中考数学一轮复习 第八章 专题拓展 8.6 运动型问题（试卷部分）课件.ppt

8 6运动型问题 中考数学 河北专用 一 点动 2017吉林长春 23 10分 如图1 在rt abc中 c 90 ab 10 bc 6 点p从点a出发 沿折线ab bc向终点c运动 在ab上以每秒5个单位长度的速度运动 在bc上以每秒3个单位长度的速度运动 点q从点c出发 沿ca方向以每秒个单位长度的速度运动 p q两点同时出发 当点p停止时 点q也随之停止 设点p运动的时间为t秒 1 求线段aq的长 用含t的代数式表示 2 连接pq 当pq与 abc的一边平行时 求t的值 3 如图2 过点p作pe ac于点e 以pe eq为邻边作矩形peqf 点d为ac的中点 连接df 设矩形peqf与 abc重叠部分图形的面积为s 当点q在线段cd上运动时 求s与t之间的函数关系式 直接写出df将矩形peqf分成两部分的面积比为1 2时t的值 好题精练 解析 1 在rt abc中 c 90 ab 10 bc 6 ac 8 cq t aq 8 t 0 t 4 2 如图 当pq bc时 apq abc 即 解得t 如图 当pq ab时 cpq cba bp 3 t 2 cp 6 3 t 2 3t 12 解得t 3 综上所述 t 或3时 pq与 abc的一边平行 3 当点p在ab上时 sina cosa pe ap sina 3t ae ap cosa 4t i 当0 t 时 如图 eq ac ae cq 8 4t t 8 t s pe eq 3t 16t2 24t ii 当 t 2时 如图 qg bc 即 qg 6 t qe ae cq ac 4t t 8 t 8 s qg pe qe 6 t 3t t2 8t 24 iii 当2 t 3时 如图 ph ac 即 ph 4t 8 fh qc ph t 4t 8 t 8 pc fq 3t 12 qg 6 t fg 3t 12 6 t 2t 6 s s矩形pcqf s fgh cq pc fh fg t 3t 12 2t 6 t2 32t 24 或 详解 当0 t 1时 如图 点e在点d的左侧 s dfq s矩形peqf 若df将矩形peqf分成两部分的面积比为1 2 则s dfq s矩形peqf s矩形peqf fq qe s dfq fq dq dq qe 即4 t 解得t 当1 t 时 如图 点e在点d的右侧 s pmf s矩形peqf 若df将矩形peqf分成两部分的面积比为1 2 则s pmf s矩形peqf s矩形peqf fq qe s pmf pm qe pm pe 易知 dme fmp 即 解得t 综上所述 当t 或时 若df将矩形peqf分成两部分的面积比为1 2 思路分析 1 利用勾股定理先求出ac的长 根据aq ac cq即可得结果 2 分两种情况讨论 根据相似三角形对应边成比例分别列出方程求解即可 3 分三种情况讨论 0 t t 2 2 t 3 分两种情况 当0 t 1时 若df将矩形peqf分成两部分的面积比为1 2 则可得dq qe 列出方程求得t 当1 t 时 若df将矩形peqf分成两部分的面积比为1 2 则可得pm pe 进而由相似三角形的性质列出方程求得t 难点突破若存在df将矩形peqf分成两部分的面积比为1 2 则需将面积关系转化为线段间的关系 进而列出含t的等量关系式 从而得出结果 二 线动 1 2018湖北黄冈 24 14分 如图 在直角坐标系xoy中 菱形oabc的边oa在x轴正半轴上 点b c在第一象限 c 120 边长oa 8 点m从原点o出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度做匀速运动 点n从a出发沿边ab bc co以每秒2个单位长的速度做匀速运动 过点m作直线mp垂直于x轴并交折线ocb于p 交对角线ob于q 点m和点n同时出发 分别沿各自路线运动 点n运动到原点o时 m和n两点同时停止运动 1 当t 2时 求线段pq的长 2 求t为何值时 点p与n重合 3 设 apn的面积为s 求s与t的函数关系式及t的取值范围 解析 1 在菱形oabc中 易知 aoc 60 aoq 30 当t 