测量平差基础(修改).ppt

第一章绪论 第一节测量平差的重要性 第三节补充知识 第二节平差问题产生的原因 第一节测量平差的重要性 一 测量平差的定义与任务定义1 测量数据的处理的理论与方法 定义2 按数理统计的理论与方法处理测量数据 理论基础 数理统计线性代数高等数学微分泰勒级数专业基础 普通测量学 数字测图 处理工具 计算机编程二 测量平差的任务 确定未知量的估值并评定其精度 线性代数微分级数 普通测量摄影测量工程测量变形观测地理信息系统 测量平差 大地控制测量工程控制测量GPS测量 计算机编程 数理统计 三 测量平差的重要性 理论基础 数学工具 计算工具 控制测量数据处理 第二节平差问题产生的原因 一 实例说明1 边长 距离 测量第一种情况 欲知直线度L 1 进行一次观测便可知 2 进行n次观测 得L1 L2 Ln理论上应 L1 L2 Ln但由于有误差 实际上各自并不一定相等 出现了同一量的不同观测值不相等的矛盾 第二种情况 欲得L1 L2 L3的长度 1 观测了L1 L2 则L3 L1 L2 2 也可直接观测L1 L2 L3理论上应 L1 L2 L3实际上 由于观测值有误差 上式不一定成立 而是 L1 L2 L3于是产生了矛盾 2 三角测量 欲知三角形三内角L1 L2 L3的大小 1 观测了三角形三内角L1 L2 则L3 180 L1 L2 2 观测了三角形三内角L1 L2 L3 由于有误差 一般情况下 L1 L2 L3 180 存在闭合差 观测值与理论值之差 w L1 L2 L3 180 出现了三角形三内角观测值之和不等于180 的矛盾 那么 这些观测值之间的矛盾是怎么产生的呢 我们又如何来解决这些矛盾呢 二 测量平差产生的原因 1 观测值之间的矛盾产生原因 1 观测值存在误差 2 有多余观测由于观测值之间存在矛盾 故必须进行数据处理 测量平差 注 总观测元素 对某个几何模型进行的所有观测 其个数用n表示 必要元素 确定一个几何模型所必要的元素 其个数用t表示 多余观测 在一个几何模型中 除必要元素之外的观测元素 其个数用r表示 r n t 几何模型 各种控制网的统称 1 示例设对某三角形三内角进行观测 得观测值 L1 58 30 40 L2 61 20 10 L3 60 08 58 L1 L2 L3 1800 12 若将L1 L2 L3分别加上一个改正数v1 v2 v3 使得 L1 v1 L2 v2 L3 v3 1800即 v1 v2 v3 L1 L2 L3 1800 0亦即 v1 v2 v3 12 0 三 测量平差的基本原理 从前面我们知道 由于观测值之间存在矛盾要进行平差 那么怎样进行平差呢 什么样的平差结果才是最佳估值 怎样评定平差结果的精度呢 这就是测量平差要解决的问题 满足方程的v1 v2 v3有无限多组 那么 按什么准则从无限多解当中选取合理的解呢 根据最优化数学方法 一般按如下准则 也就是最小二乘准则来解决该问题 由此可得唯一最优解 v1 v2 v3 4 2 平差原则 最小二乘原理 2 不同精度独立观测 改正数v应满足 1 同精度独立观测 改正数v应满足 测量平差数学模型包括函数模型和随机模型 平差的基本模型有以下四种 3 测量平差数学模型 1 条件平差 2 附有参数的条件平差 3 间接平差模型 高斯 马尔柯夫模型 最基本模型 1912年 A A Markov 对最小二乘原理进行证明 形成数学模型 最小二乘解 4 附有限制条件的间接平差法 4 测量平差的核心内容 由观测值L 观测值的权阵P 起始数据推求观测值的平差值 参数的平差值 观测值的平差值方差 参数的平差值方差 注 函数模型 描述观测量与未知量间的数学函数关系的模型 5 测量平差的任务 对一系列带有观测误差的观测值 运用概率统计的方法来消除它们之间的不符值 求未知量的最可靠值 评定测量成果的质量 由此可见 测量平差即数据调整 也就是依据某种最优准则 由一系列带有观测误差的测量数据 求定未知量的最佳估值及精度的理论和方法 6 测量平差中要弄清的几个重要问题 1 在一个测量平差问题中 怎样计算观测值个数n 必要观测数t 多余观测数r 这是进行测量平差首先要解决的问题 2 各种函数模型的非线性形式及其线性形式怎样表示 怎样建立各种线性函数模型 特别是对于条件平差模型 怎样列出各种条件方程 对于间接平差模型 怎样列出误差方程 3 观测值的权阵怎么确定 权阵与协因数阵有什么关系 权与协因数有什么关系 4 协方差传播律和协因数传播律是指什么 设向量F W分别是随机向量X Y的以下线性函数 F AX BYW CX DY试求F和W的协方差阵D XY 并由此导出各种特殊情况下求方差和协方差的公式 5 VTPV min平差原则是怎样导出来的 按此原则求出的估值L X有什么优越性 或为什么称L X为最佳估计 什么是最佳估计 怎样证明它们是最佳估计 建议对各种不同的平差模型进行证明 6 以下单位权方差估值公式 是怎么求出来的 为什么从观测值方差阵中任意取出一个公因子都是单位权方差 7 如何证明以下分布 怎么由它构造t F统计量 它们有什么作用 8 一个点的误差椭圆说明什么 怎么计算误差椭圆的有关参数 四 测量平差产生的历史 最小二乘法产生的背景 18世纪末 如何从多于未知参数的观测值集合求出未知数的最佳估值 最小二乘的产生 1794年 C F GUASS 从概率统计角度 