解析几何之“隐形的翅膀”.doc

解析几何之“隐形的翅膀”胶州实验中学 刘红升先看：2011年山东高考数学22题（1）问的探究：XYPQOdP Q : 先讨论 （1）P：（2） Q：（3）（2）+（3）（1） 同理时可证明结论同样成立！ 没有通过韦达定理，避开复杂运算！可是，思维量不小。如果平时对于“方程思想”没有足够的高度与深度是很难分析出来的！我们先回顾一个问题：在解析几何中遇到中点问题我们一般怎样做合适？有人叫“点差”、“设而不求”等，其实联立韦达定理的方法也是“设而不求”！我们对于非联立韦达定理的方法无论是理解还是运用都存在很大欠缺，我们先看下面一个问题：解析：由题意列出以下3个式子，共有4个量，目标是下面式子：下面开始利用方程运算！ 看来此法可以称之为“点和”喽。此题如果采用“韦达”定理，理论上我们可以设直线AB为: 先利用得到再将此关系带入通过运算来证明，可是运算量极其巨大，就运算量本身而言学生很难承受的。下面我们不妨通过下面例子研究一下命题思路：分析：应该在？处填多少呢？现设因为我们必须证明出即即：即：得：我们可以轻松的制造一类题： 其实，只要我们有个命题灵感，可以想“制造”什麽，就“制造”什麽！如： 以上两题运用方程作和“易如反掌”，若运用韦达定理“苦不堪言”！ 由此可见：所谓“点差”、“设而不求”等名称我个人认为都不太准确！还可以“点和”呢！还可以带入呢，等等。名字只是个代号，不过就这类方法如果我们局限于“点差”似乎有些太狭隘了，所以我觉得就是“直接用方程”法！下面品味2011年青岛一模22题（2）问：设是椭圆：上的两个不同点,且点在第一象限,点在第三象限,若,为坐标原点,求直线的斜率；法一：（直接用方程，4个量与4个式，可以求出所有值）解析：从思路上看：4个量与4个式已经足够；从运算上看：消掉3个量剩1个自然解决！具体如下： 法二：利用向量加法的平行四边形法则（数形结合）推出直线恒过，注：此处也可以通过代数方式推出：设直线方程：与连理得：相对于法一，法二运算量更大，并且需要数形结合作为辅助，同样需要分析“量”与“式”，想想此种方法似乎较法一更加“间接”！而且我们做个变化可能法二就更加“无能为力”了！如：将“”改成“”然后改求的取值范围。此时，法一只是数值的变化而已；法二用形就很难处理了，还好找出定点吗？当然，法二用数依旧可以处理！其实运用这4个式与4个量得方式还有很多。总之：此题充分体现了解析几何的另一只被学生甚至老师 “隐形“的翅膀！很多学生甚至老师在处理解析几何问题时一旦无法运用韦达定理就会“束手就擒”，其实，韦达定理只是方程思想的一种处理方式而非全部，我们还有一双“翅膀“-直接运用方程！这种方法是被“隐形”的。其实，这种方法需要对“量”与“式”进行把握，是对方程思想的更直接运用，也是对运算能力尤其是符号运算的深度理解，是考查学生运算能力、方程思想的很好载体。下面回味一道经典题（2009滨州一模22题第（2）问）：椭圆方程C为若已知点，点是椭圆上不重合的两点，且，求实数的取值范围解：法一（直接运用方程），不难得出以下4个式与5个量（只需找到某个量与的关系即可。设坐标分别为，（1） （2）解得：且.法二（运用韦达定理）设直线MN的方程为由，得设坐标分别为则 (1) (2) 0,，显然，且代入(1) (2)，得,得，即解得且.两种方法对比，应该有青岛市2011一模文理22题第（2）问相同的感受吧！现在我们很多同学一旦遇到不能或不好运用韦达定理的题目往往就会出问题，其实解析几何很多题目不需要韦达定理，大部分题目可以“韦达定理”也可以“直接用方程”，好像我们的解析几何一双 “翅膀”被“隐形”了！当然，我们山东高考数学6年自主命题来所有解析几何解答题都可以（并非必须，如：2005文理科22题、2006理科21题、2009理科22题第（3）问）用联立韦达定理的方法，所以大家也应当平等的来看待方程思想的常见两种处理方式：直接利用方程与韦达定理运用方程。就好像立体几何中几何法与向量法一样！下面再品味一道经典题目：已知抛物线x24y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且（0）过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为（）证明为定值；（）设ABM的面积为S，写出Sf()的表达式，并求S的最小值解析：直接用方程：由已知条件，得F(0，1)，0设A(x1，y1)，B(x2，y2)由，即得(x1，1y)(x2，y21)， y1x12，（3） y2x22，（4）共5个量4个式，应该可求某两个量的关系，故寻求用将其他量都表示出来，即用来解决一切问题！如：（1）式平方得：则与构成关于的二元一次方程组，解得y1，y2，若规定以下略！以下所有问题都变成一个量来解决的问题了！运算方式还有很多，关键是把握“量”与“式”，韦达定理大方式依旧是运算量较大且目标较散，在此不作对比了。个人总结：对比这两种方法，我们不难发现：大部分解析几何题目都可以用这两种方法来处理；“联立韦达定理”不一定运算量小，只是我们比较熟悉而已；“直接用方程”不一定运算量大，只是往往他的运算更体现“运算能力”而非纯算数！注意：从这个对比特点来看，尽管山东高考数学解析几何的解答题6年来全部都能够用“联立未达定理”的方法来处理，但是由于“直接用方程”更能够体现运算能力，因此不排除山东高考调整的可能性，运算能力是山东高考数学要求的第一能力！ 2008青岛一模理科22题(2)、2009青岛一模理科21题（2）问、2010青岛一模理科22题(2)问、2011青岛一模文理科22题（2）问均重点对“直接用方程”进行了考察且都不方便用“联立韦达定理”； 2005山东高考文理科22题、2006山东高考理科21题、2009山东高考理科22题第（3）、2011山东理科22题（1）问均可以不通过韦达定理处理；最后请再欣赏以下几个值得品味的经典题目：（2010青岛一模理科22（2）点，设是椭圆：上的一点，过、两点的直线交轴于点,若, 求直线的方程.（2008青岛一模理科21题（2）设是椭圆：上的一点，过点的直线交轴于点，交轴于点，若，求直线的斜率（2009青岛一模理科21题（2）设是椭圆：上的任一点，为圆的任一条直径，求的最大值.（2008山东某地一模题）已知椭圆c的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=的焦点，离心率为 (1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆c的右焦点作直线l交椭圆c于A、B两点，交y轴于M点，若, ,求的值（2007福建21题）如图，已知点，直线，为平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为点，且（）求动点的轨迹的方程