2时 om 2 pm 2 qm pq 2 当t 4时 an po 2om 2t t 4时 p点与c点重合 n到达b点 故点p n在边bc上相遇 设t秒时p与n重合 则 t 4 2 t 4 8 解得t 即t 秒时 p与n重合 3 当0 t 4时 pn oa 8 且pn oa pm t s apn 8 t 4t 当4 t 时 pn 8 3 t 4 20 3t s apn 4 20 3t 40 6t 当 t 8时 pn 3 t 4 8 3t 20 s apn 4 3t 20 6t 40 当8 t 12时 on 24 2t n到om的距离为12 t n到cp的距离为4 12 t t 8 cp t 4 bp 12 t s apn s菱形oabc s aon s cpn s apb 32 8 12 t t 4 t 8 12 t 4 t2 12t 56 综上 s与t的函数关系式为s 注 第一段函数的定义域写为0 t 4 第二段函数的定义域写为4 t 也可以 2 2017河北 25 11分 平面内 如图 在 abcd中 ab 10 ad 15 tana 点p为ad边上任意一点 连接pb 将pb绕点p逆时针旋转90 得到线段pq 1 当 dpq 10 时 求 apb的大小 2 当tan abp tana 3 2时 求点q与点b间的距离 结果保留根号 3 若点q恰好落在 abcd的边所在的直线上 直接写出pb旋转到pq所扫过的面积 结果保留 解析 1 当点q与b在pd异侧时 由 dpq 10 bpq 90 得 bpd 80 apb 180 bpd 100 当点q与b在pd同侧时 如图1 apb 180 bpq dpq 80 apb是80 或100 4分 2 如图1 过点p作ph ab于点h 连接bq 图1 tan abp tana 3 2 ah hb 3 2 而ab 10 ah 6 hb 4 6分 在rt pha中 ph ah tana 8 pq pb 4 在rt pqb中 qb pb 4 8分 3 16 或20 或32 11分 注 下面是 3 的一种解法 仅供参考 解答过程如下 点q在ad上时 如图2 由tana 得pb ab sina 8 s阴影 16 图2 点q在cd上时 如图3 过点p作ph ab于点h 交cd延长线于点k 由题意得 k 90 kdp a 设ah x x 0 则ph ah tana x ap x bph kqp 90 kpq pb qp rt hpb rt kqp kp hb 10 x pd 10 x ad 15 x 10 x 解得x 6 ph 8 hb 4 pb2 80 s阴影 20 图3 点q在bc延长线上时 如图4 过点b作bm ad于点m 由 得bm 8 图4又 mpb pbq 45 pb 8 s阴影 32 思路分析 1 分以下两种情形求解 点q和点b在pd同侧 点q和点b在pd异侧 2 过点p作ph ab于h 连接bq 当tan abp tana 3 2时 ah hb 3 2 进而得出ah hb的长 在rt aph中 利用tana 求出ph的长 在rt pbh中 根据勾股定理求出pb的长 进而可得bq的长 3 分以下三种情形求解 点q落在直线ad上 点q落在直线dc上 点q落在直线bc上 难点分析本题是以旋转为背景的探究题 此类问题图形发生变化 要善于从动态位置中寻找不变的关系 点q位置的确定是解决问题的关键 3 2014广东 25 9分 如图 在 abc中 ab ac ad bc于点d bc 10cm ad 8cm 点p从点b出发 在线段bc上以每秒3cm的速度向点c匀速运动 与此同时 垂直于ad的直线m从底边bc出发 以每秒2cm的速度沿da方向匀速平移 分别交ab ac ad于点e f h 当点p到达点c时 点p与直线m同时停止运动 设运动时间为t秒 t 0 1 当t 2时 连接de df 求证 四边形aedf是菱形 2 在整个运动过程中 所形成的 pef的面积存在最大值 当 pef的面积最大时 求线段bp的长 3 是否存在某一时刻t 使 pef是直角三角形 若存在 请求出此刻t的值 若不存在 请说明理由 t 2 2 10 5分 当s pef取最大值时 t 2 此时 bp 3t 3 2 6 cm 6分 