高中数学 第一章 计数原理 1.4 简单计数问题课件 北师大版选修23.ppt

1 4简单计数问题 一 二 一 有限制条件的排列 组合问题1 对于有限制条件的排列 组合应用题 通常从三个途径考虑 1 以元素为主考虑 即先满足特殊元素的要求 再考虑其他元素 2 以位置为主考虑 即先满足特殊位置的要求 再考虑其他位置 3 先不考虑附加条件 计算出排列数或组合数 再减去不符合要求的排列数或组合数 一 二 2 限制条件排列 组合问题的求解方法与技巧 1 若有特殊元素或特殊位置 通常优先安排特殊元素或特殊位置 即特殊位置 特殊元素应优先安排 2 当限制条件超过两个 包括两个 若互不影响 则直接按分步解决 若相互影响 则首先分类 在每个分类中再分步解决 3 排列 组合混合问题要先选后排 4 某些元素要求必须相邻时 可以先将这些元素看作一个整体 与其他元素排列后 再考虑相邻元素的内部排序 即相邻问题捆绑处理 5 某些元素要求不相邻时 可以先安排其他元素 再将这些不相邻元素插入空位 即不相邻问题插空处理 6 定序问题排除法处理 7 分排问题直排处理 8 小集团 排列问题先整体后局部 9 构造模型 10 正难则反 等价条件 一 二 二 排列 组合的综合应用求解排列 组合的综合问题时 首先要认真审题 只有认真审题 才能把握问题的实质 分清是排列还是组合问题 并注意结合分类与分步两个原理 要按元素的性质确定分类的标准 按事情的发生过程确定分步的顺序 1 解排列 组合的综合问题的一般思路是 先选后排 也就是先把符合题意的元素都选出来 再对元素或位置进行排列 2 解排列 组合的综合问题时要注意以下几点 1 元素是否有序是区分排列与组合的基本方法 无序的问题是组合问题 有序的问题是排列问题 一 二 2 对于有多个限制条件的复杂问题 应认真分析每个限制条件 然后再考虑是分类还是分步 这是处理排列 组合的综合问题的一般方法 3 排列 组合的综合问题背景丰富 抽象性较强 一般无特定的模式和规律可循 对思维能力和分析能力要求较高 因此要抓住问题的实质 把问题分解为简单的常规问题进行求解 一 二 做一做1 从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛 其中至少有一名女生入选的组队方案数为 a 100b 110c 120d 130解析10人中任选3人的组队方案数为 120 没有女生的组队方案数为 10 所以符合要求的组队方案数为120 10 110 答案b 一 二 做一做2 现有10个保送上大学的名额 分配给7所学校 每校至少有1个名额 问名额分配的方法共有种 解析每个学校至少有一个名额 则分去7个 剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数 分类 若3个名额分配到1所学校 则有7种方法 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 例1 已知a b c d e五个同学 按下列要求进行排列 分别求其满足条件的排列方法数 1 把这五个同学安排到五个空位上且a b必须相邻 2 把这五个同学安排到五个空位上且a b必须相邻 c d e也必须相邻 3 把这五个同学安排到六个空位中的五个空位上且a b必须相邻 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 分析 1 符合 捆绑法 的要求 可直接利用 捆绑法 的解决方法进行解题 2 由于a b必须相邻 c d e也必须相邻 可考虑将这两部分各自视为整体 先对两个整体排列 再对整体内部排列 3 先把同学和座位绑到一起 进行排列 然后把剩余的空座位插到已经排好的中间 解 1 分两步 第一步 把a b两个同学看作一个整体 看成一个 大元素 和c d e共四个元素进行排列 其排列方法有种 第二步 对捆绑到一起的a b这两个同学内部排列 即 松绑 其排列方法有种 故根据分步乘法计数原理 符合题意的排列方法数有种 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 反思感悟解决 相邻 问题用 捆绑法 就是将n个不同的元素排列成一排 其中k个元素排在相邻位置上 求不同排法种数的方法 1 先将这k个元素 捆绑 在一起 看成一个整体 2 把整体当作一个元 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 变式训练1把5件不同产品摆成一排 若产品a与产品b相邻 且产品a与产品c不相邻 则不同的摆法有种 答案 36 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 例2 有3名男生 4名女生 按下述要求 分别求出其不同排列的种数 1 选其中5人排成一行 2 全体排成一行 其中甲只能在中间或者两头的位置 3 全体排成一行 其中甲 乙必须在两头 4 全体排成一行 其中甲不在首 乙不在尾 5 全体排成一行 其中男生 女生都各不相邻 6 全体排成一行 其中男生不能排在一起 7 全体排成一行 其中甲 乙 丙按自左至右的顺序保持不变 8 全体排成一行 甲 乙两人间恰有3人 9 全体排成前后两排 前排3人 后排4人 