提出了最小二乘 并利用其解决了上述问题 1806年 A M Legendre 从代数角度 提出了最小二乘 决定彗星轨道的新方法 1809年 C F GUASS 天体运动的理论 五 测量平差的发展 1 从单纯偶然误差理论扩展到包含系统误差和粗差的理论与方法 2 提出了相关平差3 产生了顾及随机参数的最小二乘方法即最小二乘滤波 推估和配置 4 形成了秩亏自由网平差理论5 出现后验定权方法 形成了方差 协方差估计理论 6 展开了对系统误差特性 传播 检验 分析的理论研究 7 展开了数据探测法和可靠性理论的研究 提出了稳健估计方法 六 本课程应掌握的主要内容 1 偶然误差理论 偶然误差的性质 精度指标及其估值 中误差及其估值 误差传播定律 权与定权的方法 2 测量平差的函数模型和随机模型 最小二乘原理及方法 3 测量平差的基本方法 条件平差 间接平差 附有未知参数的条件平差 附有限制条件的间接平差 4 误差椭圆 七 学习方法 1 端正学习态度 充分认识学好测量平差对于学好测绘工程专业的重要性 2 学习测量平差教材时 要多设疑 自己多动手去推算和证明 不要轻易相信书上的结论 并不断根据已经学得的知识 预测后面的内容和可能的结论 3 学好所编矩阵基础知识 还要复习 掌握数理统计的有关知识 4 学习时 视野关注主干 核心内容 实用时注重细节 5 对一个平差模型证明推导的某些公式 对另一个平差模型自己进行证明 推导 6 弄清前述8个问题 7 适当记笔记 第三节 补充知识 一 矩阵的定义及其某些特殊矩阵 通常用一个大写字母表示 如 2 若m n 即行数与列数相同 称A为方阵 元素a11 a22 ann称为对角元素 3 若一个矩阵的元素全为0 称零矩阵 一般用O表示 4 对于的方阵 除对角元素外 其它元素全为零 称为对角矩阵 如 5 对于对角阵 若a11 a22 ann 1 称为单位阵 一般用E I表示 6 若aij aji 则称A为对称矩阵 矩阵的基本运算 1 若具有相同行列数的两矩阵各对应元素相同 则 2 具有相同行列数的两矩阵A B相加减 其行列数与A B相同 其元素等于A B对应元素之和 差 且具有可交换性与可结合性 3 设A为m s的矩阵 B为s n的矩阵 则A B相乘才有意义 C AB C的阶数为m n OA AO O IA AI A A B C AB AC ABC A BC 二 矩阵的转置 对于任意矩阵Cmn 将其行列互换 得到一个nm阶矩阵 称为C的转置 用 矩阵转置的性质 6 若 则A为对称矩阵 三 矩阵的逆 给定一个n阶方阵A 若存在一个同阶方阵B 使AB BA I E 称B为A的逆矩阵 记为 A矩阵存在逆矩阵的充分必要条件是A的行列式不等于0 称A为非奇异矩阵 否则为奇异矩阵 矩阵的逆的性质 矩阵求逆方法 1 伴随矩阵法 设Aij为A的第i行j列元素aij的代数余子式 则由n n个代数余子式构成的矩阵为A的伴随矩阵的转置矩阵A 称为A的伴随矩阵 矩阵求逆方法 则 2 初等变换法 经初等变换 四 矩阵的秩定义 矩阵A的最大线性无关的行 列 向量的个数r 称为矩阵A的行 列 秩 由于矩阵的行秩等于列秩 故统称为矩阵的秩 记为R A 对于矩阵的秩有性质 八 二次型和正定阵 1 xTAx 0 称二次型是正定的 A为正定矩阵 记为A 0 2 xTAx 0 称二次型是半正定的 A为半正定矩阵 记为A 0 3 xTAx 0 称二次型是负定的 A称为负定矩阵 记为A 0 4 xTAx 0 称二次型是半负定的 A称为半负定矩阵 记为A 0 在测量平差中VTPV就是一个二次型 二次型及其有关定理 对于参数估计和假设检验是重要的 它为许多理论证明提供了基本工具 A称为二次型矩阵 若对于任意x 0 的函数 记为 其中 C为常数向量 F G为函数向量 1 3 2 4 当A为常数矩阵时 5 当A AT时 概率与数理统计内容 随机变量误差分布曲线概率密度曲线数学期望方差 第二章误差分布及精度指标 第一节概述 第二节偶然误差的规律性 第三节衡量精度的指标 第一节概述 一 专业符号介绍 观测真值向量 观测向量 误差向量 观测值平差值向量 观测值改正数向量 未知参数真值向量 未知参数改正数真值向量 未知参数近似值向量 未知参数平差值向量 未知参数改正数平差值向量 1 测量平差的研究对象 观测误差观测数据 用测绘仪器工具或其他手段获取的反映地球及其它实体的空间分布有关信息的数据 任何量测数据不可避免地含有误差 如何处理含有误差的测量数据便成了一门研究课题 闭合 附合水准路线闭合 附合导线距离测量角度测量 二 观测误差 2 产生误差的原因 测量仪器 i角误差 2c误差观测者 人的分辨力限制外界条件 温度 气压 大气折光等 观测条件 测量仪器 观测者 外界条件三者综合起来为观测条件 3 误差的分类 系统误差 在相同的观测条件下进行的一系列观测 如果误差在大小 符号上表现出系统性 或者按一定的规律变化 这种误差称为系统误差 如大多数仪器误差 有规律的外界影响等 系统误差具有累积性 它的存在必然影响观测结果 削弱方法 采用一定的观测程序 改正 附加参数 误差的分类 偶然误差 随机误差 在相同的观测条件下进行的一系列观测 如果误差在大小 符号上都表现出偶然性 从单个误差上看没有任何规律 但从大量误差上看有一定的统计规律 这种误差称为偶然误差 如照准误差 读数误差 毫无规律的外界影响等 