大纲版高二数学下§62算术平均数几何平均(修改稿12页-.doc

魔法数学大纲版高二数学下不等式 第22页（共11页）* 6.2算术平均数几何平均数 *磨法石核心知识归纳算术平均数与几何平均数之间到底有怎样的大小关系呢？1基本形式的不等式：（1）如果a、bR，那么a2+b22ab，当且仅当a=b时取等号。（2）如果a、bR+，那么a+b2，当且仅当a=b时取等号。2变形形式的不等式：（1）如果a、bR+，那么ab或(a+b) 22a2+2b2或（2）如果a、bR+，那么ab3运用均值不等式求最值原理：（1）若abR+，且ab为定值，则有ab2=定值，当且仅当a=b时，a+b取最小值。 （2）若abR+，且a+b为定值，则有ab=定值，当且仅当a=b时，ab取最大值。找捷径难点疑点突破： 1均值不等式：a+b2一定要注意是正数；a+b2ab， a、bR例1：求最大值（1）2sincossin2cos2=1或sin21；（2）0a1b，则y=+解：（1）2sincossin2+cos2=1或2sincos= sin21 ymax=1（2）y=-+(-)-2 ymax=-2点评：0 -0，这是将负数化正数的一般方法。2连续几次使用不等式时应注意取等号条件的一致性。例2：已知a、bR+，且a+2b=1，求+最小值。错解一：a+2b=1 +=(+)( a+2b)22=4错因：a=2b与a=b不能同时成立。错解二：+ a+2b= a+2b2+2错因：由a=，=2b a=1，b=，但a+2b1正解：a+2b=1 +=(+)( a+2b)=3+3+2当且仅当=，即a=b时，等号成立，代入a+2b=1，得a=-1，b=1-，故+的最小值是3+2。3正确理解和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值。上例错解三：+=+2，当b=1-2b时b=时取等号，(+)min=2=6错因：应该先分析出现和、积定值，再考虑等号成立条件，而不是先考虑等号成立条件，再代入出现定值。错解四：a+2b=1 a=1-2b0，得0b +=+= b(1-2b)= 2b(1-2b)()2=当且仅当2b=1-2b时b=时等号成立b=时，+=6错因：虽然b=时，b(1-2b)取最大，但此时分子1-b并非取最小值，故和或积为定值不能只考虑部分，而需要考虑整体表达式。金钥匙解题方法技巧：例1：下列命题正确的是（1）已知xyR+，x+2y=1，则xy；（2）和式+3x的最小值是12；（3）因为+，所以2；（4）若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是9，+)解题规律：（1）已知是和式，要证是积式，故可利用均值不等式实现和、积转换或称和、差化积，积化和差。（2）在函数表达式中，由于变量符号不确定，故需进行讨论，以便能正确使用均值不等式。（3）一正二定三相等在求最值时缺一不可，必须认真检查，若所给条件不能使用不等式求最值时，可考虑利用函数单调性来解决。解：命题（1）、（4）正确，（2）、（3）错误。（1）1=x+2y2 xy或xyx2y（2）因为x的符号不确定，故需讨论：x0时，f (x)=+3x2=12x0时，f (x)= -+3x-12解题规律：（4）用凑配法凑配出能使用不等式的条件，在求函数最值时经常用到，目标是使和或积为定值，同时注意取等号的条件。（3）令= x2= -3不可能等号不成立；只能利用函数的单调性解决，由2，而f (t)= t +在t2，+单调递增，所以f (t)min= f (2)=2+=（4）由ab=a+b+32+3-2-303；或由已知b=1+ b0，a-10故：ab=a+= a+4=a-1+54+5=9例2 ：已知a、b、cR，求证：+ (a+b+c)解题规律：不等式两边一边为无理式，另一边为有理式则应考虑将无理式转化为有理式，即将根号里面变出完全平方，再开方，当然也是一种化无理式为有理式的方法。解析：由不等式两边的确良结构特点，我们联想到重要不等式x2+y22xy及拓展形式(x、yR)，故可运用它们进行证明。证明：|a+b|(a+b)同理(b+c) (c+a)三式相加可得：+ (a+b+c)点金术思维拓展发散：例3：（1）若已知abc，则a-c-的最小值。 （2）设0x1，则y=x-x3的最大值。解析(1) ：不能直接看出有什么积为定值，故需将已知式变形，能否凑配同积为定值，可观察出分母可分解因式：思维互动：生：y=x(1-x2) =x(1-x) (1+x)=x(2-2x) (1+x) =，不是师：由于取等号条件是x=1+x=2-2x，这样的x不存在，故需另想办法。解析(2)：解析式为和差形式，初看不能使用不等式，但只要提取公因式就可化为积的形式，再来凑配中为定值。解：0x1，y=x-x3=x(1-x2)且1-x20又y2=x2(1-x2)2=2x2(1-x2) (1-x2)= y当且仅当2x2=1-x2x=0，1时，ymin=方法规律：在利用不等式求函数最值时，常用到凑配技巧，增项、减项或乘除某一常数，使和、积成为定值，同时兼顾等号成立条件。例4：已知a、b、x、yR+，+=1，求证x+y解析：因为x+y与+之间存在一种倒数关系，故可考虑两式相乘而达约分的目的。证法1：x+y=(x+y)( +)=a+b+a+ba+b+2=证法2：可利用三角代换，由+=1的特点，可令=cos2，=sin2，则x=，y=x+y-=x-a+y-b-2= x-xcos2+y-ysin2-2= xsin2+ycos2-2=(-)20证法3：a、b、x、yR+，且+=1，1 xax-a0x+y=x+b+=(x-a)+ +a+ba+b+2=方法规律：对于条件不等式的证明，怎样使用好条件不等式是解决问题的关键，上述三种解法各具特色，也是对“1”的三种不同的理解。例5：求的最小值，式中解法1：要求y的最小值，就要使y右边变为两个和式且使积为定值，故联想为定值。当=时等号成。解法2：设t=tanx，则cosx=y=a-bt y+bt = a (y+bt)2= a2 (1+t2)(a2-b2)t2-2byt+(a2-y2)=0由于t为实数，故式中的判别式0。