第一讲正交向量组及施密特正交法.doc

第一讲授课题目：5.1 预备知识：向量的内积教学目的与要求： 1.了解向量的内积及正交向量组的概念；1.了解把线性无关的向量组正交规范化的施密特(Smidt)方法；2.了解正交矩阵概念及性质。教学重点与难点：重点：正交向量组及正交矩阵难点：施密特正交化方法讲授内容：一、向量的内积前面曾介绍过向量的线性运算，但在许多实际问题中，还需要考虑向量的长度等方面的度量性质.在此，作为解析几何中向量的数量积的推广，引进向量的内积运算.定义1 设有维向量，令 ，称为向量与的内积. 内积是向量的一种运算，用矩阵记号表示，当与都是列向量时，有 . 内积具有下列性质（其中为维向量，为实数）： ； ； .例1 设有两个四维向量，.求及.解 维向量的内积是数量积的一种推广，但维向量没有3维向量那样直观的长度和夹角的概念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推广.并且反过来，利用内积来定义维向量的长度和夹角：定义2 令=，则称为维向量的长度（或范数）.向量的长度具有下列性质： 非负性 当时，当时，； 齐次性 ； 三角不等式 .向量的内积满足施瓦兹不等式 由此可得 （当时）于是有下面的定义：当，时， 称为维向量的夹角.二、正交向量组当时，称向量与正交.显然，若，则与任意向量都正交.两两正交的非零向量组称为正交向量组.定理1 若维向量是一组两两正交的非零向量组，则线性无关.证明 设有使 ，以左乘上式两端，得 ，因，故，从而必有.类似可证.于是向量组线性无关.注 1.该定理的逆定理不成立.2.这个结论说明：在维向量空间中，两两正交的向量不能超过个.这个事实的几何意义是清楚的.例如平面上找不到三个两两垂直的非零向量；空间中找不到四个两两垂直的非零向量.正交向量组作为向量空间的基，称为向量空间的正交基.例如个两两正交的维非零向量，可构成向量空间的一个正交基.例2 已知3维向量空间中两个向量，正交，试求一个非零向量，使两两正交.解 记 ，应满足齐次线性方程，即 ，由 ，得 ，从而有基础解系，取即合所求.定义3 设维向量是向量空间的一个基，如果两两正交，且都是单位向量，则称是的一个规范正交基.若是的一个规范正交基，那么中任一向量应能由线性表示，设表示式为 .为求其中的系数，可用左乘上式，有 ，即 .设是向量空间的一个基，要求的一个规范正交基.这也就是找一组两两正交的单位向量，使与等价.这样一个问题，称为把这个基规范正交化.以下办法可把规范正交化：取 ；.容易验证两两正交，且与等价. 然后只要把它们单位化，即取，就得的一个规范正交基.上述从线性无关向量组导出正交向量组的过程称为施密特（Schimidt）正交化过程.它不仅满足与等价，还满足：对任何，向量组与等价.例3 设，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.解 取；.再把它们单位化，取，.即合所求.例4 已知，求一组非零向量，使两两正交.解 应满足方程，即.它的基础解系为 ，.把基础解系正交化，即合所求.亦即取 ，.于是得 ，.三、正交矩阵在平面解析几何中，坐标轴的旋转变换为 对应的矩阵 ，显然.这样的矩阵称为正交矩阵.定义4 如果阶矩阵满足 （即），称为正交矩阵.上式用的列向量表示，既是 ，亦即 ，这也就是个关系式 （）.这就说明：方阵为正交矩阵的充分必要条件是的列向量都是单位鲜花量，且两两正交.又与等价，所以上述结论对的行向量亦成立.由此可见，正交矩阵的个列（行）向量构成向量空间的一个规范正交基.比如：，都是正交矩阵.注 正交矩阵的性质：设均为正交矩阵，则 1.，因此为满秩矩阵； 2.，并且也是正交矩阵； 3.也是正交矩阵.定义5 若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换.设为正交变换，则有 .按表示向量的长度，相当于线段的长度.说明经正交变换线段长度保持不变，这正是正交变换的优良特性.小结与提问： 小结：1.内积是计算向量的长、夹角的基础，须掌握其计算和运算性质. 2.向量的夹角是对两个非零向量定义的，这个定义的合理性是由施瓦兹不等式保证的，因为对任何非零向量，由施瓦兹不等式有.从而才有意义. 3.把线性无关的向量组正交规范化，须先正交化，后单位化，而不能先单位化，后正交化. 4.正交矩阵是一类重要的矩阵，一个矩阵是正交矩阵的充分必要条件是的 行（列）向量组是正交规范组，这是实际计算中求正交矩阵的根据.提问：1.向量空间的规范正交基是否唯一？ 2.、均是正交阵，是正交阵吗？课外作业： 1.（2）2.（1）3.第二讲授课题目：5.2 方阵的特征值与特征向量教学目的与要求：1.理解矩阵的特征值与特征向量的概念;2.掌握矩阵的特征值与特征向量的求法。教学重点与难点：重点：矩阵的特征值与特征向量的概念难点：矩阵的特征值与特征向量的性质及求法讲授内容：一、特征值与特征向量的定义定义1: 设是阶方阵，数和维若非零列向量，使得成立，则称是方阵的一个特征值,为方阵的对应于特征值的一个特征向量。注 1.是方阵；2.特征向量是非零列向量；3.方阵的与特征值对应的特征向量不唯一；4.一个特征向量只能属于一个特征值.二、特征值与特征向量的求法 或已知，所以齐次线性方程组有非零解定义2 设，为实数，则行列式 是关于的次多项式，称为方阵的特征多项式.方程称为方阵的特征方程. 显然，矩阵的特征方程在复数域内的个根就是的所有特征值.故求矩阵的特征值、特征向量的步骤为：（1）由求出，即为特征值；（2）把得到的特征值代入齐次线性方程组，求出非零解，即为所求特征向量.例1 求的特征值与特征向量.解 的特征多项式为. 所以的特征值为. 当时，对应的特征向量应满足， 故特征向量可取为. 同理，当时，对应的特征向量可取为.注 若是矩阵的对应于特征值的特征向量，则（）也是对应于特征值的特征向量.例2 求矩阵的特征值与特征向量.解 ， 所以 . 当时，解方程，得基础解系， 所以是对应于的全部特征向量. 当时，解方程， 得基础解系，所以是对应于的全部特征向量.例3 求矩阵的特征值与特征向量.解 所以，. 当时，解方程，得基础解系，所以是对应于的全部特征向量. 当时，解方程，得基础解系， 所以是对应于的全部特征向量.三、特征值与特征向量的性质性质1 若为阶矩阵，为的对应于特征值的特征向量，则（1）的特征值为（是任意常数）；（2）的特征值为（是正整数）；（3）若可逆，则是的特征值；（4）若为的多项式，则是的特征值.性质2 与有相同的特征值.定理1 设阶矩阵=的特征值为，则（1）；（2）.例4 设三阶矩阵的特征值为，求行列式的值.解 设 ，则，由定理1可知等于的三个特征值之值.而由性质1得的特征值为，故.定理2 设是方阵的个特征值，依次是与之对应的特征向量.如果各不相同，则线性无关.证明 设有常数使.则，即，类推之，有.（）把上列各式合写成矩阵形式，得 .上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列式，当各不相等时该行列式不等于零，从而该矩阵可逆.于是有.即.但，故.所以向量组线性无关.小结