【步步高】（四川专用）高三数学大一轮复习讲义 2.9函数的应用 理 新人教A版.doc

2.9函数的应用2014高考会这样考1.综合考查函数的性质；2.考查一次函数、二次函数、分段函数及基本初等函数的建模问题；3.考查函数的最值复习备考要这样做1.讨论函数的性质一定要在定义域内；2.充分搜集、应用题目信息，正确建立函数模型；3.注重函数与不等式、数列、导数等知识的综合1 几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb (a、b为常数，a0)反比例函数模型f(x)b (k，b为常数且k0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数模型f(x)axnb (a，b为常数，a0)(2)三种函数模型的性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxn22%bx0，当x10时，代入两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，可得k120，k2，y1y2x28，当且仅当x，即x5时取等号，故选a.题型一二次函数模型例1某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y48x8 000，已知此生产线年产量最大为210吨(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？思维启迪：(1)根据函数模型，建立函数解析式(2)求函数最值解(1)每吨平均成本为(万元)则4824832，当且仅当，即x200时取等号年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元(2)设可获得总利润为r(x)万元，则r(x)40xy40x48x8 00088x8 000(x220)21 680 (0x210)r(x)在0,210上是增函数，x210时，r(x)有最大值为(210220)21 6801 660.年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元探究提高二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围利用配方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取一最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值都在区间的端点处取得 某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y3 00020x0.1x2 (0x240，xn*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是 ()a100台 b120台 c150台 d180台答案c解析设利润为f(x)万元，则f(x)25x(3 00020x0.1x2)0.1x25x3 000 (0x0)(1)如果m2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围解(1)若m2，则22t21t2，当5时，2t，令2tx1，则x，即2x25x20，解得x2或x(舍去)，此时t1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即2恒成立，亦m2t2恒成立，亦即m2恒成立令x，则0x1，m2(xx2)，由于xx2，m.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m的取值范围是.题型三分段函数模型例3为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿(1)当x200,300时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？思维启迪：题目中月处理成本与月处理量的关系为分段函数关系，项目获利和月处理量的关系也是分段函数关系解(1)当x200,300时，设该项目获利为s，则s200xx2400x80 000(x400)2，所以当x200,300时，s0，因此该单位不会获利当x300时，s取得最大值5 000，所以国家每月至少补贴5 000元才能使该项目不亏损(2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为当x120,144)时，x280x5 040(x120)2240，所以当x120时，取得最小值240.当x144,500时，x2002200200，当且仅当x，即x400时，取得最小值200.因为200240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低探究提高本题的难点是函数模型是一个分段函数，由于月处理量在不同范围内，处理的成本对应的函数解析式也不同，故此类最值的求解必须先求出每个区间内的最值，然后将这些区间内的最值进行比较确定最值 (2011北京)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x) (a，c为常数)已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第a件产品用时15分钟，那么c和a的值分别是 ()a75,25 b75,16c60,25 d60,16答案d解析由函数解析式可以看出，组装第a件产品所需时间为15，故组装第4件产品所需时间为30，解得c60，将c60代入15，得a16.3.函数建模问题典例：(12分)在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)在甲提供的资料中：这种消费品的进价为每件14元；该店月销量q(百件)与销售价格p(元)的关系如图所示；每月需各种开支2 000元(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？审题视角(1)认真阅读题干内容，理清数量关系(2)分析图形提供的信息，从图形可看出函数是分段的(3)建立函数模型，确定解决模型的方法规范解答解设该店月利润余额为l，则由题设得lq(p14)1003 6002 000，由销量图易得q2分代入式得l4分(1)当14p20时，lmax450元，此时p19.5元；当20p26时，lmax元，此时p元故当p19.5元时，月利润余额最大，为450元8分(2)设可在n年后脱贫，依题意有12n45050 00058 0000，解得n20.