3 存在 如图3 若 pef 90 则pe ad 图3 bep bad t 0 当t 0时 epf不存在 t 0不合题意 舍去 7分 如图4 若 epf 90 在rt epf中 图4连接ph h是ef的中点 ph ef 5 t 在rt hdp中 hp2 hd2 dp2 2t 2 5 3t 2 解得t 0或t 由 知 t 0不合题意 舍去 t 8分 如图5 若 pfe 90 则pf ad cpf cda 图5 解得t 综上所述 当t 或时 pef是直角三角形 9分 三 图形动 1 2018邯郸一模 25 如图1 图2中 正方形abcd的边长为6 点p从点b出发沿边bc cd以每秒2个单位长度的速度向点d匀速运动 以bp为边作等边三角形bpq 使点q在正方形abcd内或边上 当点q恰好运动到ad边上时 点p停止运动 设运动时间为t秒 t 0 1 当t 2时 点q到bc的距离 2 当点p在bc边上运动时 求cq的最小值及此时t的值 3 当点q在ad边上时 如图2 求出t的值 4 直接写出点q运动路线的长 解析 1 当t 2时 bp bq pq 4 过点q作qm bp 垂足为m qm bq cos30 4 2 2 当点p在bc边上运动时 有 qbc 60 根据垂线段最短 可知当cq bq时 cq最小 如图 在直角三角形bcq中 qbc 60 bcq 30 bq bc 3 bp bq 3 t cq bq tan qbc 3 故当点p在bc边上运动时 cq的最小值为3 此时t 3 若点q在ad边上 则cp 2t 6 ba bc bq bp a c 90 rt baq rt bcp hl aq cp 2t 6 dq dp 12 2t bp pq 且由勾股定理可得dq2 dp2 qp2 bc2 cp2 bp2 2 12 2t 2 62 2t 6 2 解得t1 9 3 舍去 t2 9 3 t 9 3 4 18 6 详解 如图 当点p在bc上运动时 qbc 60 不变 点q的运动路线为bq bq 6 当点p 在dc上运动时 点q 沿着与bq垂直的方向运动 运动路线为qq 理由 bq bp qbq cbp 60 p bq bq bc bqq bcp bqq bcp 90 qq cp 由第 3 问结果可知qq cp 2 9 3 6 12 6 点q运动路线的长为6 12 6 18 6 解题关键明确点q的运动路线是解决本题的关键所在 2 2016吉林 25 10分 如图 在等腰直角三角形abc中 bac 90 ac 8cm ad bc于点d 点p从点a出发 沿a c方向以cm s的速度运动到点c停止 在运动过程中 过点p作pq ab交bc于点q 以线段pq为边作等腰直角三角形pqm 且 pqm 90 点m c位于pq异侧 设点p的运动时间为x s pqm与 adc重叠部分的面积为y cm2 1 当点m落在ab上时 x 2 当点m落在ad上时 x 3 求y关于x的函数解析式 并写出自变量x的取值范围 解析 1 4 2分 2 4分 3 当0 x 4时 如图 设pm pq分别交ad于点e f 则重叠部分为 pef 图 由题意得ap x ef pe x y s pef pe ef x x x2 6分 当4 x 时 如图 设pm mq分别交ad于点e g 则重叠部分为四边形pegq 图 pq pc 8 x pm 16 2x me pm pe 16 3x y s pqm s meg pq2 me2 8 x 2 16 3x 2 x2 32x 64 8分 当 x 8时 如图 则重叠部分为 pqm 图 y s pqm pq2 8 x 2 x2 16x 64 综上所述 y 10分 一 点动 教师专用题组 1 2015山东聊城 25 12分 如图 在直角坐标系中 rt oab的直角顶点a在x轴上 oa 4 ab 3 动点m从点a出发 以每秒1个单位长度的速度 沿ao向终点o移动 同时点n从点o出发 以每秒1 25个单位长度的速度 沿ob向终点b移动 当两个动点运动了x秒 0 x 4 时 解答下列问题 1 求点n的坐标 用含x的代数式表示 2 设 omn的面积为s 求s与x之间的函数表达式 当x为何值时 s有最大值 最大值是多少 3 在两个动点运动的过程中 是否存在某一时刻 