不可避免 经典测量平差研究的内容粗差 错误 大误差 三 误差构成的四种情况 一 正态分布 一 一维正态分布 正态分布是一种最常见的分布形式 一般随机变量都遵循正态分布 正态分布还是许多其他分布的极限分布 通常认为测量误差服从正态分布 其中 u为随机变量x的数学期望 为其标准方差 称随机向量x服从参数为u 的正态分布 记为x N u 1 设一维随机向量X服从正态分布 则其分布密度函数为 第二节偶然误差的规律性 2 标准正态分布若随机变量X的数学期望u 0 标准差 1 则称X服从标准正态分布 记为X 0 1 3 正态随机变量X出现在区间 u k u k 内的概率 由此可得 二 n维正态分布设n维随机向量X x1 x2 xn T服从正态分布 其联合分布密度函数为 其中 观测值 对某量观测所得的值 一般用Li表示 1 几个概念 真误差 观测值与真值之差 一般用 i Li表示 二 偶然误差的规律性 真值 观测量客观上存在的一个能代表其真正大小的数值 一般用表示 观测向量 若进行n次观测 观测值 L1 L2 Ln可表示为 2 偶然误差的特性 例1 在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角 每个三角形内角之和应等于180度 但由于误差的影响往往不等于180度 计算各内角和的真误差 并按误差区间的间隔0 2秒进行统计 例2 在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角 每个三角形内角之和应等于180度 但由于误差的影响往往不等于180度 计算各内角和的真误差 并按误差区间的间隔0 2秒进行统计 用直方图表示 所有面积之和 k1 n k2 n 1 对照前面两个表中的数据可知 当误差小时 误差分布曲线较高且陡峭 精度高当误差大时 误差分布曲线较低且平缓 精度低 3 偶然误差的分布密度函数设偶然误差 的分布密度函数为f 由性质3可知f 是 的偶函数 由性质2可知 在 0区间f 是增函数 在0 区间是减函数 则可构造函数 其中A k为常数 因为 设偶然误差的方差D 2 所以 偶然误差的分布密度函数为 提示 观测值定了 其分布也就确定了 因此一组观测值对应相同的分布 不同的观测序列 分布不同 但其极限分布均是正态分布 偶然误差的分布密度函数 第三节衡量精度的指标 精度 所谓精度是指偶然误差分布的密集离散程度 一组观测值对应一种分布 也就代表这组观测值精度相同 不同组观测值 分布不同 精度也就不同 提示 一组观测值具有相同的分布 但偶然误差各不相同 可见 左图误差分布曲线较高且陡峭 精度高右图误差分布曲线较低且平缓 精度低 一 方差 中误差 方差 中误差 提示 越小 误差曲线越陡峭 误差分布越密集 精度越高 相反 精度越低 凡事是能体现以上定义的指标都有可作为衡量精度的指标 常用的精度指标有如下几种 方差的估值 二 平均误差 在一定的观测条件下 一组独立的偶然误差绝对值的数学期望 则得平均误差与中误差的关系 平均误差的估值 三 或然误差 误差出现在 之间的概率等于1 2 即 四 极限误差 五 相对误差 误差与观测值之比 一般用1 M表示 与长度 大小 有关的误差 有相对误差的指标相对中误差 S 1 M相对真误差 S 1 M 绝对误差 真误差 中误差 极限误差 第五节精度 准确度与精确度 一 精度 衡量偶然误差 的离散程度 指标中误差 当观测值只含有偶然误差 时 1 一维随机向量的精度指标 方差 2或中误差 2 多维随机向量X x1 x2 xn T的精度指标 协方差阵DXX 1 协方差 对于变量X Y 其协方差为 当X Y间互不相关 对于正态分布而言 相互独立时 当X Y间相关时 用真误差 计算 对于向量X X1 X2 Xn T 将其元素间的方差 协方差阵表示为 矩阵表示为 2 方差协方差阵 向量方差协方差阵定义 特点 I对称II正定III各观测量互不相关时 为对角矩阵 当对角元相等时 为等精度观测 若 若DXY 0 则X Y表示为相互独立的观测量 3 互协方差阵 二 准确度 观测值的数学期望 X 与其真值 接近 的程度 衡量系统误差大小的程度 指标偏差 当观测值误差 含有系统误差时 三 精确度 观测值X与其真值 接近的程度 指标均方误差 MSE X 随机向量X X1 X2 Xn 的均方误差的定义 四 精度 准确度与精确度的关系 X E X 第三章协方差传播与权 本章在全书中有重要地位 测量平差的任务之一就是精度评定 也就是求平差值的协方差阵 实例 已知L1 L2的中误差 求C点坐标值的中误差 协方差传播律 表述观测值函数的方差协方差与观测值的方差协方差的关系的公式 第一节数学期望的传播 一 数学期望及其性质1 C为常数 E C C2 E CX CE X 3 E K1X1 K2X2 KnXn K1E X1 K2E X2 KnE Xn 4 若x y独立 则E xy E x E y 已知随机变量的数学期望求其函数数学期望 二 随机矩阵的数学期望及其性质 其性质与前相同 第二节协方差传播律 一 观测值线性函数的方差 那么 证明 设 那么 根据方差的定义有 纯量形式 例1 设 已知 求的方差 例2 若要在两已知点间布设一条附合水准路线 已知每公里观测中误差等于 5 0mm 欲使平差后线路中点高程中误差不大于 10mm 问该路线长度最多可达几公里 