【精】新课标人教A版高中数学必修1全套教案

1 高中数学教案必修全套 （人教 A版） 【 必修 1教案 全套】 目 录 第一章 函数与集合的概念 . 1 1.1 集合 . 2 1.1.1 集合的含 义与表示 . 2 1.1.2 集合间的基本关系 .13 1.1.3 集合的基本运算 .21 1.2 函数及其表示 .37 1.2.1 函数的概念 .37 1.2.2 函数的表示法 .50 1.3 函数的基本性质 .75 1.3.1 单调性与最大（小）值 .75 1.3.2 奇偶性 .96 本章复习 . 104 第二章 基本初等函数（ ） . 116 2.1 指数函数 . 117 2.1.1 指数与指数幂的运算 . 117 第 1 课时 指数与指数幂的运算 (1). 117 第 2 课时 指数与指数幂的运算 (2). 125 第 3 课时 指数与指数幂的运算 (3). 134 2.1.2 指数函数及其性质 . 143 第 1 课时 指数函数及其性质 (1) . 143 第 2 课时 指数函数及其性质 (2) . 152 第 3 课时 指数函数及其性质（ 3） . 158 2.2 对数函数 . 169 2.2.1 对数与对数运算 . 169 第 1 课时 对数与对数运算 (1). 169 第 2 课时 指数与指数幂的运算 (2). 177 第 3 课时 指数与指数幂的运算 (3). 185 2.3 幂函数 . 203 第三章 函数的应用 . 210 3.1 函数与方程 . 210 3.1.1 方 程的根与函数的零点 . 210 第 2 课时 方程的根与函数的零点 . 218 3.1.2 用二分法求方程的近似解 . 224 3.2 函 数模型及其应用 . 235 3.2.1 几类不同增长的函数模型 . 235 第 2 课时 几类不同增长的函数模型 . 243 3.2.2 函数模型的应用举例 . 251 第 1 课时 函数模型的应用实例 . 251 第 2 课时 函数模型的应用举例 . 256 优质 数学资源下载 /sxzyxz 1 第一章 函数与集合的概念 本章教材分析 通过本章的学习 ,使学生会使用最基本的集合 语言表示有关的数学对象 ,并能在自然语言、图形语言、集合语言之间进行转换 ,体会用集合语言表达数学内容的简洁性、准确性 ,帮助学生学会用集合语言描述数学对象 ,发展学生运用数学语言进行交流的能力 .通过本章的学习 ,使学生不仅把函数看成变量之间的依赖关系 ,同时还会用集合与对应的语言刻画函数 ,为后续学习奠定基础 .函数是高中数学的核心概念 ,本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习 ,强调结合实际问题 ,使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法 ,从而发展学生对变量数学的认识 ,培养学生的抽象概括能力 ,增强学生应用数 学的意识 . 课本力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识 ,通过列举丰富的实例 ,强调从实例出发 ,让学生对集合和函数概念有充分的感性认知基础 ,再用集合与对应语言抽象出函数概念 .课本突出了集合和函数概念的背景教学 ,这样比较符合学生的认识规律 .教学中要高度重视数学概念的背景教学 .课本尽量创设使学生运用集合语言和数学符号进行表达和交流的情境和机会 ,并注意运用 Venn图表达集合的关系及运算 ,用图象表示函数 ,帮助学生借助直观图示认识抽象概念 .课本在例题、习题的教学中注重运用集合和函数的观点研究、处理数学问题 ,这一观点 ,一 直贯穿到以后的数学学习中 .在例题和习题的编排中 ,渗透了分类讨论思想 ,让学生体会到分类讨论思想在生活中和数学中的广泛运用 ,这是学生在初中阶段所缺少的 .函数的表示是本章的主要内容之一 ,课本重视采用不同的表示法 (列表法、图象法、分析法 ),目的是丰富学生对函数的认识 ,帮助理解抽象的函数概念 .在教学中 ,既要充分发挥图象的直观作用 ,又要适当地引导学生从代数的角度研究图象 ,使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法 .课本将函数推广到了映射 ,体现了由特殊到一般的思维规律 ,有利于学生对函数概念学习的连续性 . 在教学中 ,要坚持循序 渐进 ,逐步渗透数形结合、分类讨论这方面的训练 .对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解 ,而对定义域、值域的繁难计算 ,特别是人为的过于技巧化的训练不作提倡 ,要准确把握这方面的要求 ,防止拔高教学 .重视函数与信息技术整合的要求 ,通过电脑绘制简单函数动态图象 ,使学生初步感受到信息技术在函数学习中的重要作用 .为了体现课本的选择性 ,在练习题安排上加大了弹性 ,教师应根据学生实际情况 ,合理地取舍 . 本章教学时间约需 13 课时 ,具体分配如下 (仅供参考 ): 1.1.1 集合的含义与表示 约 1 课时 1.1.2 集合间的基本关系 约 1 课时 1.1.3 集合的基本运算 约 2 课时 1.2.1 函数的概念 约 2 课时 1.2.1 函数的表示法 约 3 课时 1.3.1 单调性与最大 约 2 课时 1.3.2 奇偶性 约 1 课时 本章复习 约 1 课时 优质 数学资源下载 /sxzyxz 2 1.1 集合 1.1.1 集合的含义与表示 整体设计 教学分析 集合论是现代数学的一个重要的基础 .在高中数学中 ,集合的初步知识与其他内容有着密切的联系 ,是学习、掌握和使用数学语言的基础 .课本从学生熟悉的集合 (自然数的集合、有理数的集合等 )出发 ,结合实例给出元素、集合的含义 ,课本注重 体现逻辑思考的方法 ,如抽象、概括等 . 值得注意的问题 :由于本小节的新概念、新符号较多 ,建议教学时先引导学生阅读课本 ,然后进行交流 ,让学生在阅读与交流中理解概念并熟悉新符号的使用 .在信息技术条件较好的学校 ,可以利用网络平台让学生交流学习概念后的认识 ；也可以由教师给出问题 ,让学生读后回答问题 ,再由教师给出评价 .这样做的目的是培养学生主动学习的习惯 ,提高阅读与理解、合作与交流的能力 .在处理集合问题时 ,根据需要 ,及时提示学生运用集合语言进行表述 . 三维目标 1.通过实例了解集合的含义 ,体会元素与集合的 “属于 ”关系 ,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题 ,提高语言转换和抽象概括能力 ,树立用集合语言表示数学内容的意识 . 2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性 ,掌握常用数集及其专用符号 ,并能够用其解决有关问题 ,提高学生分析问题和解决问题的能力 ,培养学生的应用意识 . 重点难点 教学重点 :集合的基本概念与表示方法 . 教学难点 :选择恰当的方法表示一些简单的集合 . 课时安排 1 课时 设计方案（一） 教学过程 导入新课 思路 1.军训前学校通知 :8 月 15 日 8 点 ,高一年级学生到操场集合进行军训 .试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个 别学生？ 