即04b2y2-4(a2-b2)(a2-y2)=4(a2-y2+ b2) 得y2a2-b2故当tanx=时，ymin=方法规律：(1)在考虑将函数式转化为二次方程利用判别式求最值时，必须注意自变量x应是取全体实数才行，否则可能产生错误。一般地若x有限制，则只能利用不等式或函数单调性来求解。例6：为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体长度为 a 米，高度为 b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积成反比，现有制箱材料60平方米，问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。(A、B孔面积忽略不计)abBA解法1：设 y为流出的水中杂质的质量分数 则 y=，其中K0为比例系数。 根据题设有4b+2ab+2a=60 (a0，b0)这时a=6或a= -10（舍去），将a=6代入得b=3，故当a=6米，b=3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。解法2：由题设知4b+2ab+2a=60那么a+2b+ab=30 (a0，b0)当且仅当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为182b =18，解得b=3，a=6。故当a=6米，b=3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。方法规律：(1)对于实际应用问题中的杂质最少，材料最省，利润最大，效率最高等问题一般都是先建立一个函数关系式，再根据函数关系式可利用均值不等式求最值或二次函数求最值或三角函数求最值，单调性求最值。(2)解法1的变形是涉及分母是一次式，而分子是二次式的形式，只要具有这种形式的函数，均可采用类似的变形方法。而解法2利用了和化积，这一变换技巧，也是常用的变形方法。试试看潜能挑战测试：基础知识1、设a、bR+，且ab ，则下列不等式中不正确的是（ ）2、已知a、bR，且a+b=3，则的最小值是（ ）A、6 B、 C、 D、3、设实数a、b满足0ab且a+b=1，则下列四数中最大的是（ ）A、 B、a2+b2 C、2ab D、a4、已知x0，y0，且x+y=6，则x2+y2存在（ ）A、最大值36 B、最小值18 C、最大值18 D、无最小值5、设x、y为正数，且xy-(x+y)=1，则（ ）A、x+y2(+1) B、xy+1 C、x+y(+1) 2 D、xy2(+1)6、函数y=1-2x-（x0）的最大值是 。7、已知x1，y1且，则xy 的最小值是 。8、已知ab0，求证：39、函数f(x)= x (1- x)，（0x的最大值是 。思维拓展10、已知a0，b0，且，求a+b的最小值。11、已知x0，y0，求证：12、设nR，n2，求证：113、设xR，0a1，求证：14、已知(a+b)(x+y)2(ay+bx)，求证：215、设，不等式恒成立，求实数a的取值范围。应 用 创 新16、一个直角三角形，其周长定值2，求它的面积的最大值。17、某化工厂生产某种产品，当年产量在150吨至250吨之内时，其年生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间关系可近似地表示为。（1）求年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低，并求每吨最低成平均成本。（2）若每吨平均成厂价为16万元，求年生产多少吨时，可获得最大的年利润，并注出最大年利润。18、一商店经销某种货物，根据销售情况，年进货量为5万件，分若干次等量进货，设每次进x货件，每进一次货需运费50元，且在售完该货物时能立即进货。现以年平均件货物储存在仓库里，库存费用以每件20元计算，欲使一年的运费和库存费之和最省，每次进货量应x为多少件？此时运费和库存费为多少元？标准答案与提示1、D（点拔：可用特值法。a+b2 ）2、B（点拔：）3、B（点拔：a2+b22ab，1=(a+b)2= a2+b2+2ab2(a2+b2)，a2+b2又0ab 两个不等式等号均不成立）4、B（点拔：36=(x+y)2= x2+y2+2xy2(x2+y2)x2+y218）5、A（点拔：1+(x+y)=xy (x+y)2 -4xy-40 (x+y)-228 x+y2+2）6、1-2（点拔：y=1-2x+1-2）7、(xy)min=32（点拔：=2）8、a+= a-b+b+39、f(x)= x (1-3x)=3x(1-3x) 当且仅当3x=1-3x 即x=时，等号成立 f(x)的最大值为10、解（1）法一 由+=1，得a= 又a0，b0 b9且a1a+b=+b=(b-9)+102+10=16当且仅当，b-9=，即b=12，a=4时取等号。法二 由a+b=(a+b)(+)=1+9+10+2=16当且仅当=，+=1，即b=12，a=4时取等号。11证明：(x+y)2+(x+y)= (x+y+)=(x+y+)1=x+y12证明：n2 n-11，n+11=113ax0，0 ax+2又x-x2=-(x-)2+当且仅当x=时，等号成立，但x=时，axax+22（0a1)+14由已知得ax+bx+ay+by2ay +2bx ax-ay-bx+by0，(a-b)(x-y)00，0，+215不等式化为：2sincos-(2+a)(sin+cos)+2a+3令t= sin+cos=sin(+)，0，1t且2sincos=t2-1原不等式化为(t2-1)-(2+a)t+2a+3，即t2-(2+a)t+2a-2，变形为t(t-2)-a(t-2)-1t-2-2，a+t要使上式恒成立，只需a(+t)min即可。u= t+在1，上是减函数，(+t)min=2故当时a2时，对，原不等式恒成立16、设三角形ABC中C=90，相应之边为a、b、c，则a+b+c=2 则即有2+ab=2(a+b)22 ()2-4+20 (-2)22 2+或2- ab6-4故有S=ab3-217、（1）每吨平均成本（万元