高中数学 第五章 推理与证明 5.1 合情推理和演绎推理 5.1.1 归纳课件 湘教版选修12.ppt

第5章推理与证明 5 1合情推理和演绎推理5 1 1归纳 课标要求 1 了解合情推理的含义 能利用归纳进行简单的推理 2 了解归纳在数学发现中的作用 自学导引 1 由一系列有限的事例得出结论的推理方法叫作归纳 2 归纳推理的一般步骤首先 通过观察特例发现某些或 然后把这种共性推广为 最后对所得出的一般性猜想 进行 3 用归纳推理可以帮助我们从具体事例中发现 但是仅根据一系列有限的特殊事例所得出的一般结论 特殊 一般 共性 一般规律 一般性命题 猜想 检验和证明 一般规律 不一定可靠 自主探究归纳推理的一般步骤是什么 提示 1 通过观察个别情况发现某些相同性质 2 从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题 猜想 预习测评 1 关于归纳推理下列说法正确的是 a 归纳推理是一般到一般的推理b 归纳推理是一般到特殊的推理c 归纳推理的结论一定是正确的d 归纳推理的结论不一定正确答案d 答案d 3 数列2 5 11 20 x 47 中的x等于 答案32 4 观察下列不等式 2 3 2 3 3 5 3 5 2 3 2 3 4 4 4 4 归纳出一般结论为 x y r 解析观察易发现 两个实数和的绝对值不大于这两个数的绝对值的和 即 x y x y 答案 x y x y 3 数列2 5 11 20 x 47 中的x等于 答案32 名师点睛 1 根据一类事物的部分对象具有的某种性质 推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理 叫做归纳推理 简称归纳 2 归纳推理是由部分到整体 由特殊到一般的推理过程 其思维过程大致如下 实验观察 概括 推广 猜测一般性结论 3 归纳推理的前提和结论不具有必然性联系 前提正确 其结论不一定正确 结论的正确性还需要理论证明或实践检验 4 归纳推理的特点 1 归纳推理是由部分到整体 由特殊到一般的推理 因此 由归纳推理得出的结论超越了前提所包容的范围 2 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质 结论不一定真实 因此它不能作为数学证明的工具 3 归纳推理是一种具有创造性的推理 通过归纳推理得到的猜想可以作为进一步研究的起点 帮助人们发现问题和提出问题 典例剖析题型一归纳推理的证明 例1 直线l1与l2是同一平面内的两条相交直线 它们有一个交点 如果在这个平面内再画第3条直线 那么这3条直线最多可能有 个交点 如果在这个平面内再画第4条直线 那么这4条直线最多可能有 个交点 由此可以猜想 在同一个平面内6条直线最多可有 个交点 n n为大于1的整数 条直线最多可有 个交点 用含有n的代数式表示 解析本题根据已知猜想n条直线的交点个数 可将n取几个特殊值时的交点个数列出 根据规律去猜想 由以上数据可看出如下规律 交点个数 方法点评虽然由归纳推理所得到的结论未必是正确的 但它所具有的由特殊到一般 由具体到抽象的认识功能 对于数学的发现是十分有用的 观察 实验 对有限的资料作出归纳整理 提出带有规律性的猜想 是数学研究的基本方法之一 答案f x g y g x f y g x y 0能 题型二运用归纳推理探索解题思路 能寻找解题方法 例2 平面上有n n 2 条抛物线 其中每两条都相交于两点 并且每三条都不相交于同一点 试求这n条抛物线把平面分成多少个部分 解当n 2时 即两条相交抛物线把平面分成5部分 记f 2 5 22 1 当n 3时 f 3 10 32 1 当n 4时 f 4 17 42 1 当n 5时 f 5 26 52 1 归纳猜想 f n n2 1 n 2 证明设n条抛物线将平面分成f n 个部分 有 n 1 条抛物线时 由于第n 1条抛物线与前n条抛物线共有2n个交点 这2n个交点将第n 1条抛物线共分成2n 1段 而每一段都把原来所在的部分分成了两部分 从而增加了2n 1个部分 所以f n 1 f n 2n 1 n 2 f 3 f 2 5 f 4 f 3 7 f 5 f 4 9 f n f n 1 2n 1 以上各式相加得 f n f 2 5 7 9 2n 1 n2 1 n 2 所以满足题意的n条抛物线将平面分成n2 1个部分 方法点评运用归纳推理需要考查部分对象的情形 从而归纳猜想出一般规律 这样往往有时计算量大 易出偏差 且内部潜在的规律性有时难于看出来 就用 递推法 取代 经验归纳法 转向考察问题每递进一步所反映的规律 即探求递推关系 最后用初始值及递推关系来寻找一般规律 从而得出问题的结论 题型三归纳推理的结论 方法点评通过观察个别情况发现某些相同性质 从相同性质中推出一个明确表述的一般性结论 一般地 归纳个别情况越多 越具有代表性 推广的结论越可能为真 方法技巧如何进行归纳推理 例4 已知数列 an 满足a1 1 an 1 2an 1 n 1 2 3 1 求a2 a3 a4 a5 2 归纳猜想通项公式an 解 1 当n 1时 知a1 1 由an 1 2an 1得a2 3 a3 7 a4 15 a5 31 2 由a1 1 21 1 a2 3 22 1 a3 7 23 1 a4 15 24 1 a5 31 25 1 可归纳猜想 an 2n 1 n n 方法点