二 多个观测值线性函数的协方差阵 已知 则 那么 根据协方差的定义有 几种特殊情况 例3 在一个三角形中 同精度独立观测得到三个内角L1 L2 L3 其中误差为 将闭合差平均分配后各角的协方差阵 例4 设有函数 已知 求 三 非线性函数的情况 设有观测值X的非线性函数 已知 将Z按台劳级数在X0处展开 也可写为微分的形式 也可得 四 多个非线性函数的情况 线性化 例5 根据极坐标法测设P点的坐标 设已知点无误差 测角中误差为m 边长中误差ms 试推导P点的点位中误差 协方差传播应用步骤 根据实际情况确定观测值与函数 写出具体表达式写出观测量的协方差阵对函数进行线性化协方差传播 第三节协方差传播在测量中的应用 一 水准测量的精度 经N个测站测定A B两水准点间的高差 其中第i站的观测高差为hi 则A B两水准点间的总高差hAB为 设各测站观测高差是精度相同的独立观测值 其中误差均为 则hAB的方差为 若水准路线敷设在平坦地区 前后两测站间的距离s大致相等 设A B间的距离为S 则测站数N S s 代入上式得 如果S 1km s以km为单位 则一公里的测站数为 而一公里观测高差的中误差即为 所以 距离为S公里的A B两点的观测高差的中误差为 二 同精度观测值的算术平均值的精度 设对某量以同精度独立观测了N次 得观测值L1 L2 LN 它们的中误差均等于 N次观测值的算术平均值x的中误差为 由协方差传播律知 平均值x的方差 中误差为 例1 在高级水准点A 高程为真值 间布设水准路线 如下图 路线长分别为 设每公里观测高差的中误差为 试求 1 将闭合差按距离分配之后的p1 p2点间高差的中误差 2 分配闭合差后P1点的高程中误差 例2 在相同条件下 观测两个角度 A 15 00 00 B 75 00 00 设对 A观测4个测回的测角精度 中误差 为3 问观测9个测回的精度为多少 三 若干独立误差的联合影响 四 交会定点的精度 已知L1 L2的中误差 求p点坐标值的中误差及点位中误差 五 GIS线元要素的方差 已知直线两端点数字化坐标A XA YA B XB YB 其协方差阵为 求P点坐标及其协方差 第四节权与定权的常用方法 一 权的定义 称为观测值Li的权 权与方差成反比 实例 在如图的水准网中 已知各条路线的距离为 S1 1 5kmS2 2 5kmS3 2 0kmS4 4 0kmS5 3 0km 设每公里观测高差中误差为 km 0是可任选取的常数 根据协方差传播律可得 取 取 三 权是衡量精度的相对指标 为了使权起到比较精度的作用 一个问题只选一个 0 四 只要事先给定一定的条件 就可以定权 权的特性 五 同类观测值定权时 由于单位权中误差与观测值中误差单位相同 权是无量纲的数值 不同类观测值定权时 某些类观测值的权是有量纲的数值 二 单位权中误差 三 常用的定权方法 1 水准测量的权 要求每站或每km高差精度相同 或 2 同精度观测值的算术平均值的权 设有n个人对某量以同精度独立观测了N1 N2 Nn次 得n个平均值L1 L2 Ln 若每次观测的中误差均为 以角度测量为例 3 边角定权 注意权的单位 第五节协因数与协因数传播律 一 协因数与协因数阵 不难得出 特点 I对称 对角元素为权倒数II正定III各观测量互不相关时 Qij 0 i j 为对角矩阵 当为等精度观测 单位阵 称QXX为协因数阵 二 权阵 1 权阵的定义设观测值向量L L1 L2 Ln T 其协因数阵为QLL 那么其权阵为 由于DLL是对称矩阵 因此 PLL也是对称矩阵 若记权阵为 1 设独立观测值向量L L1 L2 Ln T 单位权中误差为 0 组成向量和矩阵 2 权与协因数的关系 2 当观测值向量L L1 L2 Ln T的元素相关时 ij 0 Qij 0 Pij 0 权阵的特点 I对称 对角元素不一定就是相应观测值的权II正定III各观测量互不相关时 Pij 0 i j 为对角矩阵 当为等精度观测 单位阵 三 协因数传播律 1 协因数传播律设有观测值X 其协因数阵为QXX 方差阵为DXX 由协因数与协因数阵定义可知 Y和Z是X的线性函数 如果函数是非线性函数 则先线性化再用协因数传播律求函数的协因数 2 权倒数传播律 设独立观测值向量L L1 L2 Ln T 其权分别为P1 p2 pn 如果有函数 Z f L1 L2 Ln 线性化 由于观测值独立 则 例题 P48 P51 例1 同精度观测了L1 L2 令P1 P2 1 求L3的权 四 控制网权阵 协因数阵 的确定 在如图的水准网中 已知各条路线的距离为 S1 1 5kmS2 2 5kmS3 2 0kmS4 4 0kmS5 3 0km又各高差观测值独立 Pi C Si 取C 3 0km 则 1 水准网 取C 1 5km 2 测角网1 角度为独立观测值 测回法 观测值 L1 L2 L3测回数 N1 N2 N3 各测回为等精度独立观测 一测回中误差为 根据同精度观测值算术平均值定权方法有 Pi Ni C 取C 1 则 2 相关观测值的情况用全圆测回观测L1 L2 L3 3 测边网独立观测了六条边S1 S6 则权阵为 3 边角网 则权阵为 第六节由真误差计算中误差及其实际应用 一 用不同精度的真误差计算单位权中误差的基本公式设有一组同精度独立观测值L1 L2 Ln 它们的数学期望为 1 2 n 真误差为 1 2 n 