高三数学 黄金考点汇编12 三角化简和求值 理（含解析）.doc

考点12 三角化简和求值（理） 【考点分类】热点一 利用两角和差的正弦、余弦、正切公式求值1.【2014全国1高考理第8题】设且则（ ） （a） （b） （c） （d）2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】若，则.【答案】【解析】，故3.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标数学（理）卷】设为第二象限角，若=，则_.4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】已知函数,.() 求的值； () 若,求【方法规律】两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用、的三角函数表示的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的.(1)运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan tan tan()(1tan tan )和二倍角的余弦公式的多种变形等(2)应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用.【解题技巧】在运用两角和与差的三角公式进行化简或求值时，要注意以下三个变换技巧：（） 变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其方法通常是“配凑”，如：,等例：【2014年广东省广州市普通高中毕业班综合测试一】设为锐角，若，则 .(2) 变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其方法通常为“化切为弦”等，例：新课标a版第146 页，第 a5(2) 题（例题）计算.【解析】变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”（同上例中）【易错点睛】在化简与求值时，一定要注意“所求角”与“已知角”的内在联系，往往起到“事半功陪”的效果.例【2013届河北省重点中学联合考试】已知，则（ ） a-2 b-1 c d【答案】a【解析】可得，则，热点二 利用倍角公式以及诱导公式求值1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】已知，则（ ）a. b. c. d.2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科】设，则的值是_.【答案】【解析】，又，所以，故填.3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）理】已知函数.（i）若是第一象限角，且.求的值；（ii）求使成立的x的取值集合.【方法规律】一、利用诱导公式化简求值时的原则1“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数2“大化小”，利用公式一将大于360的角的三角函数化为0到360的三角函数，利用公式二将大于180的角的三角函数化为0到180的三角函数3“小化锐”，利用公式六将大于90的角化为0到90的角的三角函数4“锐求值”，得到0到90的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得.二、利用倍角公式化简求值二倍角公式实际就是由两角和公式中令所得特别地，对于余弦：cos 2cos2sin2 2cos2112sin2，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现【解题技巧】(1)拆角、拼角技巧：2()()；.(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等【易错点睛】(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”【第二次大联考数学新课标全国卷】已知是锐角，且，则的值为_.【答案】【解析】.(2) 变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等【2014届高三原创预测卷数学试卷2（安徽版）】设，则（ ） a b c d【答案】d【解析】由已知及倍角公式得(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等例新课标a版第138 页，第 a19(3)题（例题）化简：【解析】 【考点剖析】1. 最新考试说明：（1）利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简、求值是高考常考的点（2）考查同角三角函数的基本关系式、考查诱导公式在三角函数化简求值中的运用（3）考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题. 2. 命题方向预测：（1）考查利用三角函数的公式对三角函数式进行化简求值.（2）公式逆用、变形应用是高考热点（3）题型以选择题、解答题为主.3. 课本结论总结：（1）同角三角函数的基本关系平方关系：sin2cos21；商数关系：tan .（2）诱导公式公式一：sin(2k)sin ，cos(2k)，其中kz.公式二：sin()，cos()， tan()tan .公式三：sin()，cos().公式四：sin()sin ，cos().公式五：，sin .公式六：，诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式c()：cos()；c()：cos()；s()：sin()；s()：sin()；t()：tan()；t()：tan().(4)二倍角的正弦、余弦、正切公式s2：sin 2；c2：cos 2cos2sin22cos2112sin2；t2：tan 2.4.名师二级结论：（1）有关公式的逆用、变形等tan tan ；cos2，sin2；1sin 2(sin cos )2,1sin 2(sin cos )2，.（2）函数(a，b为常数)，可以化为f()sin()或f()cos()，其中可由a，b的值唯一确定（3）三种方法在求值与化简时，常用方法有：弦切互化法：主要利用公式tan 化成正、余弦和积转换法：利用(sin cos )212sin cos 的关系进行变形、转化巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)tan.（4）三个防范利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐特别注意函数名称和符号的确定在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化5.课本经典习题：(1)新课标a版第64 页，第 a8 题（例题）已知，计算：（1）；（2）；（3）(2) 新课标a版第 130 页，第 例4（3）题（例题）求值：【解析】【经典理由】”1“的巧用与”变式“的有机结合.(3) 新课标a版第 137页，第a5题（例题）已知,求的值.6.考点交汇展示：(1)与三角函数的图像与性质的交汇【北京市丰台区2014届高三一模】（本题共13分）已知函数.（）求函数的最小正周期；（）求函数在区间上的最小值和最大值.(2)与函数的奇偶性、单调性的交汇【2014年上海市高三年级十三校第二次联考数学试卷】若,且则下列结论正确的是( ) （a） （b） （c） （d） (3)与一元二次方程的交汇【福建省福州一中2014届高三上学期期末考试】 已知锐角