在这里 ,集合是我们常用的一个词语 ,我们感兴趣的是问题中某些特定 (是高一而不是高二、高三 )对象的总体 ,而不是个别的对象 ,为此 ,我们将学习一个新的概念 集合 . 思路 2.首先教师提出问题 :在初中 ,我们已经接触过一些集合 ,你能举出一些集合的例子吗 ?引导学生回忆、举例和互相交流自己举的例子 .与此同时 ,教师对学生的活动给予评价 .接着教师指出 :那么 ,集合的含义是什么呢 ?这就是我们这一堂课所要学习的内容 . 推进新课 新知探究 提出问题 请我们班的全体女生起立！接下来问 :“咱班的所有女生能不能构成一个集合啊？ ” 下面请班上身高在 1.75 以上的男生起立！他们能不能构成一个集合啊？ 其实 ,生活中有很多东西能构成集合 ,比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等 .那么 ,大家能不能再举出一些生活中的实际例子呢 ?请你给出集合的含义 . 如果用 A 表示高一 (3)班全体学生组成的集合 ,用 a 表示高一 (3)班的一位同学 ,b 是高一 (4)班的一位同学 ,那么 a、 b 与集合 A 分别有什么关系 ?由此看见元素与集合之间有什么关系？ 世界上最高的山能不能构成一个集合？ 世界上的高山能不能构成一个集合？ 问题说明集合中的元素具有什么性质？ 优质 数学资源下载 /sxzyxz 3 由实数 1、 2、 3、 1 组成的集合有几个元素？ 问题说明集合中的元素具有什么性质？ 由实数 1、 2、 3 组成的集合记为 M,由实数 3、 1、 2 组成的集合记为 N,这两个集合中的元素相同吗？这说明集合中的元素具有什么性质？由此类比实数相等 ,你发现集合有什么结论？ 讨论结果： 能 . 能 . 我们把研究的对象统称为 “元素 ”,那么把一些元素组成的总体叫 “集合 ”. a 是集合 A 的元素 ,b 不是集合 A 的元素 .学生得出元素与集合的关系有两种 :属于和不属于 . 能 ,是珠穆朗玛峰 . 不能 . 确定性 .给定的集合 ,它的元素必须是 明确的 ,即任何一个元素要么在这个集合中 ,要么不在这个集合中 ,这就是集合的确定性 . 3 个 . 互异性 .一个给定集合的元素是互不相同的 ,即集合中的元素是不重复出现的 ,这就是集合的互异性 . 集合 M 和 N 相同 .这说明集合中的元素具有无序性 ,即集合中的元素是没有顺序的 .可以发现 :如果两个集合中的元素完全相同 ,那么这两个集合是相等的 . 提出问题 阅读课本 P3 中 :数学中一些常用的数集及其记法 .快速写出常见数集的记号 . 活动： 先让学生阅读课本 ,教师指定学生展示结果 .学生写出常用数集的记号后 ,教师强调 :通常情况下 ,大写的英 文字母 N、 Z、 Q、 R 不能再表示其他的集合 ,这是专用集合表示符号 ,类似于 110、 119 等专用电话号码一样 .以后 ,我们会经常用到这些常见的数集 ,要求熟练掌握 . 讨论结果： 常见数集的专用符号 . N:非负整数集 (或自然数集 )(全体非负整数的集合 )； N*或 N+:正整数集 (非负整数集 N 内排除 0 的集合 )； Z:整数集 (全体整数的集合 )； Q:有理数集 (全体有理数的集合 )； R:实数集 (全体实数的集合 ). 提出问题 前面所说的集合是如何表示的？ 阅读课本中的相关内容 ,并思考 :除字母表示法和自然语言之外 ,还能用什么方 法表示集合？ 集合共有几种表示法 ? 活动： 学生回顾所学的集合并作出总结 .教师提示可以用字母或自然语言来表示 . 教师可以举例帮助引导 : 例如 ,24 的所有正约数构成的集合 ,把 24 的所有正约数写在大括号 “”内 ,即写出为 1,2,3,4,6,8,12,24的形式 ,这种表示集合的方法是列举法 .注意： 大括号不能缺失 ；有些集合所含元素个数较多 ,元素又呈现出一定的规律 ,在不至于发生误解的情况下 ,亦可用列举法表示 ,如 :从 1 到 100 的所有整数组成的集合 :1,2,3,100, 自然数集 N:0,1,2,3,4,n,； 区分 a 与 a:a表示一个集合 ,该集合只有一个元素 ,a 表示这个集合的一个元素 ；用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序 ；相同的元素不能出现两次 . 又例如 ,不等式 x-32 的解集 ,这个集合中的元素有无数个 ,不适合用列举法表示 .可以表示为 x R|x-32或x|x-32,这种表示集合的方法是描述法 . 让学生思考总结已经学习了的集合表示法 . 讨论结果： 方法一 (字母表示法 ):大写的英文字母表示集合 ,例如常见的数集 N、 Q,所有的正方形组成的集合记为 A 等 优质 数学资源下载 /sxzyxz 4 等 ； 方法二 (自然语言 ):用文字 语言来描述出的集合 ,例如 “所有的正方形 ”组成的集合等等 . 列举法 :把集合中的全部元素一一列举出来 ,并用大括号 “”括起来表示集合 ,这种表示集合的方法叫做列举法 ； 描述法 :在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值 (或变化 )范围 ,再画一条竖线 ,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征 .这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法 .注 :在不致混淆的情况下 ,也可以简写成列举法的形式 ,只是去掉竖线和元素代表符号 ,例如 :所有直角三角形的集合可以表示为 x|x 是直角三角形 ,也可以写成 直角三角形 . 表示一个集合共有四种方法 :字母表示法 、 自然语言 、 列举法 、 描述法 . 应用示例 思路 1 1.下列各组对象不能组成集合的是 ( ) A.大于 6 的所有整数 B.高中数学的所有难题 C.被 3 除余 2 的所有整数 D.函数 y=x1图象上所有的点 活动： 学生先思考、讨论集合元素的性质 ,教师指导学生此类选择题要逐项判断 .判断一组对象能否构成集合 ,关键是看是否满足集合元素的确定性 . 在选项 A、 C、 D 中的元素符合集合的确定性 ；而选项 B中 ,难题没有标准 ,不符合集合元素的确 定性 ,不能构成集合 . 答案： B 变式训练 1.下列条件能形成集合的是 ( ) A.充分小的负数全体 B.爱好足球的人 C.中国的富翁 D.某公司的全体员工 答案： D 2.2007 浙江宁波高三第一次 “十校联考 ”,理 1 在数集 2x,x2-x中 ,实数 x 的取值范围是 . 分析 :实数 x 的取值满足集合元素的互异性 ,则 2xx2-x,解得 x0 且 x3,实数 x 的取值范围是 x|x3. 答案： x|x3 点评： 本题主要考查集合的含义和元素的性质 .当所指的对象非常明确时就能构成集合 ,若元素不明确 ,没有判断的标准就不能构成集合 . 2.用列举法表示下列集合 : (1)小于 10 的所有自然数组成的集合 ； (2)方程 x2=x 的所有实数根组成的集合 ； (3)由 120 以内的所有质数组成的集合 . 活动： 学生先思考或讨论列举法的形式 ,展示解答过程 .