函数单调性的判定例6 求函数的单调区间错解：令，因为在上是减函数，在上是减函数，在是增函数。所以 函数在上是减函数，在上是增函数原因分析：未注意正确解法：由已知得 且在上是减函数，在上是增函数，所以，函数在上是增函数，在是减函数。对策：求函数的单调性，方法这里不讲，特别注意函数的定义域 M与函数的值域 D之间的关系是DM(3)“组合函数”中的问题 从函数与的单调性，不能完全确定+, /, 不要想当然地用某些未证明的结例如在R上都是增函数，但是，+=在R是增函数，=在R 是减函数，=与/=在R 上不能确定。因此，这问题必须具体问题具体分析。五 求函数周期性中的问题1 学习定义的误区：一方面是对定义的理解不透，二方面是误认为只有三角函数才是周期函数 例7 设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，都有 （1）设求 (2) 证明是周期函数错解：有的学生认为没有哪个三角函数满足，不会证明。这些学生认为只有三角函数才是周期函，因为在三角函数部分才讲周期性。有的学生错解：因为函数图象关于对称，且是偶函数，得 ，所以函数是周期函数T=2。原因分析：周期定义中的，是定义域中的任意一个数，这里取持殊值 。正确解法：因为函数的图象关于直线对称，所以 又 所以是R 上的周期函数，且2是它的一个周期。对策：一定要彻底理解周期的定义，对周期性与对称性的关系参看相关文章的论述。2 、求最小正周期的误区 例8 求函数 的最小正周期错解：因为函数与函数的最小正周期都是p ，因此，函数的最小正周期是p 。原因分析：乱用一些没证明的结论。