有 i的数学期望为E i 0 它们的中误差也等于 由于Li和 i都服从正态分布 所以可以将它们写为 由中误差的定义 观测值Li的中误差为 当n为有限值时 由于L1 L2 Ln是同精度独立观测值 可设它们的权P1 P2 Pn 1 可见 为单位权中误差 现在设L1 L2 Ln是一组不同精度的独立观测值 它们所对应的数学期望 中误差和权分别为 Li和 i都服从下列正态分布 由权的定义可得 可见 若知道单位权中误差 0与观测值Li的权Pi 则可计算其中误差 i 从前面可以看到 为了求得单位权中误差 0 应需要得到一组精度相同且其权为1的独立的数学期望为0的真误差 为此 令 利用不同精度观测值的真误差求单位权中误差 0 根据权倒数传播律知 可得 可见 是一组同精度且权为1 数学期望E 0的误差 由于 是独立的真误差 所以 也是一组独立的真误差 根据前面的知识就可得到 当n为有限值时 即有 观测值Li的方差 中误差 为 二 由真误差计算中误差的实际应用 1 由三角形闭合差求测角中误差 2 由双观测 成对观测 值之差求中误差 水准测量 距离测量 设对量X1 X2 Xn各测两次 得独立观测值为 设已知各观测对 Li 与Li 相同 的权分别为 例题见P54 第七节系统误差的传播 前几节所讲的问题 是以观测值只含有偶然误差为前提的 也就是说 要求在测量过程中设法消除系统误差 但由于种种原因 观测成果中总是或多或少地存在残余的系统误差 这些系统误差的数值和符号随着观测条件的变化而变化 由于系统误差产生的原因多种多样 它们的性质各不相同 因而只能对不同的具体情况采用不同的处理方法 不可以得到些通用的处理方法 所以 对于残余的系统误差对成果的影响 也不可能有严密的计算方法 这里仅讲估计系统误差的概念和一种在某些情况下可以应用的近似估算方法 第四章平差数学模型与最小二乘原理 第一节测量平差概述 第二节测量平差的数学模型 第三节参数估计与最小二乘原理 一 必要观测 多余观测 确定平面三角形的形状 观测三个内角的任意两个即可 称其必要元素个数为2 必要元素有种选择 第一节测量平差概述 确定平面三角形的形状与大小 6个元素中必须有选择地观测三个内角与三条边的三个元素 因此 其必要元素个数为3 任意2个角度 1个边 2个边 1个角度 三个边 必须有选择地观测6个高差中的3个 其必要元素个数为3 h1 h5 h6或h1 h2 h3或h1 h2 h4等 确定如图四点的相对高度关系 必要观测 能够唯一确定一个几何模型所必要的观测一般用t表示 特点 1 给定几何模型 必要观测及类型即定 与观测无关 2 必要观测之间没有任何函数关系 即相互独立 3 确定几何模型最大独立观测个数 多余观测 观测值的个数n与必要观测个数t之差一般用r表示 r n t 4 确定几何模型最大独立观测个数为t 那么再多进行一个观测就相关了 即形成函数关系 也称为观测多余了 观测值 为了确定几何模型中各元素的大小进行的实际观测 称为观测值 观测值的个数一般用n表示 nt 可以确定模型 还可以发现粗差 二 测量平差 必要观测可以唯一确定模型 其相互独立 可见若有多余观测 每个多余观测必然可用这t个元素表示 r个多余观测即形成r个条件 实际上 可见 有多余观测就存在观测元素之间的函数关系 就可以建立函数模型 而误差的存在又导致了观测值之间的矛盾 使得观测值之间不能满足应有的函数关系 可将上式左端在 L1 L2 L3 S1 S2 处用泰勒级数展开 进行线性化 设观测值向量为L L1 L2 Ln T 以上各方程均可表示为 F L1 L2 Ln F L 0 这种形式的方程称为条件方程 测量平差就是根据观测值和未知量的关系组成方程 函数模型 在一定的平差准则下求未知量的估值 并评定成果精度 第二节测量平差的函数模型 一 条件平差法 以条件方程为函数模型的平差方法 称为条件平差法 2 条件平差的未知量 待求量 为观测值的真值或观测值的真误差 3 在条件平差中 总观测数为n 必要观测数为t 多余观测数为r 方程个数为c r 3 条件平差的自由度即为多余观测数r 即条件方程个数 1 条件平差的函数模型为 二 间接平差法 选择几何模型中t个独立变量为平差参数 每一个观测量表达成所选参数的函数 即列出n个这种函数关系式 称为观测方程 以此为平差的函数模型 成为间接平差法 在间接平差中 总观测数为n 必要观测数为t 参数个数为u 多余观测数为r 方程个数为c r u n 尽管间接平差法是选了t个独立参数 但多余观测数不随平差不同而异 其自由度仍是r n t 可见 间接平差的函数模型为 三 附有参数的条件平差法 设在平差问题中 观测值个数为n t为必要观测数 则可列出r n t个条件方程 现有增设了u个独立量作为参数 而0 u t 每增设一个参数应增加一个条件方程 以含有参数的条件方程作为平差的函数模型 称为附有参数的条件平差法 2 在附有参数的条件平差中 n个总观测值 t个必要观测 r个多余观测 选择了u个独立参数 方程总数由r个增加到c r u个 3 附有参数的条件平差的自由度为r c u 可见1 附有参数的条件平差的函数模型为 四 附有限制条件的间接平差法 如果采用间接平差 就要选出t个独立量为平差参数 按每一个观测值与所选参数间函数关系 组成n个观测方程 如果在平差问题中 不是选t个而是选定u t个参数 其中包含t个独立参数 