当学生出现错误时 ,教师及时加以纠正 .利用相关的知识先明确集合中的元素 ,再把元素写入大括号 “”内 ,并用逗号隔开 .所给的集合均是用自然语言给出的 . 提示学生注意以下方面 : (1)自然数中包含零 ； (2)解一元二次方程有公式法和分解因式法 ,方程 x2=x 的根是 x=0,x=1； (3)除去 1 和本身外没有其他约数的正整数是质数 ,120 以内的所有质数是 2、 3、 5、 7、 11、 13、 17、 19. 解 ： (1)设小于 10 的所有自然数组成的集合为 A,那么 A=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. (2)设方程 x2=x 的所有实数根组成的集合为 B,那么 优质 数学资源下载 /sxzyxz 5 A=0,1. (3)设由 120 以内的所有质数组成的集合为 C,那么 C=2,3,5,7,11,13,17,19. 点评： 本题主要 考查集合表示法中的列举法 .通过本题可以体会利用集合表示数学内容的简洁性和严谨性 ,以后我们尽量用集合来表示数学内容 . 如果一个集合是有限集 ,并且元素的个数较少时 ,通常选择列举法表示 ,其特点是非常显明地表示出了集合中的元素 ,是常用的表示法 ； 列举法表示集合的步骤 :(1)用字母表示集合 ；(2)明确集合中的元素 ；(3)把集合中所有元素写在大括号 “”内 ,并写成 A= 的形式 . 变式训练 用列举法表示下列集合 : (1)所有绝对值等于 8 的数的集合 A； (2)所有绝对值小于 8 的整数的集合 B. 答案： (1)A=-8,8； (2)B=-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7. 3.试分别用列举法和描述法表示下列集合 : (1)方程 x2-2=0 的所有实数根组成的集合 ； (2)由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合 . 活动： 先让学生回顾列举法表示集合的步骤 ,思考描述法的形式 ,再找学生到黑板上书写 .当学生出现错误时 ,教师指导学生书写过程 .用描述法表示集合时 ,要用数学符号表示集合元素的特征 .大于 10 小于 20 的所有整数用数学符号可以表示为 10x20,x Z.(重点引导用描述法表示集合 ) 用 描述法表示集合时 ,用一个小写英文字母表示集合中的元素 ,作为集合中元素的代表符号 ,找到集合中元素的共同特征 ,并把共同特征用数学符号来表达 ,然后写在大括号 “”内 ,在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值 (或变化 )范围 ,再画一条竖线 ,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征 . 在 (1)中利用条件中现有元素代表符号 x,集合中元素的共同特征就是满足方程 x2-2=0. 在 (2)的条件中没有元素代表符号 ,故要先设出 ,用一个小写英文字母表示即可 ；集合中元素的共同特征有两个 :一是大于 10 小于 20(用不等式表示 ),二是 整数 (用元素与集合的关系符号 “ ”来表示 ). 解： (1)设方程 x2-2=0 的实根为 x,它满足条件 x2-2=0,因此 ,用描述法表示为 A=x R|x2-2=0. 方程 x2-2=0 的两个实数根为 2 , 2 ,因此 ,用列举法表示为 A= 2 , 2 . (2)设大于 10 小于 20 的整数为 x,它满足条件 x Z,且 10x20,因此 ,用描述法表示为 B=x Z|10x20. 大于 10 小于 20 的整数有 11,12,13,14,15,16,17,18,19,因此 ,用列举法表示为 B=11,12,13,14,15,16,17,18,19. 描述法表示集合的步骤 :(1)用字母分别表示集合和元素 ；(2)用数学符号表达集合元素的共同特征 ；(3)在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值 (或变化 )范围 ,再画一条竖线 ,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征 .并写成 A=| 的形式 .描述法适合表示有无数个元素的集合 . 注意： 当集合中的元素个数较少时 ,通常用列举法表示 ,否则用描述法表示 . 思路 2 1.(1)A=1,3,判断元素 3,5 和集合 A 的关系 ,并用符号表示 . (2)所有素质好的人能否表示为集合 ? (3)A=2,2,4表示是否准确 ? 优质 数学资源下载 /sxzyxz 6 (4)A=太平洋 ,大西洋 ,B=大西洋 ,太平洋 是否表示同一集合 ? 活动： 如果学生没有解题思路 ,让学生思考以下知识 : (1)元素与集合的关系及其符号表示 ； (2)集合元素的性质 ； (3)两个集合相同的定义 . 解： (1)根据元素与集合的关系有两种 :属于 ( )和不属于 ( ),知 3 属于集合 A,即 3 A,5 不属于集合 A,即5 A. (2)由于素质好的人标准不可量化 ,不符合集合元素的确定性 ,故 A 不能表示为集合 . (3)表示不准确 ,不符合集合元素的互异性 ,应表示为 A=2,4. (4)因其元素相 同 ,A与 B表示同一集合 . 变式训练 1.数集 3,x,x2-2x中 ,实数 x 满足什么条件 ? 解： 集合元素的特征说明 3,x,x2-2x中元素应满足 ,23,2,322xxxxxx即,032,3,322xxxxx也就是,1,0,3xxx 即满足 x-1,0,3. 2.方程 ax2+5x+c=0 的解集是 21,31,则 a=_,c=_. 分析 :方程 ax2+5x+c=0 的解集是 21,31,那么21、31是方程的两根 , 即有,3121,53121aca 得-1,c-6,a 那么 a=-6,c=-1. 答案： 6 -1 3.集合 A 中的元素由关于 x 的方程 kx2-3x+2=0 的解构成 ,其中 k R,若 A 中仅有一个元素 ,求 k 的值 . 解： 由于 A 中元素是关于 x 的方程 kx2-3x+2=0(k R)的解 , 若 k=0,则 x=32,知 A 中有一个元素 ,符合题设 ； 若 k0,则方程为一元二次方程 , 当 =9-8k=0 即 k=89时 ,kx2-3x+2=0 有两相等的实数根 ,此时 A 中有一个元素 . 综上所述 k=0 或 k=89. 4.2006 山东高考 ,理 1 定义集合运算 :A B=z|z=xy(x+y),x A,y B,设集合 A=0,1,B=2,3,则集合 A B的所有元素之和为 ( ) A.0 B.6 C.12 D.18 分析 : x A, x=0 或 x=1. 当 x=0,y B时 ,总有 z=0； 当 x=1 时 , 若 x=1,y=2 时 ,有 z=6；当 x=1,y=3 时 ,有 z=12. 综上所得 ,集合 A B的所有元素之和为 0+6+12=18. 答案： D 优质 数学资源下载 /sxzyxz 7 注意： 判断元素与此集合的关系时 ,用列举法表示的集合 ,只需观察这个元素是否在集合中即可 .用符号 ,表示 ,注意这两个符号的左边写元素 ,右边写集合 ,不能互换它们的位置 ,否则没有意义 . 