使 omn是直角三角形 若存在 求出x的值 若不存在 请说明理由 解析 1 由题意知 on 1 25x 在rt oab中 由勾股定理 得ob 5 1分 如图 作np oa于点p 则np ab opn oab 2分 即 解得op x pn x 点n的坐标是 3分 2 由题意知ma x 在 omn中 om 4 x om边上的高pn x s om pn 4 x x x2 x s与x之间的函数表达式为s x2 x 0 x 4 5分 配方 得s x 2 2 当x 2时 s有最大值 最大值是 6分 3 存在某一时刻 使 omn是直角三角形 理由如下 如图 若 omn 90 则mn ab 此时om 4 x on 1 25x mn ab omn oab 7分 即 解得x 2 8分 如图 若 onm 90 则 onm oab 此时om 4 x on 1 25x onm oab mon boa omn oba 10分 即 解得x 综上所述 x的值是2或 12分 评析计算 omn的最大面积是本题的难点 此类题目一般是将图形面积转化为二次函数最值问题来解答 探索 omn是直角三角形是本题的另一个难点 一般采用逆向思维 假设存在 在此基础上根据相似 三角函数或勾股定理等列方程求解 2 2015内蒙古包头 25 12分 如图 四边形abcd中 ad bc a 90 ad 1厘米 ab 3厘米 bc 5厘米 动点p从点b出发以1厘米 秒的速度沿bc方向运动 动点q从点c出发以2厘米 秒的速度沿cd方向运动 p q两点同时出发 当点q到达点d时停止运动 点p也随之停止 设运动时间为t秒 t 0 1 求线段cd的长 2 t为何值时 线段pq将四边形abcd的面积分为1 2两部分 3 伴随p q两点的运动 线段pq的垂直平分线为l t为何值时 l经过点c 求当l经过点d时t的值 并求出此时刻线段pq的长 解析 1 作de bc于点e ad bc a 90 四边形abed为矩形 be ad 1厘米 de ab 3厘米 ec bc be 4厘米 在rt dec中 de2 ec2 dc2 dc 5厘米 2分 2 点p的速度为1厘米 秒 点q的速度为2厘米 秒 运动时间为t秒 bp t厘米 pc 5 t 厘米 cq 2t厘米 qd 5 2t 厘米 且0 t 2 5 作qh bc于点h de qh dec qhc 又 c c dec qhc qh t厘米 s pqc pc qh 5 t t 平方厘米 s四边形abcd ad bc ab 1 5 3 9平方厘米 分两种情况讨论 当s pqc s四边形abcd 1 3时 t2 3t 9 t2 5t 5 0 解得t1 t2 舍 当s pqc s四边形abcd 2 3时 t2 3t 9 t2 5t 10 0 0 方程无解 当t 时 线段pq将四边形abcd的面积分为1 2两部分 6分 3 如图 当pq的垂直平分线l经过点c时 可知pc qc 5 t 2t 3t 5 t 当t 时 直线l经过点c 8分 如图 连接dp 当pq的垂直平分线l经过点d时 可知dq dp 则在rt dep中 dp2 de2 ep2 dq2 de2 ep2 5 2t 2 32 t 1 2 t1 1 t2 5 舍 bp 1厘米 当t 1时 直线l经过点d 此时点p与点e重合 10分 如图 连接fq 直线l是 dpq的对称轴 def dqf dqf 90 ef qf 设ef x厘米 则qf x厘米 fc 4 x 厘米 在rt fqc中 fq2 qc2 fc2 即x2 22 4 x 2 x ef 厘米 在rt def中 de2 ef2 df2 32 df2 df 厘米 在rt def中 eg df s def df eg de ef eg eg 厘米 pq 2eg 厘米 12分 评析本题是四边形中的动点问题 考查勾股定理 三角形的相似 四边形与三角形的面积表示 线段的垂直平分线等知识 解题关键是用含t的代数式表示线段长和面积 题目计算量较大 对学生的计算能力有较高要求 属难题 3 2014福建福州 21 13分 如图1 点o在线段ab上 ao 2 ob 1 oc为射线 且 boc 60 动点p以每秒2个单位长度的速度从点o出发 沿射线oc做匀速运动 设运动时间为t秒 