则多选的s u t个参数必是t个独立参数的函数 亦即在u个参数之间存在着s个函数关系 它们是用来约束参数之间应满足的关系 在选定u t个参数进行平差时 除了建立n个观测方程外 还要增加s个约束参数方程 故称此平差方法为附有限制件的间接平差法 2 在附有限制条件的间接平差中 n个总观测值 t个必要观测 r个多余观测 选择了u t个参数 方程总数由r个增加到c r u个 其中有s u t个限制条件方程 3 附有参数的条件平差的自由度为r c u 可见1 附有限制条件的间接平差的函数模型为 注意 1 各种平差模型所列方程组中 方程之间必须独立 2 选取参数的目的 1 直接求出某些未知量的估值 2 便于列立方程 第三节函数模型的线性化 一 函数的泰勒级数展开 为了线性化 取X的近似值为 取的近似值为L 将F按泰勒级数在 X0 L 处展开 并略去二次以及以上项 设函数 二 平差函数模型的线性化 1 条件平差法 2 间接平差法 3 附有参数的条件平差法 4 附有限制条件的间接平差法 第四节测量平差的数学模型 第五节参数估计与最小二乘原理 一 参数估计及其最优性质 对于上节提出的四种平差方法都存在多解的情况 以条件平差为例 条件的个数r n t n 即方程的个数少 求解的参数多 方程多解 其它模型同 1 测量平差中的估计量1 参数的平差值2 观测值的平差值3 未知量的方差与协方差 协因数与单位权方差 2 参数的最优性质 唯一解 对最终估计值应该提出某种要求 考虑平差所处理的是随机观测值 这种要求自然要从数理统计观点去寻求 即参数估计要具有最优的统计性质 从而可对平差数学模型附加某种约束 实现满足最优性质的参数唯一解 数理统计中所述的估计量最优性质 主要是估计量应具有无偏性 一致性和有效性的要求 可以证明 这种估计为最小二乘估计 1 无偏性 1 最小二乘法实例 匀速运动的质点在时刻 的位置y表示为 实际上 二 最小二乘原理 写成矩阵 间接平差函数模型 2 最小二乘原理与极大似然估计 按照最小二乘原理的要求 应使各个观测点观测值偏差的平方和达到最小 测量中的观测值是服从正态分布的随机变量 最小二乘原理可用数理统计中的最大似然估计来解释 两种估计准则的估值相同 设观测向量为L L为n维随机正态向量 其数学期望与方差分别为 其似然函数为 以间接平差法为例 顾及间接平差的模型与E 0得 按最大似然估计的要求 应选取能使lnG取得极大值时的作为X的估计量 由于上式右边的第二项前是负号 所以只有当该项取得极小值时 lnG才能取得极大值 换言之 的估计量应满足如下条件 即最小二乘原则 最小二乘原理中的P阵为观测值权阵 P Q 1 1 当观测值L1 L2 Ln独立时 2 当观测值L1 L2 Ln相关时 此时 权阵不具有权的意义 只在运算时起着权的作用 例 设对某物理量进行了n次同精度观测得试用最小二乘原理求该量的估值 第五章条件平差 第一节条件平差原理 第二节条件方程 第三节精度评定 第四节水准网平差示例 第一节条件平差原理 一 线性条件方程的矩阵形式 1 平差值线性条件方程设有r个平差值线性条件方程 2 改正数线性条件方程 式中Wi i 1 2 r 称为条件方程的闭分差 或称不符值 令 则有 二 条件平差的基础方程及其解 1 数学模型及平差准则 2 基础方程及其解 按求函数极值的拉格朗日乘数法 构造新的函数 求其一阶偏导数 并令其为0 二 条件平差的计算步骤 根据平差问题的具体情况 列出条件方程式 条件方程的个数等于多余观测数r 根据条件式的系数 闭合差及观测值的权组成法方程式 法方程的个数等于多余观测数r 解算法方程 求出联系数K值 将K值代入改正数方程式 求出V值 并求出平差值为了检查平差计算的正确性 常用平差值重新列出平差值条件方程式 看其是否满足方程 例3 A B C三点在同一直线上 测出了AB BC AC的长分别为l1 200 010m l2 300 010m l3 300 070m l4 500 090m 令100m量距权为单位权 试按条件平差法求各段的平差值 解 1 列条件方程n 4 t 2 故r 2 c 2 可列两个条件方程 2 定权 pi 100 Si 3 组成法方程 并解算 4 代入原方程检查 第二节条件方程 一 水准网 列条件的原则 1 闭合水准路线2 附合水准路线 包含的线路数最少为原则 二 测角网 4个必要的起算数据为 一个已知点 2个坐标 一个方位 1个 一个尺度 1个 两已知点 4个坐标 列条件的原则 将复杂图形分解成典型图形 条件类型 图形条件 圆周条件 极条件 固定方位条件 固定边长条件 固定坐标条件 三角锁 大地四边形 中心多边形 条件方程个数 p 7 q 2 n 22 t 2p 4 q 8c r n t 148个图形条件3个极条件1个圆周条件1个边长条件1个方位条件 三 测边网边角网 1 以角度改正数表示的条件方程 2 角度改正数与边长改正数的关系式 角度改正数方程式的规律 任意角的改正数等于其对边改正数与其两夹边的改正数与相应邻角余弦乘积的负值之和 再乘以除以该角对边的高 角值用余弦定理计算 那么 由V1 V2 V3 0得 在具体计算图形条件的系数和闭合差时 一般取边长改正数的单位为cm 高h的单位为km 取2 062 而闭合差的单位为 由观测边长计算系数中的角值 图3 10 可按余弦定理或下式计算 四 以坐标为观测值的条件方程1 