如果有明确的标准来判断元素在集合中 ,那么这些元素就能构成集合 ,否则 不能构成集合 . 用列举法表示的集合 ,直接观察它们的元素是否完全相同 ,如果完全相同 ,那么这两个集合就相等 ,否则不相等 . 2.用列举法表示下列集合 : (1)小于 5 的正奇数组成的集合 ； (2)能被 3 整除且大于 4 小于 15 的自然数组成的集合 ； (3)方程 x2-9=0 的解组成的集合 ； (4)15 以内的质数 ； (5)x|x36 Z,x Z. 活动： 教师指导学生思考列举法的书写格式 ,并讨论各个集合中的元素 .明确各个集合中的元素 ,写在大括号内即可 . 提示学生 注意： (2)中满足条件的数按从小到大排列时 ,从第二个数起 ,每 个数比前一个数大 3； (4)中除去 1 和本身外没有其他的约数的正整数是质数 ； (5)中 3-x 是 6 的约数 ,6的约数有 1,2,3,6. 解： (1)满足题设条件小于 5 的正奇数有 1、 3,故用列举法表示为 1,3； (2)能被 3 整除且大于 4 小于 15 的自然数有 6、 9、 12,故用列举法表示为 6,9,12； (3)方程 x2-9=0 的解为 -3、 3,故用列举法表示为 -3,3； (4)15 以内的质数有 2、 3、 5、 7、 11、 13,故该集合用列举法表示为 2,3,5,7,11,13； (5)满足x36 Z 的 x 有 3-x=1 、 2 、 3 、 6,解之 ,得 x=2、 4、 1、 5、 0、 6、 -3、 9,故用列举法表示为2,4,1,5,0,6,-3,9. 变式训练 用列举法表示下列集合 : (1)x2-4 的一次因式组成的集合 ； (2)y|y=-x2-2x+3,x R,y N； (3)方程 x2+6x+9=0 的解集 ； (4)20 以内的质数 ； (5)(x,y)|x2+y2=1,x Z,y Z； (6)大于 0 小于 3 的整数 ； (7)x R|x2+5x-14=0； (8)(x,y)|x N 且 1x4,y-2x=0； (9)(x,y)|x+y=6,x N,y N. 思路分析： 用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素 ,要注意不重不漏 ,不计次序地用 “,”隔开放在大括号内 . 解： (1)因 x2-4=(x-2)(x+2),故符合题意的集合为 x-2,x+2； (2)y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,即 y4.又 y N, y=0、 1、 2、 3、 4, 故 y|y=-x2-2x+3,x R,y N=0,1,2,3,4； (3)由 x2+6x+9=0 得 x1=x2=-3,方程 x2+6x+9=0 的解集为 -3； (4)20 以内的质数 =2,3,5,7,11,13,17,19； (5)因 x Z,y Z,则 x=-1、 0、 1 时 ,y=0、 1、 -1, 那么 (x,y)|x2+y2=1,x Z,y Z=(-1,0),(0,1),(0,-1),(1,0)； 优质 数学资源下载 /sxzyxz 8 (6)大于 0 小于 3 的整数 =1,2； (7)因 x2+5x-14=0 的解为 x1=-7,x2=2,则 x R|x2+5x-14=0=-7,2； (8)当 x N 且 1x6； (3)不等式 x-73 的解是 x10,则 不等式 x-73 的解集表示为 x|x10. 点评： 本题主要考查集合的描述法表示 .描述法适用于元素个数是有限个并且较多或无限个的集合 . 用 描述法表示集合时 ,集合元素的代表符号不能随便设 ,点集的元素代表符号是 (x,y),数集的元素代表符号常用 x.集合中元素的公共特征属性可以用文字直接表述 ,最好用数学符号表示 ,必须抓住其实质 . 变式训练 用描述法表示下列集合 : (1)方程 2x+y=5 的解集 ； (2)小于 10 的所有非负整数的集合 ； (3)方程 ax+by=0(ab0)的解 ； (4)数轴上离开原点的距离大于 3 的点的集合 ； (5)平面直角坐标系中第、象限点的集合 ； (6)方程组1y-x1,yx 的解的集合 ； (7)1,3,5,7,； (8)x 轴上所有点的集合 ； (9)非负偶数 ； (10)能被 3 整除的整数 . 解： (1)(x,y)|2x+y=5； (2)x|0x3； (5)(x,y)|xyx+3 的全体实数 ； (4)所有直角三角形 ； (5)美国 NBA 的著名篮球明星 ； (6)所有绝对值等于 6 的数 ； (7)所有绝对值小于 3 的整数 ； (8)中国男子足球队中技术很差的队员 ； (9)参加 2008 年奥运会的中国代表团成员 . 答案： (1)(2)(3)(4)(6)(7)(9)能组成集合 ,(5)(8)不能组成集合 . 2.(口答 )说出下面集合中的元素 : (1)大于 3 小于 11 的偶数 ； (2)平方等于 1 的数 ； (3)15 的正约数 . 答案： (1)其元素为 4,6,8,10； (2)其元素为 -1,1； (3)其元素为 1,3,5,15. 3.用符号或 填空 : (1)1_N,0_N,-3_N,0.5_N, 2 _N； (2)1_Z,0_Z,-3_Z,0.5_Z, 2 _Z； (3)1_Q,0_Q,-3_Q,0.5_Q, 2 _Q； (4)1_R,0_R,-3_R,0.5_R, 2 _R. 答案： (1) (2) (3) (4) 4.判断正误 : 优质 数学资源下载 /sxzyxz 10 (1)所有属于 N 的元素都属于 N*. ( ) (2)所有属于 N 的元素都属于 Z. ( ) (3)所有不属于 N*的数都不属于 Z. ( ) (4)所有不属于 Q 的实数都属于 R. ( ) (5)不属于 N 的数不能使方程 4x=8 成立 . ( ) 答案： (1) (2) (3) (4) (5) 5.分别用列举法、描述法表示方程组273y-2x2,y3x 的解集 . 解： 因273y-2x2,y3x 的解为-7.y3,x 用描述法表示该集合为 (x,y)|273y-2x2y3x ； 用列举法表示该集合为 (3,-7). 拓展提升 问题 :集合 A=x|x=a+ 2 b,a Z,b Z,判断下列元素 x=0、121、231与集合 A 之间的关系 . 活动： 学生先思考元素与集合之间有什么关系 ,书写过程 ,将元素 x 化为 a+2b 的形式 ,再判断 a、 b 是否为整数 .描述法表示集合的优点是突出显示了集合元素的特征 ,那么判断一个元素是否属于集合时 ,转化为判断这个元素是否满足集合元素的特征即可 . 解： 由于 x=a+b 2 ,a Z,b Z, 当 a=b=0 时 ,x=0. 0 A. 又121= 2 +1=1+ 2 , 当 a=b=1 时 ,a+b 2 =1+ 2 ,121 A. 又231= 3 + 2 , 当 a=3,b=1 时 ,a+b 2 = 3 + 2 ,而 3 Z, 231 A. 0 A,121 A,231 A. 点评： 本题考查集合的描述法表示以及元素与集合间的关系 . 课堂小结 优质 数学资源下载 /sxzyxz 11 本节学习了 :(1)集合的概念 ；(2)集合的表示法 ；(3)利用列举法和描述法表示集合的步骤 . 