1 当t 秒时 则op s abp 2 当 abp是直角三角形时 求t的值 3 如图2 当ap ab时 过点a作aq bp 并使得 qop b 求证 aq bp 3 图1图2 备用图 解析 1 1 2 a boc 60 a不可能为直角 当 abp 90 时 boc 60 opb 30 op 2ob 即2t 2 t 1 当 apb 90 时 作pd ab 垂足为d 则 adp pdb 90 op 2t od t pd t ad 2 t bd 1 t bop是锐角三角形 解法一 bp2 1 t 2 3t2 ap2 2 t 2 3t2 bp2 ap2 ab2 1 t 2 3t2 2 t 2 3t2 9 即4t2 t 2 0 解得t1 t2 舍去 解法二 apd bpd 90 b bpd 90 apd b 又 adp pdb 90 apd pbd pd2 ad bd 1 2 qao oep 即aq ep eo ao oe ap obe abp oe ap 1 bp ep aq bp aq ep ao oe 2 1 3 二 线动 2017四川绵阳 25 14分 如图 已知 abc中 c 90 点m从点c出发沿cb方向以1cm s的速度匀速运动 到达点b停止运动 在点m的运动过程中 过点m作直线mn交ac于点n 且保持 nmc 45 再过点n作ac的垂线交ab于点f 连接mf 将 mnf关于直线nf对称后得到 enf 已知ac 8cm bc 4cm 设点m运动时间为t s enf与 anf重叠部分的面积为y cm2 1 在点m的运动过程中 能否使得四边形mnef为正方形 如果能 求出相应的t值 如果不能 说明理由 2 求y关于t的函数解析式及相应t的取值范围 3 当y取最大值时 求sin nef的值 解析 1 能 1分 如图 过f作fd bc于点d 四边形mnef为正方形时 易知mn mf fmd nmc 45 因为 cnm和 fdm都是等腰直角三角形 所以cm md df tcm 所以bd 4 2t cm 易证 fdb acb 所以 2分 即 解得t 4分 2 如图 当点e恰好落在ab上时 连接me 记em与nf交于点o 由已知得 eo om cm tcm 所以em 2om 2tcm 易证 emb acb 所以 即 解得t 2 5分 当0 t 2时 易证 anf acb 所以 即 解得nf cm 6分 此时y nf nc t t2 2t 7分 当2 t 4时 如图 设ne与ab交于点k 过k作kl nf于点l 连接em 交直线nf于点h 易证 klf anf 所以 因为nf cm 且易知kl nl 所以 解得nl cm 即kl cm 9分 三 图形动 1 2018吉林 25 10分 如图 在矩形abcd中 ab 2cm adb 30 p q两点分别从a b同时出发 点p沿折线ab bc运动 在ab上的速度是2cm s 在bc上的速度是2cm s 点q在bd上以2cm s的速度向终点d运动 过点p作pn ad 垂足为点n 连接pq 以pq pn为邻边作 pqmn 设运动时间为x s pqmn与矩形abcd重叠部分的图形面积为y cm2 1 当pq ab时 x 2 求y关于x的函数解析式 并写出x的取值范围 3 直线am将矩形abcd的面积分成1 3两部分时 直接写出x的值 备用图 解析 1 2分 2 当0 x 时 如图 过点q作qh ab于h 由题意得qh x ap 2x y s pqmn ap qh 2x x 2x2 4分 y 2x2 当 x 1时 如图 过点q作qh ab于h 设qm与ad交于点g y s梯形pqga qg ap qh 2 x 2x x x2 x 6分 y x2 x 当1 x 2时 如图 过点q作qh ab于h y s梯形pqgn qg pn gn 2 x 2 x 2 x 1 x2 3x 4 y x2 3x 4 8分 3 或 如图 如图 10分 提示 由题意知bc ad abtan60 2 当e点在bc上时 be bc 如图 作ef cd交bd于点f 设bd与ae的交点为o 2 2017吉林 25 10分 如图 在rt abc中 acb 90 a 45 ab 4cm 点p从点a出发 以2cm s的速度沿边ab