群的不可约表示.doc

群的不可约表示建立了二维幺正幺模矩阵与欧勒角的关系后，本节将给出SU(2)群的不可约表示. SU(2)的群元素为二阶幺模幺正矩阵, .设二维空间的基元为, 是与U相联系的变换算符，则亦即 (1)容易证明 (2)为了将SU(2)的表示空间的基矢与球谐函数相联系，通常将其取成 (3)选择满足下列条件 (4)亦即 (5)下面将证明，若取 (6)(4)式或(5)式成立, 因为若将(6)代入(5)式得令 ，则上式变为： 因此（4）或（5）式得以证明.由于为SU(2)群的表示空间的基矢，所以有： （7）其中就是SU(2)群的表示矩阵。而由(1)与(3)两式知：由二项式定理 则上式变为：.令，当时，当时，则上式可变 写成对与的求和，得：则上式与（7）式比较知： （8） 下面来讨论一下，表示的一些性质. (1) 由于 共个取值，所以是维的.(2) 表示是幺正的. 由(4)与(7)得：亦即 因此 或 ， 故 （9）所以表示是幺正的.(3) 是不可约的.由舒尔引理1知，如果矩阵M与所有的都对易，则当M为常数矩阵时，就是不可约表示. 为此我们求出两种特殊情况下的矩阵. 取，则由（8）式知，只有当且时才不等于零，因此得： （10）其次在(8)式中，令，则只有当，才不为零，所以 （11）如果M与(10)式所示的对易， 则由于(10)式的是一非常数对角矩阵，所以M也应是一对角矩阵，即： （12）进一步，若M还与(11)式形式的矩阵对易，即：，或写成矩阵元的形式由(12)式，上式变为：由于矩阵元不恒等于零，所以，即M为一常数矩阵，所以 （13）因此是一不可约表示.(4) （14）在(8)式中作代换，上式就可以得到证明.前面已经谈到，SO(3)与 SU(2)同态，即对SO(3)群的每一元素R，都有SU(2)中的两个元素与之对应. 反过来，SU(2)中的每一个元素，亦与SO(3)群的每一元素相对应. 这样SU(2)群的每一个表示亦是SO(3)群的表示. 当取整数时，由(14)式知，这时将给出SO(3)群的单值表示，而这时SO(3)群将只有或一个表示，但当取半奇数时，由于，所以这时将给出SO(3)群的双值表示，即这时SO(3)群将有两个表示.5.4 旋转群SO(3)的不可约表示上节我们得到了SU(2)的不可约表示，由于SU(2)与SO(3)群同态，所以SU(2)的表示也是SO(3)群的表示. 这节我们将给出以欧勒角为群参数的SO(3)的表示.SU(2)的群元素为取凯莱克莱因参数，则 ， （1）这样，就与相对应. 因此，只要将的不可约表示矩阵中的与按(1)式换成，就可得到的表示矩阵. 完成这种代换得： (2)下面我们给出几种简单情况下，的具体表达式.(1) 当时，(2)式中仅有的项不为零. 所以这时 （3）（2）当时，(2)式仅有项不为零，所以这时 （4） (3) 当时，（2）式中，所以 （5）(4) 当时 如按照(2)式： （5） 当时，其表示矩阵为 如按照(2)式 三维旋转群SO(3)的自身表示与不可约表示是等价，即 （8）其中 （9）例如，若在（7）式中取，则得：则 同样的方法可以证明: 其中 对于任意的旋转， 容易证明： 即自身表示与等价. 所以与是同一表示在不同坐标系下的不同表示形式. 是在直角坐标系下的形式，而是在坐标基矢为的坐标系中的表示形式. 其中由5.3节（3）式定义为：.由(2)式知，绕y轴转动的表示矩阵元为： (10)是群元素的表示矩阵.具有明显的一些对称性，例如：(1) (2).(3) .(4) 如，由(10)式知： 显然与之间有关系.5.5 标量场与旋量场及其变换算符物理学中所涉及的物理量常常是在空间坐标转动变换下具有确定变换性质的量. 这些有确定变换性质的量有标量、旋量与矢量等.这里我们将从旋转群SO(3)的表示的角度出发来讨论它们.在空间坐标作转动时，一个物理量S，如果按的表示变换，即 ， （1）即S在空间坐标转动变换下是不变的，那么我们称S为空间转动变换下的标量.如果一个物理量具有两个分量，在空间坐标作转动时，它满足关系， ， （2）则我们称之为旋量.如果一个物理量具有三个分量，在坐标转动变换下，它满足关系 （3）如果上述标量、旋量和矢量本身又是空间坐标的函数，且它们在空间某区域内的每一点都具有确定的取值，则它们就分别被称为标量场、旋量场与矢量场. 如静电场中的电势是标量场，电磁场强、及矢势都是矢量场. 量子力学中的电子自旋波函数(二分量)是一个旋量场.在空间坐标的转动变换下，矢量作变换 而标量场的作变换： 其中是与变换R相联系的标量场的转动算符. 由于在转动变换下保持不变, 所以有 或 （4）上式说明，转动后函数在处的值与转动前在处的值是相等的.对于旋量场，在空间坐标作旋转时，除了其自变量要作如(4)式所示的变换外，的各分量亦要按(2)式作变换，所以对于旋量场，其变换形式应为： , . （5）对于矢量场，其变换形式为： , . （6）一般情况下，如果场有个分量， 即，则在坐标转动变换下其变换形式为: (7)通常称为阶旋量场. 按照这种定义，标量场为零阶旋量场，二分量旋量场为阶旋量场，矢量场为1阶旋量场.下面，我们来求与的表达式. 先求, 为此考虑绕z轴的旋转.则由(4)式知： （8）其中 ， (9)在(8)式两边对求导得： .由于是任意的，所以由上式可得： 其中 为轨道角动量的z分量算符，于是得： . (10)这就是与对应的函数变换算符. 由(8)式知： . (11) 一般情况下，若坐标系作旋转，则由于 ，则与其相应的函数变换算符为： . (12)下面再来求旋量场的函数变换算符.在的坐标旋转变换下，旋量场的变换按(5)式变换，即