作业 课本 P11习题 1.1A 组 2、 3、 4. 设计感想 集合语言是现代数学的基本语言 ,在高中数学课程中 ,它也是学习 、 掌握和使用数学语言的基础 .由于集合的概念较难理解 ,因此设计时采用渐进式学习 ,而集合的列举法和描述法的形式比较容易接受 ,在设计时注重让学生自己学习 ,重点引导学生学习这两种方法的应用 .同时通过解决一系列具体问题 ,使学生自己体会到集合各种表示法的优缺点 ；针对不同问题 ,能选用合适集合表示法 .在练习过程中熟练掌握集合语言与自然语言的转换 .教师在 教学过程 中时时监控 ,对学生不可能解决的问题 ,如集合常见表示法的写法 ,常见数集及其记法应直接给出 ,以避免出现不必要的混乱 .对学生解题过程中遇到的困难给予适当点拨 .引导学生养成良好学习习惯 ,最大限度地挖掘学生的学习潜力是我们教师的奋斗目标 . 备课资料 备选例题 【例 1】下面的 Venn 图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系 ,问集合 A、 B、 C、 D、 E 分别是哪种图形的集合？ 图 1-1-2-6 思路分析： 结合 Venn 图 ,利用平面几何中梯形、平行四边形、菱形、正方形的定义来确定 . 解： 梯形、平行四 边形、菱形、正方形都是四边形 ,故 A=四边形 ；梯形不是平行四边形、菱形、正方形 ,而菱形、正方形是平行四边形 ,故 B=梯形 ,C=平行四边形 ；正方形是菱形 ,故 E=正方形 , 即 A=四边形 ,B=梯形 ,C=平行四边形 ,D=菱形 ,E=正方形 . 【例 2】 2006 全国高中数学联赛山东赛区预赛 ,3 设集合 A=x|x|2-3|x|+2=0,B=x|(a-2)x=2,则满足 B A 的a 的值共有 ( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 分析 :由已知得 A=x|x|=1 或 |x|=2=-2,-1,1,2,集合 B是关于 x 的方程 (a-2)x=2 的解集 , B A, B= 或 B . 当 B= 时 ,关于 x 的方程 (a-2)x=2 无解 , a-2=0. a=2.当 B 时 ,关于 x 的方程 (a-2)x=2 的解 x=22a A, 22a=-2 或22a=-1 或22a=1 或22a=2. 解得 a=1 或 0 或 4 或 3,综上所得 ,a的值共有 5 个 . 答案： D 【例 3】 2005 天津高考 ,文 1 集合 A=x|0x3 且 x N的真子集的个数是 ( ) A.16 B.8 C.7 D.4 分析 :A=x|0x3 且 x N=0,1,2,则 A 的真子集有 23-1=7 个 . 答案： C 【例 4】已知集合 A=x|1x3,B=x|(x-1)(x-a)=0,试判断集合 B 是不是集合 A 的子集？是否存在实数 a使 A=B成立？ 解析 :先在数轴上表示集合 A,然后化简集合 B,由集合元素的互异性 ,可知此时应考虑 a 的取值是否为 1,要使 优质 数学资源下载 /sxzyxz 12 集合 B成为集合 A的子集 ,集合 B的元素在数轴上的对应点必须在集合 A对应的线段上 ,从而确 定字母 a 的分类标准 . 当 a=1 时 ,B=1,所以 B是 A 的子集 ；当 13 时 ,B不是 A的子集 .综上可知 ,当 1a3 时 ,B是 A 的子集 . 由于集合 B最多只有两个元素 ,而集合 A 有无数个元素 ,故不存在实数 a,使 B=A. 点评： 分类讨论思想 ,就是科学合理地划分类别 ,通过 “各个击破 ”,再求整体解决 (即先化整为零 ,再聚零为整 )的策略思想 .类别的划分必须满足互斥、无漏、最简的要求 ,探索划分的数量界限是分类讨论的关键 . 思考 (1)空集中没有元素 ,怎么还是集合 ? (2)符号 “ ”和 “ ”有什么区别 ? 剖析 :(1)疑点是总是对空集这个概念迷惑不解 ,并产生怀疑的想法 .产生这种想法的原因是没有了解建立空集这个概念的背景 ,其突破方法是通过实例来体会 .例如 ,根据集合元素的性质 ,方程的解能够组成集合 ,这个集合叫做方程的解集 .对于x1=0,x2+4=0 等方程来说 ,它们的解集中没有元素 .也就是说确实存在没有任何元素的集合 ,那么如何用数学符号来刻画没有元素的集合呢？为此引进了空集的概念 ,把不含任何元素的集合叫做空集 .这就是建立空集这个概念的背景 .由此看出 ,空集的概念是一个规定 .又例如 ,不等式 |x|0 的解集也是不含任何元素 ,就称不等式 |x|0 的解集是空集 . (2)难点是经常把这两个符号混淆 ,其突破方法是准确把握这两个符号的含义及其应用范围 ,并加以对比 .符号只能适用于元素与集合之间 ,其左边只能写元素 ,其右边只能写集合 ,说明左边的元素属于右边的集合 ,表示元素与集合之间的关系 ,如 -1 Z,21 Z；符号 只能适用于集合与集合之间 ,其左右两边都必须写集合 ,说明左边的集合是右边集合的子集 ,表示集合与集合之间的关系 ,如 1 1,0, x|x0. (设计者：王立青 ) 优质 数学资源下载 /sxzyxz 13 1.1.2 集合间的基本关系 整体设计 教学分析 课本从学生熟悉的集合 (自然数的集合、有理数的集合等 )出发 ,通过类比实数间的大小关系引入集合间的关系 ,同时 ,结合相关内容介绍子集等概念 .在安排这部分内容时 ,课本注重体现逻辑思考的方法 ,如类比等 . 值得注意的问题 :在集合间的关系教学中 ,建议重视使用 Venn 图 ,这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念 ；随着学习的深入 ,集合符号越来越多 ,建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号 ,例如与 的区别 . 三维目标 1.理解集合之间包含与相等的含义 ,能识别给定集合的子集 ,能判断给定集合间的关系 ,提高利用类比发现新结论的能力 . 2.在具体情境中 ,了解空集的含义 ,掌握并能使用 Venn图表达集合的关系 ,加强学生从具体到抽象的思维能力 ,树立数形结合的思想 . 重点难点 教学重点 :理解集合间包含与相等的含义 . 教学难点 :理解空集的含义 . 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.实数有相等 、 大小关系 ,如 5=5,53 等等 ,类比实数之间的关系 ,你会想到集合之间有什么关系呢？(让学生自由发言 ,教师不要急于作出判断 ,而是继续引导学生 ) 欲知谁正确 ,让我们一起来观察 、 研探 . 思路 2.复习元素与集合的关系 属于与不属于的关系 ,填空 :(1)0N；(2)2Q；(3)-1.5R. 类比实数的大小关系 ,如 52 ,则 N= 或 N . 当 N= 时 ,关于 x 的方程 ax=1 中无解 ,则有 a=0； 当 N 时 ,关于 x 的方程 ax=1 中有解 ,则 a0,此时 x=a1,又 N M,a1 M.a12. 0a21.综上所得 ,实数 a 的取值范围是 a=0 或 0a21,即实数 a 的取值范围是 a|0a21 2.