即最早可望在20年后脱贫12分解函数应用题的一般程序：第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量 关系；第二步：建模将文字语言转化成数学语言，用数学知 识建立相应的数学模型；第三步：求模求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原将用数学方法得到的结论还原为实际 问题的意义第五步：反思回顾对于数学模型得到的数学解， 必须验证这个数学解对实际问题的合理性温馨提醒(1)本题经过了三次建模：根据月销量图建立q与p的函数关系；建立利润余额函数；建立脱贫不等式(2)本题的函数模型是分段的一次函数和二次函数，在实际问题中，由于在不同的背景下解决的问题发生了变化，因此在不同范围中，建立函数模型也不一样，所以现实生活中分段函数的应用非常广泛(3)在构造分段函数时，分段不合理、不准确，是易出现的错误.方法与技巧(1)认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础；(2)实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等来得到最值失误与防范1 函数模型应用不当，是常见的解题错误所以，正确理解题意，选择适当的函数模型2 要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域3 注意问题反馈在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性(时间：60分钟)a组专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1.有一批材料可以围成200 m长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地(如图)，且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形，则围成的矩形场地的最大面积为()a1 000 m2 b2 000 m2c2 500 m2 d3 000 m2答案c解析设围成的场地宽为x m，面积为y m2，则y3x(2004x)4x2200x (0x20，x2 00828.7，则x2 036.7，即x2 037.三、解答题(共25分)8 (12分)如图所示，在矩形abcd中，已知aba，bcb (ab)在ab、ad、cd、cb上分别截取ae、ah、cg、cf都等于x，当x为何值时，四边形efgh的面积最大？求出这个最大面积解设四边形efgh的面积为s，由题意得saehscfgx2，sbefsdhg(ax)(bx)由此得sab22x2(ab)x22.函数的定义域为x|0b0，所以0bb，即a3b时，函数s22在(0，b上是增函数，因此，当xb时，面积s取得最大值abb2.综上可知，若a3b，当x时，四边形efgh的面积取得最大值；若a3b，当xb时，四边形efgh的面积取得最大值abb2.9 (13分)某种出口产品的关税税率为t，市场价格x(单位：千元)与市场供应量p(单位：万件)之间近似满足关系式：p2(1kt)(kb)2，其中k，b均为常数当关税税率t75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件(1)试确定k，b的值；(2)市场需求量q(单位：万件)与市场价格x近似满足关系式：q2x，当pq时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值解(1)由已知，.解得b5，k1.(2)当pq时，2(1t)(x5)22x，(1t)(x5)2xt11而f(x)x在(0,4上单调递减，当x4时，f(x)有最小值，故当x4时，关税税率的最大值为500%.b组专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为l15.06x0.15x2和l22x，其中x为销售量(单位：辆)若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为 ()a45.606万元 b45.6万元c45.56万元 d45.51万元答案b解析依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15x)辆，总利润sl1l2，则总利润s5.06x0.15x22(15x)0.15x23.06x300.15(x10.2)20.1510.2230 (x0)当x10时，smax45.6(万元)2 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为 ()ax15，y12 bx12，y15cx14，y10 dx10，y14答案a解析由三角形相似得，得x(24y)，sxy(y12)2180，当y12时，s有最大值，此时x15.3 (2012江西)如图，已知正四棱锥sabcd所有棱长都为1，点e是侧棱sc上一动点，过点e垂直于sc的截面将正四棱锥分成上、下两部分记sex(0x1)，截面下面部分的体积为v(x)，则函数yv(x)的图象大致为 ()答案a解析“分段”表示函数yv(x)，根据解析式确定图象当0x时，截面为五边形，如图所示由sc面qepmn，且几何体为正四棱锥，棱长均为1，可求得正四棱锥的高h，取mn的中点o，易推出oesa，mpsa，nqsa，则sqspaman2x，四边形oeqn和oepm为全等的直角梯形，则vsamnamanhx2，此时v(x)vsabcdvsamnvseqnmpx2(2x3x2)xx3x2，非一次函数形式，排除选项c，d.当e为sc中点时，截面为三角形edb，且sedb.当x1时，2s截面(1x)2.此时v(x)(1x)3v(1x)2.当x1时，v0，则说明v(x)减小越来越慢，排除选项b.方法二二、填空题(每小题4分，共12分)4 某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是_答案20解析由题意得，3 860500500(1x%)500(1x%)227 000，化简得(x%)23x%0.640，解得x%0.2或x%3.2(舍去)x20，即x的最小值为20.5 某商人购货，进价已按原价a扣去25%.他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式为_答案yx (xn*)解析设新价为b，依题意，有b(120%)a(125%)b(120%)25%，化简得ba.yb20%xa20%x，即yx (xn*)6 某医院为了提高服务质量，对挂号处的排队人数进行了调查，发现：当还未开始挂号时，有n个人已经在排队等候挂号；开始挂号后排队的人数平均每分钟增加m人假定挂号的速度是每个窗口每分钟k个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象根据以上信息，若要求8分钟