山东省济宁市高考数学一轮复习 第二讲 三角恒等变换与解三角形讲练 理 新人教A版.doc

第二讲三角恒等变换与解三角形 一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 六个公式：sin()sin_cos_cos_sin_；cos()cos_cos_sin_sin_；tan().二、二倍角的正弦、余弦、正切公式1三个公式：sin 22sin_cos_；cos 2cos2sin22cos2112sin2；tan 2.应用二倍角公式的变形求值的注意问题已知sin ，cos 的值求tan时，应优先采用tan或tan，这样可以避免由“tan”带来增解三、辅助角公式asin bcos sin().1辅助角公式的特殊情况(1)sin cos sin；(2)sin cos 2sin；(3)cos sin 2sin.2辅助角公式的作用(1)利用该公式可将形如yasin xbcos x的函数转化为形如yasin(x)的函数，进而研究函数的性质(2)若函数yasin xbcos x的定义域为r，则值域为，四、正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2ra2b2c22bccos_a，b2c2a22cacos_b，c2a2b22abcos c变形形式a2rsin_a，b2rsin_b，c2rsin_c；abcsin_asin_bsin_c；.cos a；cos b；cos c.解决问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.在abc中，已知a，b和角a时，解的情况a为锐角a为钝角或直角图形关系式absin absin aababab解的个数一解两解一解一解由上表可知，当a为锐角时，absin a，无解当a为钝角或直角时，ab，无解五、三角形常用面积公式1saha(ha表示边a上的高)；2sabsin cacsin bbcsin a.3sr(abc)(r为内切圆半径)三角形中的常用结论(1)abc，.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)在abc中，tan atan btan ctan atan btan c(a、b、c)基础自测1(2013江西高考)若sin ，则cos ()a b c. d.【解析】cos 12sin21221.【答案】c2在abc中，a15，b10，a60，则cos b()a. b. c d【解析】由正弦定理，得sin b.ab，a60，b60，cos b.【答案】a3abc中，b120，ac7，ab5，则abc的面积为_【解析】由余弦定理知ac2ab2bc22abbccos 120，即4925bc25bc，解得bc3.故sabcabbcsin 12053.【答案】考点一 简单的三角恒等变换例 化简：(1)sin 50(1tan 10)；(1)sin 50sin 501.(2)(2013浙江高考)函数f(x)sin xcos xcos 2x的最小正周期和振幅分别是()a，1 b，2 c2，1 d2，2(2)f(x)sin 2xcos 2xsin，所以最小正周期为t，振幅a1.跟踪练习：(2012四川高考)已知函数f(x)cos2sin cos .(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若f()，求sin 2的值【解】(1)由已知，f(x)cos2sin cos (1cos x)sin xcos，所以f(x)的最小正周期为2，值域为.(2)由(1)知，f()cos，所以cos.所以sin 2coscos 212cos21.考点二 正余弦定理例(2013山东高考)设abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且ac6，b2，cos b.(1)求a，c的值；(2)求sin(ab)的值【自主解答】(1)由余弦定理b2a2c22accos b，得b2(ac)22ac(1cos b)，又b2，ac6，cos b，所以ac9，解得a3，c3.(2)在abc中，sin b，由正弦定理得sin a.因为ac，所以a为锐角所以cos a.因此sin(ab)sin acos bcos asin b.跟踪练习：（2014山东）中，角a，b，c所对的边分别为. 已知.（）求的值；（ii）求的面积.【解析】：（）由题意知：， ， 由正弦定理得：（）由得.,，因此，的面积考点三 解三角形及其应用例 2014浙江卷 在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c.已知4sin24sin asin b2.(1)求角c的大小；(2)已知b4，abc的面积为6，求边长c的值解：(1)由已知得21cos(ab)4sin asin b2，化简得2cos acos b2sin asin b，故cos(ab)，所以ab，从而c.(2)因为sabcabsin c，由sabc6，b4，c，得a3.由余弦定理c2a2b22abcos c，得c.跟踪练习： 已知函数 (i)求的最小正周期及对称轴方程； ()在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，若，bc=6，求a的最小值.考点四 正余弦定理的实际应用例 要测量对岸a、b两点之间的距离，选取相距 km的c、d两点，并测得acb75，bcd45，adc30，adb45，求a、b之间的距离【思路点拨】将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正、余弦定理解三角形【尝试解答】如图所示，在acd中，acd120，cadadc30，accd km.在bcd中，bcd45，bdc75，cbd60.bc.在abc中，由余弦定理，得ab2()222cos 75325，ab(km)，a、b之间的距离为 km.规律方法11.利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关三角形中，建立一个解三角形的模型；2.利用正、余弦定理解出所求的边和角，得出该数学模型的解.跟踪练习图385如图385所示，a，b是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点现位于a点北偏东45，b点北偏西60的d点有一艘轮船发出求救信号，位于b点南偏西60且与b点相距20海里的c点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达d点需要多长时间？【解】由题意知ab5(3)海里，dba906030，dab9