(1)分别写出下列集合的子集及其个数 : ,a,a,b,a,b,c. (2)由 (1)你发现集合 M 中含有 n 个元素 ,则集合 M 有 多少个子集？ 活动： 学生思考子集的含义 ,并试着写出子集 .(1)按子集中所含元素的个数分类写出子集 ；(2)由 (1)总结当n=0,n=1,n=2,n=3 时子集的个数规律 ,归纳猜想出结论 . 答案： (1) 的子集有 : ,即 有 1 个子集 ； a的子集有 : 、 a,即 a有 2 个子集 ； a,b的子集有 : 、 a、 b、 a,b,即 a,b有 4 个子集 ； a,b,c的子集有 : 、 a、 b、 c、 a,b、 a,c、 b,c、 a,b,c,即 a,b,c有 8 个子集 . (2)由 (1)可得 :当 n=0 时 ,有 1=20 个子集 ； 当 n=1 时 ,集合 M 有 2=21 个子集 ； 当 n=2 时 ,集合 M 有 4=22 个子集 ； 当 n=3 时 ,集合 M 有 8=23 个子集 ； 因此含有 n 个元素的集合 M 有 2n 个子集 . 变式训练 已知集合 A 2,3,7,且 A 中至多有一个奇数 ,则这样的集合 A 有 ( ) A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 分析 :对集合 A 所含元素的个数分类讨论 . A= 或 2或 3或 7或 2,3或 2,7共有 6 个 . 答案： D 点评： 本题 主要考查子集的概念以及分类讨论和归纳推理的能力 .集合 M 中含有 n 个元素 ,则集合 M 有 2n个子集 ,有 2n-1 个真子集 ,记住这个结论 ,可以提高解题速度 .写一个集合的子集时 ,按子集中元素的个数来写不易发生重复和遗漏现象 . 知能训练 课本 P7 练习 1、 2. 【补充练习】 1.判断正误 : (1)空集没有子集 . ( ) (2)空集是任何一个集合的真子集 . ( ) (3)任一集合必有两个或两个以上子集 . ( ) (4)若 B A,那么凡不属于集合 A 的元素 ,则必不属于 B. ( ) 分析 :关于判断题应确实把握好概念的实质 . 解： 该题的 5 个命题 ,只有 (4)是正确的 ,其余全错 . 优质 数学资源下载 /sxzyxz 17 对于 (1)、 (2)来讲 ,由规定 :空集是任何一个集合的子集 ,且是任一非空集合的真子集 . 对于 (3)来讲 ,可举反例 ,空集这一个集合就只有自身一个子集 . 对于 (4)来讲 ,当 x B时 必有 x A,则 x A 时也必有 x B. 2.集合 A=x|-1x3,x Z,写出 A 的真子集 . 分析 :区分子集与真子集的概念 ,空集是任一非空集合的真子集 ,一个含有 n 个元素的子集有 2n 个 ,真子集有2n-1 个 ,则该题先找该集合元素 ,后找真子集 . 解： 因 -1x3,x Z,故 x=0,1,2, 即 a=x|-1x3,x Z=0,1,2. 真子集 : 、 1、 2、 0、 0,1、 0,2、 1,2,共 7 个 . 3.(1)下列命题正确的是 ( ) A.无限集的真子集是有限集 B.任何一个集合必定有两个子集 C.自然数集是整数集的真子集 D.1是质数集的真子集 (2)以下五个式子中 ,错误的个数为 ( ) 1 0,1,2 1,-3=-3,1 0,1,2 1,0,2 0,1,2 0 A.5 B.2 C.3 D.4 (3)M=x|3x4,a=,则下列关系正确的是 ( ) A.a M B.a M C.a M D.a M 分析 :(1)该题要在四个选择肢中找到符合条件的选择肢 ,必须对概念把握准确 , 无限集的真子集有可能是无限集 ,如 N 是 R 的真子集 ,排除 A；由于 只有一个子集 ,即它本身 ,排除 B；由于 1不是质数 ,排除 D. (2)该题涉及到的是元素与集合 ,集合与集合的关系 . 应是 1 0,1,2,应是 0,1,2,应是 0. 故错误的有 . (3)M=x|3x4,a=. 因 3a4,故 a 是 M 的一个元素 . a是 x|3x2m-1 即 m2m-1,得 m4. 综上有 m4. 点评： 此问题解决要 注意： 不应忽略 ；找 A 中的元素 ；分类讨论思想的运用 . 拓展提升 问题 :已知 A B,且 A C,B=0,1,2,3,4,C=0,2,4,8,则满足上述条件的集合 A 共有多少个？ 活动： 学生思考 A B,且 A C 所表达的含义 .A B说明集合 A 是集合 B的子集 ,即集合 A 中元素属于集合 B,同理有集合 A 中元素属于集合 C.因此集合 A 中的元素是集合 B和集合 C 的公共元素 . 思路 1:写出由集合 B和集合 C 的公共元素所组成的集合 ,得满足条件的集合 A； 思路 2:分析题意 ,仅求满足条件的集合 A的个数 ,转化为求集合 B和集合 C的公共元素所组成的集合的子集个数 . 解法一： 因 A B,A C,B=0,1,2,3,4,C=0,2,4,8,由此 ,满足 A B,有 : ,0,1,2,3,4, 0,1,0,2,2,3,2,4,0,3,0,4,1,2,1,3,1,4,3,4,0,2,4,0,1,2,0,1,3,0,1,4,1,2,3,1,2,4,2,3,4,0,3,4,0,1,2,3,1,2,3,4,0,1,3,4,0,2,3,1,3,4,0,1,2,4,0,2,3,4,0,1,2,3,4,共 25=32(个 ). 又满足 A C 的集合 A 有 : ,0,2,4,8,0,2,0,4,0,8,2,4,2,8,4,8,0,2,4, 优质 数学资源下载 /sxzyxz 19 0,2,8,0,4,8,2,4,8,0,2,4,8,共 24=16(个 ). 其中同时满足 A B,A C 的有 8 个 : ,0,2,4,0,2,0,4,2,4,0,2,4,实际上到此就可看出 ,上述解法太繁 . 解法二： 题目只求集合 A 的个数 ,而未让说明 A 的具体元素 ,故可将问题等价转化为 B、 C 的公共元素组成集合的子集数是多少 .显然公共元素有 0、 2、 4,组成集合的子集有 23=8(个 ). 点评： 有关集合间关系的问题 ,常用分类讨论的思想来解决 ；关于集合的子集个数的结论要熟练掌握 ,其应用非常广泛 . 课堂小结 本节课学习了 : 子集、真子集、空集、 Venn 图等概念 ； 能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集 ,进一步确定其是否是真子集 ； 清楚两个集合包含关系的确定 ,主要靠其元素与集合关系来说明 . 作业 课本 P11习题 1.1A 组 5. 设计感想 本节教学设计注重引导学生通过类比来获得新知 ,在实际教学中 , 要留给学生适当的思考时间 ,使学生自己通过类比得到正确结论 .丰富学生的学习方式 、 改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理 念 ,学生的数学学习活动不能仅限于对概念 、 结论和技能的记忆 、 模仿和接受 ,独立思考 、 自主探索 、 合作交流 、 阅读自学等都应成为学生学习数学的重要方式 . 备课资料 备选例题 【例 1】已知 A=y|y=x2-4x+6,x R,y N,B=y|y=-x2-2x+7,x R,y N,求 AB,并分别用描述法 、 列举法表示它 . 