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文档简介
1 9三角函数的简单应用 在我们现实生活中有很多现象在进行周而复始地变化 用数学语言可以说这些现象具有周期性 而我们所学的三角函数就是刻画周期变化的典型函数模型 比如下列现象就可以用正弦型函数模型来研究 这节课我们就来探讨三角函数模型的简单应用 正弦型函数 简谐运动星体的运动 日常生活现象 涨潮与退潮股票变化 心理 生理现象 情绪的波动智力变化状况体力变化状况 地理情景 气温变化规律月圆与月缺 物理情景 1 体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程 体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 重点 2 体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想 从而培养学生的建模 分析问题 数形结合 抽象概括等能力 难点 例水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具 如图是一个水车工作的示意图 它的直径为3m 其中心 即圆心 o距水面1 2m 如果水车逆时针匀速旋转 旋转一圈的时间是min 在水车轮边缘上取一点p 点p距水面的高度为h m 1 求h与时间t的函数解析式 并作出这个函数的简图 2 讨论如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少时 所求得的函数解析式中的参数将会发生哪些变化 若水车转速加快或减慢 函数解析式中的参数又会受到怎样的影响 水车问题 解 不妨设水面的高度为0 当点p旋转到水面以下时 p点距水面的高度为负值 显然 h与t的函数关系是周期函数的关系 故可列表 描点 画出函数在区间 11 8 91 8 上的简图 面对实际问题建立数学模型 是一项重要的基本技能 这个过程并不神秘 就像这个例题 把问题提供的 条件 逐条地 翻译 成 数学语言 这个过程是很自然的 解答应用题关键是将实际问题转化为数学模型 变式练习 特别提醒 将实际问题抽象为三角函数模型的一般步聚 b c d 4 一半径为3m的水轮如图所示 水轮圆心o距离水面2m 已知水轮每分钟转动4圈 如果当水轮上一点p从水中浮现时 图中点p0 开始计算时间 1 将点p距离水面的高度z m 表示为时间t s 的函数 2 点p第一次达到最高点大约要多长时间 解 1 不妨设水轮沿逆时针方向旋转 如图所示 建立平面直角坐标系 设角 0 是以ox为始边 op0为终边的角 由op在ts内所转过的角为 可知以ox为始边 op为终边的角为 则 当t 0时 z 0 可得 因为 所以 0 73 故所求函数关系式为 故p点纵坐标为3sin 2 令得 解得t 5 5 答 点p第一次达到最高点大约需要5 5s 特别提醒 解决实际问题的步骤 实际问题 读懂问题 抽象概括 数学建模 推理演算 数学模型的解 还原说明 实际问题的解 读懂概念丶字母读出相关制约 在抽象 简化 明确变量和
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