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 分析本题包括了有限制条件的排列问题的几种基本类型 注意在处理这类问题时一般应遵循 先特殊 后一般 的原则 即先考虑特殊的元素或特殊的位置 再考虑一般的元素和位置 对于 必相邻 元素 常采用 捆绑法 的技巧 对于 不相邻 元素常采用 插空法 的技巧 此外 正难则反 是处理排列问题的一个重要策略 还是检查结果是否正确的重要手段 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 变式训练2有a b c d e五位学生参加网页设计比赛 决出了第一到第五的名次 a b两位学生去问成绩 老师对a说 你的名次不知道 但肯定没得第一名 又对b说 你是第三名 那么这五位学生的名次排列共有种不同的可能 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 例3 6本不同的书 按下列要求各有多少种不同的分法 1 分给甲 乙 丙三人 每人两本 2 分为三份 每份两本 3 分为三份 一份一本 一份两本 一份三本 4 分给甲 乙 丙三人 一人一本 一人两本 一人三本 分析 1 是平均分配问题 可以理解为一个人一个人地来取 2 是 均匀分组问题 3 是不均匀分组问题 4 分组后排列问题 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 反思感悟1 解决此类问题要分清是分组问题还是分配问题 2 分组问题属于 组合 问题 常见的分组问题有三种 1 完全均匀分组 每组的元素个数均相同 2 部分均匀分组 应注意不要重复 有m组均匀 最后必须除以m 3 完全非均匀分组 不用考虑重复现象 3 分配问题属于 排列 问题 分配问题可以按要求逐个分配 也可以分组后再分配 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 变式训练3将4名新来的同学分配到a b c三个班级中 每个班级至少安排1名学生 其中甲同学不能分配到a班 那么不同的分配方案种数是 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 例4 现有4个不同的球 4个不同的盒子 把球全部放入盒内 1 共有几种放法 2 恰有1个空盒 有几种放法 3 恰有2个空盒 有几种放法 分析 1 可用分步乘法计数原理 2 恰有一个空盒相当于4个不同的球放到三个不同的盒子内 必有一个盒子放2个球 3 恰有两个空盒 相当于4个球放到两个盒子内 可以是3 1放法 也可以是2 2放法 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 反思感悟1 解排列组合的综合问题 首先要认真审题 把握问题的实质 分清是排列还是组合问题 再注意结合分类与分步两个原理 要按元素的性质确立分类的标准 按事情的发生过程确定分步的顺序 2 解排列组合综合问题的一般思路是 先选后排 也就是先把符合题意的元素都选出来 再对元素或位置进行排列 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 变式训练4有5个男生和3个女生 从中选出5人担任5门不同学科的课代表 分别求符合下列条件的选法种数 1 有女生但人数必须少于男生 2 有某女生且一定要担任语文课代表 3 某男生必须包括在内 但不担任语文课代表 4 有某女生且一定要担任语文课代表 有某男生但不担任数学课代表 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 因对限制条件考虑不全而致误 典例 从1 9的9个数字中 取出5个数字作排列 并把五个位置自右至左编号 则奇数数字必在奇数位置上的排列有个 易错分析含有限制条件的排列组合题目容易出现对限制条件考虑不全而致误 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 答案 2520 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 纠错心得1 解决受条件限制的排列 组合题 通常有直接法 合理分类 和间接法 排除法 分类时标准应统一 避免出现重复或遗漏 2 解组合应用题时 应注意 至少 至多 恰好 等词的含义 3 对于分配问题 解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关 对于平均分组问题更要注意顺序 避免计数的重复或遗漏 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 变式训练赛艇运动员10人 3人会划右舷 2人会划左舷 其余5人两舷都能划 现要从中选6人上艇 平均分配在两舷上划桨 有种不同的选法 1 2 3 4 1 从6名志愿者中选出4人分别从事翻译 导游 导购 保洁四项不同的工作 若其中甲 乙两名志愿者不能从事翻译工作 则选派方案共有 a 280种b 240种c 180种d 96种 1 2 3 4 答案 b 1 2 3 4 2 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生