解： y=x2-4x+6=(x-2)2+22,A=y|y2,y N, 又 y=-x2-2x+7=-(x+1)2+88, B=y|y8,y N. 故 AB=y|2y8=2,3,4,5,6,7,8. 【例 2】 2006 第十七届 “希望杯 ”全国数学邀请赛 (高一 )第一试 ,1 设 S=(x,y)|xy0,T=(x,y)|x0 且 y0,则( ) A.S T=S B.S T=T C.ST=S D.ST= 分析 :S=(x,y)|xy0=(x,y)|x0 且 y0 或 x0 且 y1,B=x|x0,在数轴上表示出集合 A 与 B,并写出由集合 A 与 B 中的所有元素组成的集合 C. 推进新课 新知探究 提出问题 优质 数学资源下载 /sxzyxz 22 通过上述问题中集合 A 与 B与集合 C 之间的关系 ,类比实数的加法运算 ,你发现了什么？ 用文字语言来叙述上述问题中 ,集合 A 与 B与集合 C 之间的关系 . 用数学符号来叙述上述问题中 ,集 合 A 与 B与集合 C 之间的关系 . 试用 Venn 图表示 A B=C. 请给出集合的并集定义 . 求集合的并集是集合间的一种运算 ,那么 ,集合间还有其他运算吗？ 请同学们考察下面的问题 ,集合 A 与 B与集合 C 之间有什么关系？ ( )A=2,4,6,8,10,B=3,5,8,12,C=8； ( )A=x|x 是国兴中学 2007 年 9 月入学的高一年级女同学 ,B=x|x 是国兴中学 2007 年 9 月入学的高一年级男同学 ,C=x|x 是国兴中学 2007 年 9 月入学的高一年级同学 . 类比集合的并集 ,请给出集合的交集定 义？并分别用三种不同的语言形式来表达 . 活动： 先让学生思考或讨论问题 ,然后再回答 ,经教师提示、点拨 ,并对回答正确的学生及时表扬 ,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路 ,主要引导学生发现集合的并集和交集运算并能用数学符号来刻画 ,用Venn 图来显示 . 讨论结果： 集合之间也可以相加 ,也可以进行运算 ,但是为了不和实数的运算相混淆 ,规定这种运算不叫集合的加法 ,而是叫做求集合的并集 .集合 C 叫集合 A 与 B的并集 .记为 A B=C,读作 A 并 B. 所有属于集合 A 或属于集合 B的元素所组成了集合 C. C=x|x A,或 x B. 如图 1131 所示 . 一般地 ,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合 ,称为集合 A 与 B的并集 .其含义用符号表示为 A B=x|x A,或 x B,用 Venn 图表示 ,如图 1131 所示 . 集合之间还可以求它们的公共元素组成集合的运算 ,这种运算叫求集合的交集 ,记作 AB,读作 A 交B.( )AB=C,( )A B=C. 一般地 ,由属于集合 A 且属于集合 B的所有元素组成的集合 ,称为 A 与 B的交集 . 其含义用符号表示为 : AB=x|x A,且 x B. 用 Venn 图表示 ,如图 1132 所示 . 图 1-1-3-2 应用示例 思路 1 1.设 A=4,5,6,8,B=3,5,7,8,求 A B,AB. 图 1-1-3-3 活动： 让学生回顾集合的表示法和交集、并集的含义 ,由于本例题难度较小 ,让学生自己解决 ,重点是总结集合运算的方法 .根据集合并集、交集的含义 ,借助于 Venn 图写出 .观察这两个集合中的元素 ,或用 Venn 图来表示 ,如图 1133 所示 . 解： A B=4,5,6,8 3,5,7,8=3,4,5,6,7,8.AB=4,5,6,83,5,7,8=5,8. 优质 数学资源下载 /sxzyxz 23 点评： 本题主要 考查集合的并集和交集 .用列举法表示的集合 ,运算时常利用 Venn 图或直接观察得到结果 . 本题易错解为 A B=3,4,5,5,6,7,8,8.其原因是忽视了集合元素的互异性 .解决集合问题要遵守集合元素的三条性质 . 变式训练 1.集合 M=1,2,3,N=-1,5,6,7,则 M N=_.MN=_. 答案： -1,1,2,3,5,6,7 2.集合 P=1,2,3,m,M=m2,3,P M=1,2,3,m,则 m=_. 分析 :由题意得 m2=1 或 2 或 m,解得 m=-1,1, 2 , 2 ,0.因 m=1 不合题意 ,故舍去 . 答案： -1, 2 , 2 ,0 3.2007 河南实验中学月考 ,理 1 满足 A B=0,2的集合 A 与 B的组数为 ( ) A.2 B.5 C.7 D.9 分析 : A B=0,2, A 0,2.则 A= 或 A=0或 A=2或 A=0,2.当 A= 时 ,B=0,2；当 A=0时 ,则集合 B=2或 0,2；当 A=2时 ,则集合 B=0或 0,2；当 A=0,2时 ,则集合 B= 或 0或 2或 0,2,则满足条件的集合 A 与 B的组数为 1+2+2+4=9. 答案： D 4.2006 辽宁高考 ,理 2 设集合 A=1,2,则满足 A B=1,2,3的集合 B的个数是 ( ) A.1 B.3 C.4 D.8 分析 :转化为求集合 A 子集的个数 .很明显 3 A,又 A B=1,2,3,必有 3 B,即集合 B中至少有一个元素 3,其他元素来自集合 A 中 ,则集合 B的个数等于 A=1,2的 子集个数 ,又集合 A 中含有 22=4 个元素 ,则集合 A有 22=4 个子集 ,所以满足条件的集合 B共有 4 个 . 答案： C 2.设 A=x|-10,求 A B,AB. 答案： A B=R,AB=x|2x3. 2.设 A=x|2x-4=2,B=x|2x-4=0,求 A B,AB. 答案： A B=3,2,AB= . 3.2007 惠州高三第一次调研考试 ,文 1 设集合 A=x|-1x2,B=x|0x4,则 AB等于 ( ) A. 0,2 B. 1,2 C. 0,4 D. 1,4 分析 :在同一条数轴上表示出集合 A、 B,如图 1135 所示 .由图得 AB= 0,2 . 图 1-1-3-5 答案： A 优质 数学资源下载 /sxzyxz 24 课本 P11例 6、 例 7. 思路 2 1.A=x|x0,C=x|x10,则 AB,B C,ABC分别是什么 ? 活动： 学生先思考集合中元素特征 ,明确集合中的元素 .将集合中元素利用数形结合在数轴上找到 ,那么运算结果寻求就 易进行 .这三个集合都是用描述法表示的数集 ,求集合的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所有元素 . 解： 因 A=x|x0,C=x|x10,在数轴上表示 ,如图 1136 所示 ,所以 AB=x|00,ABC= . 图 1-1-3-6 点评： 本题主要考查集合的交集和并集 .求集合的并集和交集时 ,明确集合中的元素 ；依据并集和交集的含义 ,借助于直观 (数轴或 Venn 图 )写出结果 . 变式训练 1.设 A=x|x=2n,n N*,B=x|x=2n,n N,求 AB,A B. 解： 对任意 m A,则有 m=2n=22n-1,n N*,因 n N*,故 n-1 N,有 2n-1 N,那么 m B, 即对任意 m A 有 m B,所以 A B. 