直角与直线型的条件方程 0为90 270 或0 180 五 距离型的条件方程 第三节精度评定 一 计算单位权中误差 该公式证明在后面 二 协因数阵 因为 所以 将以上结果列于下表 以便查用 条件平差各量的协因数 由表可知 与V W K是不相关的统计量 即相互独立 三 观测值真误差 粗差 对平差值的影响 四 平差值函数的中误差 设平差值函数为 条件平差公式汇编条件平差的函数模型和随机模型是条件方程AV W 0法方程 改正数方程 观测量平差值 平差值函数 其权函数式为单位权方差的估值 平差值函数的方差 例1 如图同精度观测了6个角得L1 45 30 46 L2 67 22 10 L3 67 07 14 L4 69 03 14 L6 52 32 22 L6 58 24 18 求各观测值的平差值及平差后CD边长的相对中误差 第四节平差示例 例 如图 A B是已知的高程点 P1 P2 P3是待定点 已知数据与观测数据列于下表 按条件平差求各点的高称平差值 解 1 列条件方程 2 定权 取C 1 则 3 形成法方程 4 解算法方程 5 计算改正数 6 计算平差值 7 计算高程平差值 作业1 如图所示的水准网 A B C已知水准点 P1 P3 P3为待定点 已知水准点的高程 各水准路线的长度及观测高差列入下表 试用条件平差法求P1 P3 P3点高程的平差值 第一节间接平差原理 第二节误差方程 第三节精度评定 第四节平差示例 第六章间接平差 1 数学模型及平差准则 第一节间接平差原理 二 基础方程和它的解 按函数极值的求法 极值函数 求其一阶偏导数 并令其为0 代入误差方程 即为法方程式 三 间接平差法平差步骤 1 选择t个独立的未知参数 2 将每个观测值表示成未知参数的函数 形成误差方程 3 形成法方程 4 求解法方程 5 计算改正数 6 精度评定 1 2 3 4 5 例题 7 1 如图所示的水准网中 已知水准点A的高程是HA 237 483m 为求B C D三点高程 进行了水准测量 测得高差和水准路线长度si 见表7 1 试按照间接平差方法求B C和D的高程平差值 解 n 5 t 3 r 2 选取B C D三点的高程为参 u 3 c r u 5 1 根据所示水准路线列出误差方程 即 参数的近似值选为 未知参数近似值的改正数为 将上式代入到误差方程有 取10km观测高差为单位权观测 则 2 组成法方程 3 解法方程 4 计算改正数 5 计算平差值 例 7 2 A B C三点在同一直线上 测出了AB BC AC的长分别为l1 200 010m l2 300 010m l3 300 070m l4 500 090m 令100m量距权为单位权 试按间接平差法求各段的平差值 解 1 列误差方程n 4 t 2 故r 2 选取l1 l2的平差值为未知参数 u 2 可列4个误差方程 2 定权 pi 100 Si 3 组成法方程 并解算 一个平差问题 无论采用条件平差还是间接平差 其最小二乘解是唯一和一致的 即与具体的平差方法无关 与条件平差的结果比较 结果完全一致 可见 一 确定待定参数的个数 第二节误差方程 在间接平差中 待定参数的个数必须等于必等于必要观测的个数t 而且要求这t个参数必须是独立的 这样才有可能将每个观测量表达成这个t个参数的函数 而这种类型的函数式正是间接平差函数模型的基本形式 水准网 测角网 测边网边角网 二 参数的选取 高程控制网 待定点的高程 平面控制网 待定点的二维坐标 三维控制网 待定点的三维坐标 三 误差方程的组成 1 水准路线的误差方程 当i点已知时 当j点已知时 2 方向的误差方程 测方向三角网 定向角未知数 设j k的坐标为未知参数 即 零方向的方位角 jk的方位角为 Ljk Ljl为观测值 为非线性函数 要进行线性化 1 当j点已知时 2 当k点已知时 3 当j k点已知时 4 同一边的正反坐标方位角的改正数相等 与坐标改正数的关系也相同 例7 3 如图 A B C为已知点 D为待求坐标点 在四个测站上共观测了10个方向 以D点坐标为平差参数 列出误差方程 解 1 列误差方程 n 10 待求量为D点坐标 4个测站定向角 故必要观测数为t 2 4 6 r 4 将D点坐标和4个测站定向角设为未知参数 u 6 c r u 10 根据前面的内容有误差方程 1 计算D点的近似坐标 可用前方交会余切公式或支导线 待定边的近似坐标方位角与近似边长 各定向角近似值 2 计算坐标方位角改正数的系数 边长S 坐标增量 X Y以m为单位 坐标改正数以dm或cm为单位 3 计算误差方程的常数项ljk 4 将系数和常数项代入下式得到各方向误差方程 2 组成法方程 并解算法方程 3 求出各平差值 3 测角网函数模型 Li为观测角值 设待定点j h k坐标为参数 Li的观测方程为 误差方程为 例7 3 如图 A B C为已知点 D为待求坐标点 同精度观测了6个角 以D点坐标为平差参数 列出误差方程 1 计算D点的近似坐标 可用前方交会余切公式或支导线 待定边的近似坐标方位角与近似边长 解 1 列误差方程 n 6 待求量为D点坐标故必要观测数为t 2 r 4 将D点坐标设为未知参数 u 2 c r u 6 根据前面的内容有误差方程 2 计算坐标方位角改正数的系数 边长S 坐标增量 X Y以m为单位 坐标改正数以dm或cm为单位 3 计算误差方程的常数项ljk 