而 10 B但 10 A,即 A B,那么 AB=A,A B=B. 2.求满足 1,2 B=1,2,3的集合 B的个数 . 解： 满足 1,2 B=1,2,3的集合 B一定含有元素 3,B=3；还可含 1 或 2 其中一个 ,有 1,3,2,3；还可含 1和 2,即 1,2,3,那么共有 4 个满足条件的集合 B. 3.设 A=-4,2,a-1,a2,B=9,a-5,1-a,已知 AB=9,求 a. 解： 因 AB=9,则 9 A,a-1=9 或 a2=9, a=10 或 a=3, 当 a=10 时 ,a-5=5,1-a=-9； 当 a=3 时 ,a-1=2 不合题意 . 当 a=-3 时 ,a-1=-4 不合题意 . 故 a=10,此时 A=-4,2,9,100,B=9,5,-9,满足 AB=9. 4.2006 北京高考 ,文 1 设集合 A=x|2x+1-3 D.x|x1 分析 :集合 A=x|2x+13=x|x1, 观察或由数轴得 AB=x|-3x1. 答案： A 2.设集合 A=x|x2+4x=0,B=x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a R,若 AB=B,求 a 的值 . 活动： 明确集合 A、 B 中的元素 ,教师和学生共同探讨满足 AB=B的集合 A、 B 的关系 .集合 A 是方程 x2+4x=0的解组成的集合 ,可以发现 ,B A,通过分类讨论集合 B 是否为空集 来求 a 的值 .利用集合的表示法来认识集合 A、 B均是方程的解集 ,通过画 Venn 图发现集合 A、 B的关系 ,从数轴上分析求得 a 的值 . 解： 由题意得 A=-4,0. AB=B, B A. B= 或 B . 当 B= 时 ,即关于 x 的方程 x2+2(a+1)x+a2-1=0 无实数解 , 则 =4(a+1)2-4(a2-1)0,解得 a2m-1, m2. 当 B 时 ,观察图 1-1-3-7: 图 1-1-3-7 由数轴可得.512,12,121mmmm 解得 -2m3. 综上所述 ,实数 m 的取值范围是 m2 或 -2m3,即 m3. 点评： 本题主要考查集合的运算、分类讨论的思想 ,以及集合间关系的应用 .已知两个集合的运算结果 ,求集合中参数的值时 ,由集合的运算结果确定它们的关系 ,通过 深刻理解集合表示法的转换 ,把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题 .这称为数学的化归思想 ,是数学中的常用方法 ,学会应用化归和分类讨论的数学思想方法解决有关问题 . 知能训练 课本 P11练习 1、 2、 3. 【补充练习】 1.设 a=3,5,6,8,B=4,5,7,8, (1)求 AB,A B. (2)用适当的符号 ( 、 )填空 : AB_A,B_AB,A B_A,A B_B,AB_A B. 解： (1)因 A、 B的公共元素为 5、 8,故两集合的公共部分为 5、 8, 则 AB=3,5,6,84,5,7,8=5,8. 又 A、 B两集合的元素 3、 4、 5、 6、 7、 8, 故 A B=3,4,5,6,7,8. (2)由文氏图可知 AB A,B AB,A B A,A B B,AB A B. 2.设 A=x|x-2. 5.设 A=x|x 是平行四边形 ,B=x|x 是矩形 ,求 A B. 解： 因矩形是平行四边形 ,故由 A 及 B的元素组成的集合为 A B,A B=x|x 是平行四边形 . 6.已知 M=1,N=1,2,设 A=(x,y)|x M,y N,B=(x,y)|x N,y M,求 AB,A B. 分析 :M、 N 中元素是数 .A、 B中元素是平面内点集 ,关键是找其元素 . 解： M=1,N=1,2,则 A=(1,1),(1,2),B=(1,1),(2,1),故 AB=(1,1),A B=(1,1),(1,2), (2,1). 7.2006 江苏高考 ,7 若 A、 B、 C 为三个集合 ,A B=BC,则一定有 ( ) A.A C B.C A C.AC D.A= 分析 :思路一 : (BC) B,(BC) C,A B=BC, A B B,A B C. A B C. A C. 思路二 :取满足条件的 A=1,B=1,2,C=1,2,3,排除 B、 D, 令 A=1,2,B=1,2,C=1,2,则此时也满足条件 A B=BC, 而此时 A=C,排除 C. 答案： A 拓展提升 观察： (1)集合 A=1,2,B=1,2,3,4时 ,AB,A B这两个运算结果与集合 A,B的关系 ； (2)当 A= 时 ,AB,A B这两个运算结果与集合 A,B的关系 ； (3)当 A=B=1,2时 ,AB,A B这两个运算结果与集合 A,B的关系 . 由 (1)(2)(3)你发现了什么结论？ 活动： 依据集合的交集和并集的含义写出运算结果 ,并观察与集合 A,B的关系 .用 Venn 图来发现运算结果与集合 A,B的关系 .(1)(2)(3)中的集合 A,B均满足 A B,用 Venn 图表示 ,如图 1138 所示 ,就可以发现 AB,AB与集合 A,B的关系 . 图 1-1-3-8 解： AB=A A B A B=B. 可用类似方法 ,可以得到集合的运算性质 ,归纳如下 : A B=B A,A (A B),B (A B)；A A=A,A =A,A B A B=B； AB=BA；(AB) A,(AB) B；AA=A；A = ；A B AB=A. 课堂小结 本节主要学习了 : 1.集合的交集和并集 . 2.通常借助于数轴或 Venn 图来求交集和并集 . 作业 1.课外思考 :对于集合的基本运算 ,你能得出哪些运算规律？ 2.请你举出现实生活中的一个实例 ,并说明其并集 、 交集和补集的现实含义 . 优质 数学资源下载 /sxzyxz 27 3.书面作业 :课本 P12习题 1.1A 组 6、 7、 8. 设计感想 由于本节课内容比较容易接受 ,也是历年高考的必考内容之一 ,所以在教学设计上注重加强练习和拓展课本内容 .设计中通过借助于数轴或 Venn 图写出集合运算的结果 ,这是突破本节教学难点的有效方法 . (设计者：尚大志 ) 第 2 课时 导入新课 问题 :分别在整数范围和实数范围内解方程 (x-3)(x 3- )=0,其结果会相同吗 ? 若集合 A=x|0x2,x Z,B=x|0x2,x R,则集合 A、 B相等吗？ 学生回答后 ,教师指明 :在不同的范围内集合中的元素会有所不同 ,这个 “范围 ”问题就是本节学习的内容 ,引出课题 . 推进新课 新知探究 提出问题 用列举法表示下列集合 : A=x Z|(x-2)(x+31)(x 2- )=0； B=x Q|(x-2)(x+31)(x 2- )=0； C=x R|(x-2)(x+31)(x 2- )=0. 问题中三个集合相等吗？为什么？ 由此看 ,解方程时要注意什么？ 问题 ,集合 Z,Q,R 分别含有所解方程时所涉及的全部元素 ,这样的集合称为全集 ,请给出全集的定义 . 已知全集 U=1,2,3,A=1,写出全集中不属于集合 A 的所有元素组成的集合 B. 请给出补集的定义 . 用 Venn 图表示 A. 活动： 组织学生充分讨论、交流 ,使学生明确集合中的元素 ,提示学生注意集合中元素的范围 . 讨论 结果： A=2,B=