4 将系数和常数项代入上式得到各方向误差方程 4 距离的误差方程 测边网 j k 设j k的坐标为未知参数 jk的距离为 为非线性函数 要进行线性化 当j点已知时 当k点已知时 例7 5 如图 A B C为已知点 D为待定点 同精度观测了三个边长 列出误差方程并求平差值 解 1 列误差方程 n 3 待求量为D点坐标 故必要观测数为t 2 r 1 将D点坐标设为未知参数 u 2 c 3 根据前面的内容有误差方程 1 计算D点的近似坐标 2 计算坐标方位角改正数的系数 3 计算误差方程的常数项ljk 4 将系数和常数项代入上式得到各方向误差方程 5 坐标转换模型设某点在新坐标系的坐标为 xi yi 在旧坐标系的坐标为 x i y i 旧坐标系原点在新坐标系的坐标为 x0 y0 将旧坐标系加以平移 旋转和尺度因子改正 使点的坐标转换为新坐标 a b c d为所求的未知量 若两坐标系有n个公共点 令新坐标系坐标为观测值 旧坐标无误差 则可列出误差方程 6 拟合模型1 高程拟合 数字高程模型 GPS水准的高程异常拟合模型等 已知n个点的数据为 xi yi Zi 其中Zi是高程或向程异常 为观测值 xi yi 为坐标 Zi是xi yi的函数 即Z x y 取拟合函数为 2 已知圆上m个独立数字化观测坐标值 Xi Yi 求圆的方程 第三节精度评定 一 计算单位权中误差 BTPV 0 二 协因数阵设 则Z的协因数阵为 间接平差的协因数公式 三 参数函数的中误差 假定间接平差问题中有t个参数 设参数的函数为 一般 设有函数向量 四 条件平差模型与间接平差模型的关系 第四节间接平差公式汇编与水准网平差示例 例 如图 A B是已知的高程点 P1 P2 P3是待定点 已知数据与观测数据列于下表 按间接平差求各点的高程平差值 解 1 列误差方程 n 7 t 5 1 1 3 r 7 3 4 设P1 P2 P3点的高程为未知参数 求相应的近似值 列误差方程 写成矩阵的形式 定权 取C 1 Pi 1 Si 例 如图所示的水准网 A B C已知水准点 P1 P3 P3为待定点 已知水准点的高程 各水准路线的长度及观测高差列入下表 试用间接平差法求P1 P3 P3点高程的平差值估算精度 解 1 列误差方程 n 6 t 6 1 2 3 r 6 3 3 设P1 P2 P3点的高程为未知参数 求相应的近似值 列误差方程 定权 取C 1 Pi 1 Si 第五节直接平差 直接平差 对同一未知量X进行多次观测L1 L2 Ln 求该量的平差值并评定精度 此时 t 1 r n 1 显然 上式为加权平均值 当同精度时即为算术平均值 第六节三角网坐标平差 三角网坐标平差 以角度 或方向 为观测值 以待定点的坐标为未知参数的间接平差 平差基准 通网平差求解未知点坐标 或高程 时所给出的已知数据 必要起算数据 通网平差求解未知点坐标 或高程 时所需要的最少的已知数据 约束平差 附合网平差 有多余的起算数据最小约束平差 经典自由网 只有必要起算数据自由网平差 无必要的起算数据 测角网间接平差算例 设有一测角三角网 A B C D为已知点 P1 P2为待定点 同精度观测了18个角度 按间接平差求平差后P1 P2点的坐标及精度 已知数据见下表 解 n 18 t 2 6 4 4 4 r 18 4 14 设P1 P2点的坐标作为未知参数X1 Y1 X2 Y2 根据前方交会可以求出P1 P2的近似坐标 根据角度的误差方程 V B x l 定权 P为单位阵 形成法方程为 精度评定 第七节测边网坐标平差 测边网坐标平差 以边长为观测值 以待定点的坐标为未知参数的间接平差 边长观测值的精度一般与其长度有关 边长观测值验前中误差一般按下式计算 边长观测值定权公式为 例7 10 有测边网如图所示A B C D为已知点 P1 P2P3 P4为待定点 用测距仪观测了13条边长 试按间接平差求待定点的坐标值及中误差 解 1 求待定点的近似坐标2 计算误差方程的系数与常数项3 计算观测值的权4 组成法方程并解算5 平差值计算7 精度计算 第八节导线网间接平差 一 函数模型导线网中既有角度观测值又有边长观测值 误差方程由角度误差方程和边长误差方程组成 二 椭机模型导线网中既有角度观测值又有边长观测值 设有n1个角度观测值 1 2 n1 有n2个边长观测值S1 S2 Sn2 权阵为 令角度观测值的中误差为 令边长观测值的中误差为 一般情况下 角度观测值为同精度观测 令其为单位权中误差 则权为 则权为 此时 角度观测值的权是无量纲的 而边长观测值的权是有单位的 为秒2 m2或秒2 dm2或秒2 cm2或秒2 mm2 三 平差步骤 1 求待定点的近似坐标2 计算误差方程的系数与常数项3 计算边与角观测值的权4 组成法方程并解算5 平差值计算7 精度计算 第九节GPS网平差 GPS数据处理先是利用测码伪距或测相伪距进行基线解算 得到基线向量 然后再利用基线向量进行网平差 得到WGS 84坐标 两台GPS接收机同时作业 三台GPS接收机同时作业 四台GPS接收机同时作业 一 函数模型将基线向量 Xij Yij Zij 看为观测值 将基线两端的待定点坐标 Xi Yi Zi Xj Yj Zj 设为未知参数 则有 二 随机模型GPS网平差的随机模型一般形式仍为 GPS数据处理一般由GPS后处理软件进行 通过基线解算后 软件会给出基线